幻方铁板：讲述千年的数学故事

幻方铁板。

游客在欣赏幻方铁板。

陕西历史博物馆的文创产品幻方铁板双面钥匙扣。

陕西历史博物馆动画科普短片——《幻方铁板》。视频截图

本报记者 杨露雅文/图

在陕西历史博物馆第三展厅里，有一件叫作幻方铁板的文物，四四方方的铁板，棕黑色，只比成年人的手掌稍大一点。幻方铁板的正面被分成36个小格，每个格子里都铸有一个生僻的符号。平凡的外观，使得幻方铁板在陕西历史博物馆众多的藏品中并不显得出众。

但你知道吗？这件看起来普普通通的幻方铁板，对于我们今天研究阿拉伯数字演变史和数学史来说，是不可多得的珍贵资料，同时它也是东西方文化交流的重要见证。因为，幻方铁板上的符号正是由古阿拉伯人所创造、使用的数字符号。与之相对应的是，我们今天所使用的阿拉伯数字其实发源于古印度，经由阿拉伯地区传至欧洲，而后成为全世界通用的数字符号。

虽然曾被埋在夯土地基里，看起来其貌不扬，但幻方铁板凭借其在研究古代数学、文化等方面的重要价值，成功跻身“国家一级文物”之列。幻方铁板用小小的“身躯”展现着数学的魅力，在充满历史气息的展厅中呈现出浓浓的科学味道。

幻方铁板

名称：幻方铁板

等级：国家一级文物

出生时间：元代

户籍登记时间：1957年

现住址：陕西历史博物馆

壹 “真正的”阿拉伯数字

幻方铁板出土于西安东郊十里铺街道秦孟街社区附近，此处曾是元代安西王府所在地，也被称为“斡耳垛遗址”。“斡耳垛”的意思是宫殿。1956年冬，陕西省文物管理委员会得知元代安西王府遗址宫殿基址的台基被挖去了一部分，便立即进行调查和保护。1957年春，中国科学院考古研究所对该遗址进行了复查，并对城址和殿基的范围做了勘测。

考古工作人员在该遗址中共发现了5块幻方铁板，其中4块被藏在石函内，另一块由基建部门上交，其出土位置已不详，据说出土时也是藏在石函内。

装幻方铁板的石函由两块凿制整齐的方石组成，下面一块方石中间凿有一个方形的槽，槽的大小和深度与幻方铁板的大小和厚度相等，铁板有数字的一面朝上，放在槽内。4块幻方铁板均出土在同一水平面上。

5块铁板大小相同，长、宽都为14.2厘米，厚1.5厘米。每个幻方铁板的正面被分割为六横六纵共36个小方格，每个方格内还铸有各种符号。后经过著名考古学家夏鼐先生的释读，确定这些铁板上的符号为古代的阿拉伯数字，对应着1至36。

幻方铁板让我们见识到了“真正的”阿拉伯数字，也是我国数学史上应用阿拉伯数字最早的实物资料。

贰 神奇的幻方

幻方，又称方阵或纵横图，是一种中国传统游戏，旧时在官府、学堂中较为常见。幻方的特点是将n²个数字排成正方形，使纵向、横向和对角线上的数字总和都相等。我们常见的幻方有三阶幻方、四阶幻方和六阶幻方，这时n就分别是3、4和6。

计算任意阶数幻方的纵向、横向和对角线上所有数的和时，有一个公式，即S=n(n²+1) /2，其中n为幻方的阶数，所求的数为S，也叫幻和。

如果只看定义和公式，可能依然对幻方这个词感到陌生。其实，中国古代大名鼎鼎的“洛书”就是一种幻方。“洛书”以其高度抽象的内涵，对中国古代数学、天文气象、哲学、医学、宗教等都产生了重要影响。“洛书”相比安西王府出土的幻方更为简单，是三阶幻方，即三横三纵，共9格，包含1到9，共9个数字，它的纵向、横向和对角线上的数字总和都为15。

