从数学到逻辑：集合与思维论证

逻辑思维能力，毫无疑问是一个人的“软实力”。

它不会在你的简历中展现，也无法成为你获得的荣誉，但却影响着你生活的方方面面。

我们知道，逻辑思维是十分重要的，它能帮助我们更好地梳理任务、更有条理地行动，能提升我们的认知能力、思考能力和推理能力等等。在普通的日常交流中，判断一个人说话是否可信的标准之一也包括了“这个人说话是有逻辑的，而非颠三倒四的”。

我们有专门学习过“逻辑”吗？事实上，大学以前，对于专门的“逻辑”这一学科的学习是非常少见的，但是，很多简单的逻辑的思维方式，早已融入到了其他学科之中。

比如数学。

数学可以说是逻辑思维运用得最多的学科了。数学用逻辑在一个个公理的基础上，推导出一个个结论，建立起了坚实的数学知识大厦。

温故而知新。前几天温习了一下中学数学里集合的概念，多有收获，想与各位朋友分享。

集合与三段论

你还记得集合是什么吗？

集合，是由一个或多个确定的元素所构成的整体。

三段论，是演绎推理中的一种简单推理判断。三段论实际上是以一个一般性的原则（大前提）以及一个附属于一般性的原则的特殊化陈述（小前提），由此引申出一个符合一般性原则的特殊化陈述（结论）的过程，是一种公认的科学推理方法。

比如，大前提：所有人都需要呼吸。

小前提：小明是个人。

结论：小明需要呼吸。

其实三段论的基础，就是集合。

大前提，就是一个大集合。它和小前提（小集合）有什么关系？这就要说到集合间的关系了，我们主要看“子集”这一种。

对于两个集合A与B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，或者说，集合A中的任何一个元素在集合B里都可以找到，那么集合B里的元素应该是不少于A的，就称集合A是集合B的子集，集合A包含于集合B。

现在也就好理解了，大前提就是这个大集合B，小前提是包含于这个大前提的，所以，小前提作为大前提的一部分，也就拥有了大前提的特性，于是我们得到了结论。

三段论是比较常规的思维方法，让我们再来看一看人们生活中常犯的错误。

二元论的非黑即白

说到对立的两个观点，又提到集合，相信大家马上能回忆起集合中的一种关系，就是“补集”。

如果说A是一个集合，A的补集就是A以外的元素构成的集合。

但我们常常忽略一件事，补集是有条件的，这就得说到全集U了。

全集，听名字也知道，就是给定的所有元素的集合。给定了全集，才有范围，才有集合A以外的地盘。

至于数学中，常常默认以实数集R作为全集，所以一般题目中都会忽略。但在日常应用中，这就显得尤其重要了。

非黑即白，那一定是只有黑和白两种情况我们才可以做出这样的判断；如果还有灰，那就不一样了。

你看，在调色板里，最左边的这一列颜色，除了最上端的纯白和最下面的纯黑，其他都是灰色，不过灰度不同罢了。

比如，我们只考虑人类的传统意义上的性别，就只有男性和女性，一个人，不是男生就是女生。如果有人说他既是男生又是女生，或者二者都不属于，是很奇怪的。

是男是女，一定有一个选择，而且必须在这二者之中选。

这是非黑即白。

“非黑即白的灰”是什么样的呢？

还是全集，不过集合A所属的全集和集合B所属的全集并不是同一个全集，他们的补集虽然单一，但并不只有两种选择。

具体点来说，你常常听到这样的话：下雨是好事，下雨又不是好事。

奇怪了，按照补集的理论，下雨要么是好事，要么是坏事，怎么会既是又不是呢？

不急，我们先听听二者各自的理由。

下雨是好事，因为它可以滋润农田；下雨是坏事，因为出行不方便了。

哦！又出现了两个新的集合！

但是，这两个理由其实是相互独立的，不存在二选一的情况，完全可以同时存在。

一点毛病也没有。

合取谬误

等会再说“合取谬误”是啥，不然就没意思了。

我们先来个小测验。

已知李红是一个成绩优异，有上进心，热爱运动，兴趣广泛的高中学生，小学时她曾经参加过围棋比赛，并获得了第二名的好成绩，在校内的围棋大赛中，李红代表班级参加了比赛。

请问下面三个选项哪个更有可能是对李红准确的描述？

A. 李红是老师眼中的好学生。

B. 李红获得了“三好学生”的荣誉，是老师眼中的好学生。

C.李红获得了“三好学生”的荣誉，并且在校内围棋比赛中取得了好成绩，是老师眼中的好学生。

你的选择是？

不难发现，这几个选项概括起来就是三件事，“李红是老师眼中的好学生”，“李红获得了‘三好学生’的荣誉”，以及“李红在校内围棋比赛中取得了好成绩”。

我们把这三件事情用集合表示，显然可以得到三个集合，那么C选项的概率，理论上来说是最低的。

可以看到，中间一小块黑色描边的相互交错的区域，描述的就是C选项。

那么理论上来说，A选项的可能性才是最大的，因此准确程度最高。

你选对了吗？

但是为什么我们会偏向于B和C这样更具体的表达呢？

合取谬误就是这样一种推理谬误，人们认为单个条件发生的概率，要小于多个条件联合发生的概率。

实际上，我们每一个人都清楚地知道，两件事情同时发生的概率不可能高于任何一件事情单独发生的概率。但是我们在决策的过程中，会本能地认为一个详细、具体的事情更可能发生。

尽管，实际上每个细节的添加，都使得这件事情越来越不可能发生。

更合理的，不一定是更准确的。

不可靠的直觉，是逻辑思维上巨大的绊脚石。