初中数学：证明两条直线垂直的方法（上篇，数学方法技巧归纳）

证明两直线垂直的方法有哪些？

今天我们按照《初中几何，掌握了这套学习方法，数学会得心应手》中的“具体方法归纳法”进行归纳总结如下：

1、利用直角三角形中两锐角之和为90°

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即如果一个三角形的有两个角和为90°，那么第三个角必然为90°。

2、利用全等三角形

勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

3、利用勾股定理的逆定理证明

4、利用等腰三角形“三线合一”证明

要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。

5、利用菱形的对角线互相垂直证明

6、相似三角形证明

7、圆周角定理的推论：

其中方法1、2 为初一知识点；方法3、4为初二知识点；方法5、6、7为初三知识点。

由于篇幅和时间有限，在本篇文章中，我们先讨论1、2、3、4四种方法。

初中数学课堂

一、利用直角三角形中两锐角之和为90°

例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．

（1）求证：AE⊥BF；

（2）若EF＝（1/5）AD，则BC：AB的值是　 　．

（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，

∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，

∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，

∴∠AMB＝90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA＝∠EAB，

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB，

∴∠DEA＝∠DAE，

∴DE＝AD，同理可得，CF＝BC，

又∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，

∴DE＝CF，

∴DF＝CE，

∵EF＝（1/5）AD，

∴BC＝AD＝5EF，

∴DE＝5EF，

∴DF＝CE＝4EF，

∴AB＝CD＝9EF，

∴BC：AB＝5：9；

2、利用全等三角形

例2、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

解：∵AG∥FC且AG＝FC，

∴四边形AGCF为平行四边形，故③正确；

∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND

在△ADE和△BAF中，

∵AE=BF, ∠DAE=∠ABF ,AD=AB

∴△ADE≌△BAF（SAS），

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE+∠AEM＝90°

∴∠EAM+∠AEM＝90°

∴∠AME＝90°

∴∠GND＝90°

∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．

∵G点为AD中点，

∴GN为△ADM的中位线，

即CG为DM的垂直平分线，

∴GM＝GD，CD＝CM，故②错误；

在△GDC和△GMC中，

∵DG=MG，CD=CM，CG=CG

∴△GDC≌△GMC（SSS），

∴∠CDG＝∠CMG＝90°，

∠MGC＝∠DGC，

∴GM⊥CM，故①正确；

∵∠CDG＝∠CMG＝90°，

∴G、D、C、M四点共圆，

∴∠AGM＝∠DCM，

∵CD＝CM，

∴∠CMD＝∠CDM，

在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，

∴DM＜AD，

∴DM＜CD，

∴∠DMC≠∠DCM，

∴∠CMD≠∠AGM，故④错误．

故选：B．

3、利用勾股定理的逆定理证明

4、利用等腰三角形“三线合一”证明

例4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：

（1）EF⊥AB；

（2）△ACF为等腰三角形

证明：（1）∵AB=AC ，∠BAC=36

∴∠ABC=72 ,BD是∠ABC的平分线

∴∠ABD=36

∴DA=DB

又∵E是AB的中点

∴EF⊥AB

（2）由（1）知BF是AB的垂直平分线

∴FA=FB

∴∠ABF=∠FAB=72

∴∠FAC=72-36=36

∠AFC=72-36=36（外角定理）

∴△ACF为等腰三角形

证明两直线垂直的方法（上篇），由于篇幅和时间有限，今天就介绍到这里，欢迎大家继续关注，证明两直线垂直的方法（下篇）