元代安西王府出土的幻方铁板为六阶幻方，正面被分割为36个小方格，每行六格，共六行，填充了数字1至36，其纵向、横向、对角线上的数字相加，总和都是111。

解开一个六阶幻方难度有多大呢？在小说《射雕英雄传》中，瑛姑被九宫格困扰了十几年，直到头发花白也未找出答案。这里的九宫格其实就是一个三阶幻方。如果让瑛姑解安西王府夯土地基里发现的六阶幻方，那她可能要“崩溃”了。虽然文学作品不免有夸张的成分，但也可以从侧面印证解幻方并不是一件容易的事情，需要深厚的数学知识做支撑。

叁 文化交流的“铁证”

公元1272年，元世祖忽必烈封其第三子忙哥剌为安西王，在原长安城东修建安西王府。1280年，忙哥剌去世，其子阿难答袭封安西王位。元代安西王府的夯土台基之下为什么埋藏有幻方铁板？幻方铁板上又为何会出现阿拉伯数字？这就不得不提到当时的社会风气。

元代尊重各种文化思想，不仅鼓励各民族之间进行文化交流和融合，还包容和接纳西方文化，欧洲著名的旅行家马可·波罗能在元朝为官即是证明。

至于这些幻方铁板为什么会出现在安西王府的夯土台基之中，陕西历史博物馆藏品管理部主任贺达炘解释：“幻方铁板无论横向、纵向还是对角线上的数字相加，总和都是111，这种现象在古人看来神奇莫测，因而将它们深埋于夯土台基之下，希望能起到辟邪消灾的作用，这种观念很可能是元代东西方交流带来的。”元代，就有不少来自西域的工匠参与修建宫殿。他们很有可能按照西方修建宫殿的习俗，在夯土地基中放置铸有阿拉伯数字的幻方铁板。这5块幻方铁板就是当时安西王府及周边地区受到阿拉伯文化影响的“铁证”。

但这些幻方铁板究竟是从阿拉伯地区传入，还是受了阿拉伯文化影响的元代人自己铸造的呢？这是一个有待研究的问题。“根据目前的研究和出土数量来看，它们很有可能是由本地工匠铸造，而非由阿拉伯国家直接输入的。”贺达炘说。

幻方铁板是否“护佑”了宫殿的主人，我们不得而知。如今，它完整地出现在博物馆中，展示古人的智慧，向我们讲述久远的数学故事。

记者手记

一块铁板上的“数学课”

杨露雅

在陕西历史博物馆一众或华丽或精美的文物之中，幻方铁板显得十分“低调”。铁板呈棕黑色，其正面除36个古代的阿拉伯数字外，再无装饰。但如果你愿意驻足观察，你会发现一个神奇的事，即无论是横向、纵向、对角线上的数字相加，总是等于111。这块幻方铁板仿佛一位研究数学的学者，默默地向世人讲述着元代人就已经掌握的数学知识。

在中国古代社会，数学和数术是融为一体的。数术是中国古代人运用数理机制，进行“推往知来”活动的思想和方法。这也为古代的幻方披上了一层神秘主义色彩。抛开古人认识上的局限，幻方铁板是一个了解古代数学的绝佳对象。

元代的幻方铁板作为一个六阶幻方，每一横向、纵向和对角线上的数字加起来都是111，这是它最基本的特征。除此之外，它还是一个回整幻方。所谓回整幻方，即去掉最外面一层，中间剩下的部分仍然是一个四阶幻方。这个四阶幻方由16个数字组成，其每行、每列及两条对角线上的4个数之和都是74。

更为神奇的是，这个回整幻方还是一个完美幻方。完美幻方指的是一个四阶幻方各条泛对角线上的4个数之和是相等的。泛对角线即一个四阶幻方的上面若干行移动到幻方的下面，新方阵的主对角线是原来幻方的泛对角线。

这些数学概念即使在今天对一个非数学专业的普通人来说都有些晦涩难懂，但近千年前的元代人已经掌握了其中的奥妙，不得不让今天的我们佩服。

如今，幻方对于我们来说更像是一个颇具趣味性的数学游戏，不时会出现在小学生的课堂上。如果你想更深入形象地认识幻方，不如来陕西历史博物馆第三展厅“拜访”一下这块元代的幻方铁板，听它讲述一堂精彩的“数学课”。来源：陕西日报