Girih密铺：伊斯兰几何天才的拼图游戏

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介绍

汉金的多边形接触法(PIC)[7]，邦纳的多边形技术[1，2]，以及克伦威尔的模块化设计系统[5]，都描述了用拼块镶嵌平面的方法。我把这个概念称为密铺。其中的图案遵循特定的规则，实现不同的艺术效果。最值得注意的规则是图案线与边相交的角度（有时称为接触角）。

Lu和Steinhardt[9]的一篇关于伊斯兰几何图案的准晶体性质的论文也认为，拼块可能是制作这些历史图案时使用的一种关键方法。为了支持他们的主张，他们从托普卡普卷轴[10]第28板块的5重旋转对称图案中定义了5种拼块作为拼块组的例子，见图1。这些拼块具有等边性。他们将这组拼块命名为Girih拼块[6]。

对现有的5重对称的伊斯兰几何图案的分析表明，这5种拼块只允许对一小部分图案进行密铺，因此Girih拼块集应该包括更多的拼块。此后，我将现有的5种拼块称为"核心—5"拼块。

图1："核心5"——由Lu和Steinhardt定义的5种Girih拼块，这里的边缘规则角为72º

伊拉克巴格达的阿拔斯王朝的Al-Mustansiriyya Madrasa（公元1227-1234年）的窗台就可以用girih拼块重构。

需要额外的拼块并不是新的发现，早期的论文就提出过新拼块。Jay Bonner从2003年(比Lu和Steinhardt早4年)在他的论文[1]中发表了"核心—5"拼块以及附加拼块，见图2a。2016年，让·马克·卡斯特拉（Jean-Marc Castera）在他的论文[4]中提到了同样的拼块。彼得·R·克伦威尔（Peter R.Cromwell）在他2010年的论文[5]中还提供了一个升级的Girih 拼块集。他的关键平铺设置的贡献是为他称为桶形密铺的密铺指定两个版本的图案线，见图2C。

这些论文的共同点是，他们并不关注拼块组。拼块被用作交流其他主题的部分。

图2：以前提出的其他拼块，邦纳(A)、Topkapı卷轴(B)、克伦威尔(C)。

图3展示了罗杰·彭罗斯爵士在70年代的P1、P2和P3拼块组中的5种额外拼块[11]。由于拼块形状存在锐角，并非所有拼块都能通过切割进入升级版拼块组。从数学上讲，它们应该如此，但从审美角度看，艺术家会认为，锐角为它们承载图案线（图案）的方式提供了限制。在边缘之间的狭窄区域，图案不会得到足够的空间来发展。在历史上的伊斯兰几何图案中，这些拼块很少出现，这也支持了为什么这些拼块会被省略。风筝拼块的形状没有锐角，所以它设法提升到了这组图案中；但即使Dia（薄菱形）非常锐利，它仍然可以使用，因为它确实为一些边缘规则的角度提供了令人满意的解决方案。

图3：来自彭罗斯P1、P2和P3拼块集的非“核心—5”拼块

托普卡帕卷轴[10]是帖木儿时代的教学图案集。在一些图案中，拼块的边缘是可见的。他们揭示并确认了进化拼块集中的几个额外拼块，见图2b，包括彭罗斯P2拼块组中的风筝。这些图案，以及许多伊斯兰几何图案，不能只用"核心—5"拼块来铺砌。

由于这额外的6种拼块（在图2中）已经被多个来源所承认，从帖木儿时代开始一直延续到现在，它们对于复制历史上的5重对称图案的意义是不容忽视的。现在是时候给它们以应有的崇高地位了，也到了发展Girih拼块组的时候了。

非等边性

"核心—5"拼块很容易继续发展。随着添加更多的拼块，演变后的拼块设置有利于更加结构化。下一步是根据边长组织拼块。这可以为今后的发展奠定基础。

所有"核心—5"拼块都是等边的（单位长度为1），但许多伊斯兰的几何图案需要非等边的拼块。本文的重点是"Φ类拼块"，见图4，这是最常见的非等边类。这个类别的拼块至少有一条边是单位边的1.618倍，也就是黄金分割，即Φ。另外6种拼块中有3种属于这一类别，见图7。

图4：等边和非等边拼块类别图表。非中点类别被省略，因为它们与本文无关。

在朱尔斯·布尔金（Jules Bourgoin）1879年出版的出版物[3]中描述的图案中，可以看到这些Φ边拼块的例子。图5中的图案都是用升级版拼块集中的拼块构成的，包括两个具有非等边的拼块——锥形拼块和金字塔块，参见图7。

