1道初中数学竞赛题，解高次方程，不少学生懵了，介绍4种方法

大家好！本文和大家分享一道初中数学竞赛题：解方程x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0。这是一道解高次方程的题目，不少学生看到这道题都懵了，完全找不到思路，其实这道题的难度并不大，本文和大家分享本题的4种解法。

解高次方程的基本思路就是因式分解，本题也不例外，也可以通过因式分解的方式求解。下面介绍3种因式分解求解的方法。

解法一

解方程之前，先观察一下左边多项式的形式。左边有6项，项数比较多的情况下可以考虑可以考虑分组。

很明显，如果将前三项作为一组，后三项为一组，只需将前三项提公因式x^3就可以继续进行分解。

即x^3(x^2+x+1)+(x^2+x+1)=(x^3+1)(x^2+x+1)。

分解到这一步后，有同学将x^3+1用立方和公式继续分解，这样做是没有问题，但是过程将会变得比较复杂。

其实，不继续分解也是可以求解出答案的。因为在实数范围内(初中阶段解方程没有特殊说明默认实数范围)x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4一定不可能等于零，也就意味着只能是x^3+1=0，从而解出x=-1。

解法二

对于方程左边多项式的分组方法，除了解法一用到的方法，还可以将一、四项分为一组，二、五项为一组，三、六项为一组。一、四项提公因式x^2，二、五项提公因式x，这样就出现了新的公因式x^3+1。即：

x^2(x^3+1)+x(x^3+1)+(x^3+1)=0。

再提公因式即可得到：(x^3+1)(x^2+x+1)=0。后面的解法就和解法一相同了，过程见下图。

解法三

除了前面讲到的两种分组方法，还可以将前两项分为一组，中间两项为一组，后两项为一组。前两项提公因式x^4，中间两项提公因式x^2，得到：

x^4(x+1)+x^2(x+1)+(x+1)=0。

再提公因式(x+1)，得到：(x+1)(x^4+x^2+1)=0。

很明显，在实数范围内x^4+x^2+1一定为正数，所以只能是x+1=0，即x=-1。

解法四

前面三种解法都是利用因式分解求解，下面分享一个不用因式分解的方法。

因为x^5+x^4+x^3+x^3+x+1=0，所以方程两边同时乘以x可得：

x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x=0，两式相减即可得到：x^6-1=0，解得x=±1。然后再验根即可。

这道竞赛题看似复杂，其实难度并不大，而且解题方法比较多，不会像某些题只有一种方法。并且对于某些学生来说，还可以在方程的两边同时乘以(x-1)来解题，你知道为什么吗？