在建“经济适用房”这件事上，蜜蜂可能比人更擅长

天工造物，常常使人惊叹不已！大自然揭示的真理，有时需要几个世纪才能弄清其中的奥秘。生物的进化，积数亿年的优胜劣汰，仍能繁衍至今的，往往包含着“最经济原则”的启迪。蜂窝的构造， 大约是最使人心悦诚服的实例！

图1是蜂窝的立体剖面图，我们可以清楚地看到：虽然蜂窝的横断面是由正六边形组成，但蜂房并非正六棱柱，房底是由3个菱形拼成。

图1

图2是一个蜂房的取样，底朝上是为了让大家看得更加清晰。对于图2的形成，我们甚至可以想象得更加具体一点：拿来一支正六棱柱的铅笔，未削之前，铅笔一端的形状是如同图2(b)的正六边形ABCDEF，通过AC，一刀切下一角，然后沿着AC把切下的那一角翻到顶面上去，过AE、CE各切同样一角，同AC一般翻转上去，便堆成了蜂房的形状。而蜂窝则是由这样的蜂房底部和底部相接而成的。

图2

蜂房为什么是正六边形的，这一点人们似乎比较清楚，几亿年的进化成果，提示我们这种结构是最省材料的。

事实上这是不难理解的：周长一定的图形中圆的面积最大，然而圆是不能铺满平面的，因此不得不让位给正多边形。

图3

那么，究竟有多少种正多边形能够铺满平面呢？你只需注意到，这样的正多边形 内角必能拼成一个周角，就容易明白。这样的正多边形只能有3个，即正三角 形、正方形和正六边形。从下表可以看出，以上3种图形中正六边形是最经济的一种。

正多边形的对比

然而，关于蜂房的底部构造就不那么一目了然了!

18世纪初，法国学者马拉尔琪曾实测了蜂房底部的菱形，得出一个令人惊异的有趣结论：拼成蜂房底部的每个菱形蜡板，钝角都等于109°28'，锐角则等于70°32'。

图4

不久，马拉尔琪的发现传到了另一位法国人列奥缪拉的耳里。列奥缪拉是一名物理学家，他想，蜂房的壁是由蜂蜡构造的，蜂房底部的这种结构，大约应该是最节省材料的！不过列奥缪拉并没有因此而想出个头绪来，只好把自己的想法拿去请教巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格。克尼格经过精心计算，得出了更加令人震惊的结果：根据理论上的计算，建造同样大小的容积，而用材料最少的蜂 房，其底部菱形的两角应是109°26'和70°34'。这与实测的结果仅差2'。

人们对克尼格的计算技巧和聪明才智倍加赞赏。他们认为，大自然竟能造就出像蜜蜂这样出类拔萃的“建筑师”，本身就是一项奇迹。蜜蜂在这样细小的构筑上仅仅误差2'是不足为奇的！

不料蜜蜂却不买克尼格的账，它们依然坚持着自己祖先留下的法规，我行我素地建造着自己的巢穴，并迫使大名鼎鼎的科学院院士克尼格承认错误！

说来也是偶然，一艘船只应用克尼格用过的对数表确定方位，不幸遇难。在调查事件起因时，发现船上用过的那张对数表竟然有些地方印错了！这件事引起了一位著名的苏格兰数学家科林·麦克劳林(Colin Maclaurin，1698—1746)的注意。

1743年，麦克劳林重新计算了最经济的蜂房结构得出菱形钝角应为109°28'，锐角为70°32'，与马拉尔琪的实测结果丝毫不差！克尼格由于对数表的差误，算错了2'。

18世纪的数学家用高深数学才能计算出的东西，小小的蜜蜂却早在亿万年前，就已投入了实际应用，这是多么的不可思议啊！

看到这里，你一定很想了解克尼格和麦克劳林的计算。不过我们无需重复他们的老路。250年来，人们已经找到了许多更加简便的算法。

让我们把问题先作一番简化。蜂房底部的构造可以看成是把正六棱柱切去3个角，然后翻转到顶面堆砌而成。这样的图形显然没有改变原来正六棱柱的体积。现在问题的症结是，翻转后的表面积是增加还是减少呢?

如图5(a)所示，假定正六棱柱边长为l,切去3个角的高为x。

图5

很显然,经过切割翻转后的蜂房模型，比起原正六棱柱来说，表面积少了一个面积为 的顶面和6个直角边长为1和x的小直角三角形(图中阴影部分为一个小直角三角形)；但却多了3个边长为 ，其中一条对角线为3的菱形面积。由于菱形面积S◇不难算出为

这样，表面积的增加量，便可以表示为x的函数f(x)

显然，使表面积增加量f(x)达最小值的x，便是最经济蜂房所要求的。

让我们介绍一种由中学生找到的、求f(x)最小值的方法：

由于x必须为实数， 从而上面二次方程的判别式

把上述y的最小值代入求x得

算出了x,也就等于算出了菱形的边长为 。利用三角 函数定义可以算出菱形的钝角α和锐角β（图5(b)）

反查正弦函数表可得

这便是蜜蜂所揭示的真理！

来源： 《给孩子的数学故事书》

作者： 张远南 张昶

部分图源于网络

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编辑：张润昕

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来源：原点阅读

编辑：乐子超人

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