图5：Jules Bourgoin，图板188b，灰色和棕色的非等边拼块

此外，Bourgoin还描绘了"核心—5"Girih拼块集的拼块——蝴蝶结——其中所有边的长度都是Φ，见图6。

图6：Jules Bourgoin，面板187b，Φ蝴蝶结拼块为绿色

邦纳在2017年出版的书[2]中承认了这一点。他从"核心—5"拼块中指定了三个"全Φ边"的拼块；我称之为"Φ五边形"、"Φ菱形"和"Φ蝴蝶结"拼块。我称这些的拼块为黄金拼块。作为等边的中点拼块，它们符合图4中靠近"核心—5"类别的图表。

这两个Bourgoin图案是历史伊斯兰几何图案的例子，不能与"核心—5"拼块密铺。它们需要非等边类别的拼块。Φ类是可以密铺的两个类别之一。

适配拼块

非等边拼块占了额外拼块的很大一部分。由于它们对重现许多伊斯兰几何图案至关重要，所以它们很有趣，足以被定义为自己的类别并进行详细讨论。我把这些称为适配拼块（见图7中的例子），因为它们可以从一个边缘规则的角度适应另一个角度。图7显示了最常见的同时具有单位和Φ边的适配拼块。它们属于Φ类。

图7：Φ类中最常见的适配拼块

汉金（E. H. Hankin）在他1925年的书[7]中描述了一种拼块图案相互作用的方式。对于长度相等的边，线与另一拼块无缝交叉，也就是说，规则是它们必须在同一点交叉，而且角度相同。这就是"接触多边形法"，简称PIC。

在伊斯兰几何艺术中，主要的边缘规则是两条线在边线的中点相交。对于5重对称图案，线之间的角度主要是36°或72°，请参见图8。

图8：5重对称图案的36°和72°边缘规则

邦纳在2017年的书中谈到了不同的图案系列。[2]这意味着，具有不同边缘规则角度的拼块属于不同的系列。他定义了4个图案系列，在伊斯兰几何艺术的现有图案中占主导地位。三个系列中有一个中点交叉，即锐角（36°）、中值（72°）、钝角（108°），还有一个有两个非中点交叉，即两点（72°）。这些角度是针对5重对称的。其他对称性（如6重对称、8重对称）在每个系列中都有自己的特征接触角。

由于适配拼块有一个以上的边缘规则角度，它们属于一个以上的图案系列。适配拼块允许一个图案有更多的动态设计。图9显示了一个由两个图案系列的拼块组成的图案；图案的主要部分（外部区域）有具有中值角的拼块（用黑色和蓝色的线条引用）。当这两个图案系列相遇时，围绕着中心的锐角星形拼块的适配拼块环（棕色拼块）就像一个"调解人"，让图案适应中心星形。内圈的拼块有更大的尺寸，Φ/（3-Φ）=1.171。

图9：这个图案从72º边缘规则角（黑色）和两点式72º边缘规则（蓝色），适应于中心的144º边缘规则角（红色）。图例中的D代表"双"，表示边上有两点。

以锥形适配拼块为例，边缘规则角的可能组合导致Φ边的单交叉产生6个拼块图案(见图10a)，而双交叉产生7个拼块图案(见图10b)。36/108锥形和72/72锥形可以分别复制锐角和中值图案系列中的许多历史伊斯兰图案。请注意，在这里，我将钝角图案族分成了108°和144°两列，并为拼块提供了第二张表，其中带有Φ边的双交叉。

图10：锥形拼块的可能边缘规则角度。背景越深，拼块图案越有用。在遵循直线中点每一边的对称性标准时，无法构建的边缘规则角度组合的拼块被显示为空区域。

对于创建新的图案，可以使用任何角度，而且交叉的数量也可以不同。图11a中拼块的边缘规则有5条对称的线交叉，8条线作为对或单线交叉，角度为144º、72º和0º。为了优化拼块的选择，边缘的线条必须围绕中点对称，也就是说，中点的每一边都必须是另一边的反射。对于彭罗斯拼块，为了获得准晶体图案而执行匹配规则，线条从中点开始不对称。

边缘规则不一定要指定线条，它可以是曲线。在图11b中，边缘规则的角度是72°，但线条是弯曲的，使最后的图案看起来更加灵动。弯曲的线条在传统的伊斯兰几何图案中并不常见。为了避免急转弯，边缘规则必须包含一个允许曲线有多尖锐的数值（很容易通过贝塞尔曲线手柄的长度来定义）。只要边缘规则的角度对每个各自的边长都是一样的，拼块图案就可以很有创意。图11c显示了一个例子，其中的图案更加精细。

邦纳展示的3种黄金拼块在历史上是可以找到的，但为了创造新的有趣的图案，其他拼块也可以扩大成黄金拼块。图11d展示了"核心—5"类别中作为黄金拼块的示例，每个拼块都有几个主题变体。请注意，这些变体中的大多数都会使最终的图案过于复杂，但一些更简单的变体可以奏效。

