大家好！本文和大家分享一道多伦多国际数学奥赛真题。这是一道解分式方程的题目，题目的难度还是非常大的，拿给初三学生做，班上的正确率不到5％，甚至一些同学看到题目就被吓到了。那么，接下来我们一起来解一下这个方程。
看过这个方程，相信没有同学会选择直接去分母进行计算。虽然直接计算确实可以解出这个方程，但是直接计算的计算量太大，很难保证在大量的计算中不出错。其实，要解这个方程，方法并不难，只需要用到初中解方程的一个常用方法：换元法。
换元法是解复杂形式方程的重要方法，通过换元可以将复杂的形式简化，从而减小计算量，达到快速、准确求解的目的。下面和大家分享两个换元的方法。
解法一：
对于复杂方程的换元，首先想到的应该就是找相同的部分。比如本题中，虽然原方程看起来很复杂，但是观察后可以发现，分式的分母都含有x^2-8，所以可以令x^2-8=t，这样就可以将原方程的分母简化。
对简化后得到的方程，去分母并整理可以得到：3t^2-147x^2=0，即t^2=49x^2，所以t=±7x。
下面进行分类讨论。
①当t=7x时，有x^2-7x-8=0，即(x-8)(x+1)=0，解得x=8或者x=-1；
②当t=-7x时，有x^2+7x-8=0，即(x+8)(x-1)=0，解得x=-8或x=1。
综合上面的情况就可以得到原方程的解。
解法二：
换元除了找相同的部分，还可以找相似的部分，所以本题除了用解法一的换元方法，还可以用另外一个换元的方法。
令x^2-x-8=t，则原方程同样可以进行简化，并且整理后可以得到：t^2+2tx-48x^2=0，即(t+8x)(t-6x)=0，解得：t=-8x或t=6x。
当t=-8x时，有x^2+7x-8=0；
当t=6x时，有x^2-7x-8=0。解出上面两个方程就可以得到原方程的解。
本题的难度确实挺大，而真正的难点又在于敢用换元法求解。因为一般情况下，用了换元法后可以将原方程里的未知数全部换掉，但是本题用了换元法还是不能全部换掉所有未知数，从而让很多学生想到了用换元法却又不敢用。本题中用换元法虽然并不能换掉全部未知数，但是却可以得出两个字母间的关系，从而极大简化计算，方便得到最后的答案。
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