教学反思：解读学生解题思维

教学反思：解读学生解题思维

期中考试有这样一道题，难度并不高，但得分率却不高，在批阅过程中，发现不少似是而非的解答过程，说明这些学生并不是学习态度问题，而是学习能力或方法存在欠缺，研究他们的解题思维，有助于在后期教学中正确引导，帮助他们完成查遗补漏，健全知识体系。

题目

如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D.

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形ABDF为菱形时，求CD的长.

解析：

(1)△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，绕点A逆时针方向旋转至△AEF，因此，抓住旋转性质，可事半功倍。

旋转性质究竟说了些啥？

根据“对应点到旋转中心的距离相等”可得AB=AE，AC=AF，再根据“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”可得∠BAE=∠CAF，这些条件正好说明△ABE≌△ACF，从而BE=CF；

(2)新增条件为菱形ABDF，它的性质包括对边平行，四边相等，对角线互相垂直平分等，但在本题中并未作出对角线，因此最初的分析自然重点放在边的关系上，相等或平行。

除了△ABC和△AEF是等腰三角形之外，还有两个等腰三角形，分别是△ABE和△ACF，前面两个等腰三角形的顶角是45°，后面两个等腰三角形有特殊角吗？

借助菱形对边平行，∠BAC=∠ACF，发现△ACF的底角为45°，这就非常特殊了，它是等腰直角三角形，迅速得到CF=√2AC=2√2，其中DF作为菱形的一条边，DF=AB=2，于是可求出CD=CF-DF=2√2-2.

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走偏的思路一：

在得到∠1=∠2=∠3=∠4这个结论之前，缺少了必要的证明，∠1和∠2属于等腰△ABE的两个底角，∠3和∠4属于△ACF的两个底角，这四个角均相等，需要证明这两个等腰三角形的顶角相等，即∠BAE=∠CAF，它们恰好就是旋转角，这是证明过程中不规范的地方；

证明△BCD和△FED全等的思路没错，虽然绕了一点弯路，大体上还是正确的。

0 2

走偏的思路二：

与前一个思路偏离的位置几乎相同，仍然跳过了∠BAC=∠CAF这个条件，直接得到两个等腰三角形底角相等，这不得不令人怀疑，这位学生真的明白相等的理由，或是认为只要是等腰三角形，底角就都相等？

从这位学生的解答过程中，我们发现书写内容较多，他认为重要的步骤全部都写了出来，于是更有理由怀疑，如果仅仅只告诉△ABC和△AEF是两个等腰三角形，缺少顶角相等的条件下，他还是会写下∠AEB=∠ACF，这就麻烦了。

0 3

走偏的思路三：

显然这位学生也企图跳步骤，可惜的是，等腰直角三角形的理由并不充分，主要原因在于∠BAE=90°没有证明，恰恰在第1问的条件下，这个角未必是直角。

同样在第2问的证明过程中，缺少了证明△ACF为等腰直角三角形的过程，否则无从解释CF=2√2从何而来。也许他认为在第1问中已经证明过，不需要再重复书写，可如果第1问的证明就站不住脚，后面的证明就是无根之水。

阅卷思考

在平时的几何教学过程中，规范书写一直是重点强调的，这要从七年级开始学习几何证明开始，在八年级进行强化，现在到了九年级，前面的教学中究竟有没有注意到这些规范细节，一目了然。

这三份答案，初看上去答案正确，关键步骤也有，但经不起推敲，细看之下，发现思维不连续，从解题前后文看，大概率是没想到，而不是想到了“懒得”写。我们的学生解题习惯源自于每一次的作业，因此每天的作业批改，就是唯一能帮助学生纠正不良解题习惯的途径。

数学老师相对而言，批改作业的工作量比较大，特别是几何教学，其难度并不亚于批改一篇作文，甚至有过之而无不及（几何综合题），所以细看学生解题过程，是一个良好的批阅作业习惯，尽管代价高昂，但值得坚持。

另一方面，学生在考完后相互对答案的时候，这三位同学毫无例外地认为自己可以拿全分，所以预估分数时偏高，真的看到结果，会感到意外，在评讲完试卷之后，又大呼可惜。

真的可惜吗？我觉得应该是一次教训。现在吃点小亏，总比将来中考吃大亏强，这不是吹毛求疵，而是严谨的学习态度。

对比这些走偏的思路与正确的思路，发现利用全等三角形来进行等量证明，是常见想法，这没错，但在图中存在多对全等三角形的时候，就需要进行选择，在平时教学过程中，作为老师，看到一道习题有多种解法，往往第一反应是非常高兴，也有时候为了照顾学生的积极性，在课堂评价上给予了正面评价。在我看来，所谓多种解法，应该对应多种思路，而每一种思路，应该是这个方向上的“最优解”，不能为了多解而多解，那就本末倒置了。

几何题的解法，从条件到结论，无数条思路中，我们也要遵循基本的数学原理，“两点之间，线段最短”，经历的转换越少，思路越简洁（不仅是指步骤少）。