图11：边缘规则的变体——多个交叉点和角度，弯曲的线条，以及黄金拼块

升级版拼块组

Lu和Steinhart的"核心—5"拼块组旨在支持伊斯兰图案中的准晶体概念，为此，它已经足够了。在本文中，拼块组的目的有所不同，因为它包括更广泛的范围。我们的目标是创造一套能够提供复制更广泛的现有历史图案的能力，以及创造新的有趣的图案。这需要一个升级版的Girih拼块集。

这6种新拼块之所以合格，是因为它们有能力满足这一目标，或者坚持它们的历史数学相关性（如彭罗斯拼块）。可能的5重对称拼块的范围超过了本文所能涵盖的范围，所以拼块也必须满足其他标准，比如它们在图案中提供多样性的能力。例如，以锐角为图案线的拼块应用范围过于狭窄，所以不在这个集合中。超过10条边的拼块（如开普勒的怪物拼块[8]）不得不在一个单独的拼块集中定义。

图12：升级版的Girih拼块集

除了限制拼块的数量，简化集合的一个方法是根据有用性将拼块分组。我们已经有了第一组，即"核心—5"作为主要的Girih拼块组。我按照有用性增加了3个级别。我称它们为G+，G++，和G+++。越接近"核心—5"组，有用程度就越高。离它越远，分类就越困难，越随意。G+++级并不像其他级别那样固定。它包含3块拼块，我发现它们对创造引人注目的图案很有用；线圈拼块和两个适配拼块，即Sub（潜水艇）和Helix （螺旋）拼块。Sub和Helix 的形状在历史图案中并不常见，但如果没有它们，拼出新的5重对称图案就会受到限制。

我也认为有必要制定一个标准，涵盖拼块对某些图案系列的有用程度。有些拼块对一个图案系列更有用，但对其他图案系列却完全不起作用——例如，蝴蝶结对中值图案至关重要，但对锐角图案却有一种奇怪的外观，而对金字塔图案则正好相反。这使得我们很难定义一个适合所有情况的单一集合。因此，本文的定义只能是基于对拼块有用性的平均估计而作出的概括。

适配拼块属于一个巨大的群体，包含几个不同的类别。本文涵盖了最常见的类别，即Φ类别，包括关键拼块、风筝、金字塔，特别是锥体（因为它是"适配拼块之王"）。请注意，黄金拼块并不包括在这个集合中，因为所有的拼块都可以直接按比例作为黄金拼块使用。

总结和结论

这个新的拼块集合现在已经演变出14种拼块；从一个只有一个目的的固定小集合，到一个具有多用途功能和更复杂、更普遍的组成的集合。这将使定义一个集合变得很困难，它归结为一个人用什么标准来区分有资格被包括在内的拼块。有了G+和G++级别的拼块，人们能够复制比"核心—5"拼块集更多的伊斯兰历史图案。这个新的拼块组将把Lu和Steinhardt的Girih拼块更新到2.0版本，这是一个很好的起点，让大家创造自己的图案，尝试新的设计，并验证现有的历史图案。

参考文献

[1] J. Bonner. "Three traditions of self-similarity in fourteenth and fifteenth century Islamic geometric ornament." ISAMA-Bridges Proceedings, Alhambra, Spain, 2003, pp.1–12.

http://archive.bridgesmathart.org/2003/bridges2003-1.html.

[2] J. Bonner. Islamic Geometric Pattern. Springer-Verlag, 2017.

https://www.springer.com/gp/book/9781441902160.

[3] J. Bourgoin. Les Eléments de l'Art Arabe: Le Trait des Entrelacs. Firmin-Didot. 1879. Plates reprinted in Arabic Geometric Pattern and Design. Dover Publications, 1973.

https://archive.org/details/LesElementsDeLArtArabeBourgoin.

[4] J-M. Castera. "Persian Variations." Nexus Network Journal, vol. 18, no. 1, 2016..

https://www.nexusjournal.com/volume-18/volume-18-number-1-2016.html.

[5] P. R. Cromwell. "Islamic Geometric Designs from the Topkapı Scroll II: A Modular Design System". Journal of Mathematics and the Arts, vol. 4, no. 3, 2010, pp. 119–136.

https://doi.org/10.1080/17513470903311685.

[6] Girih Tiles. https://en.wikipedia.org/wiki/Girih_tiles.

[7] E. H. Hankin. "The Drawing of Geometric Patterns in Saracenic Art". Memoires of the

Archaeological Survey of India. Vol 15. Government of India Central Publication Branch, 1925.

[8] J. Kepler. Harmonice Mundi, CreateSpace Independent Publishing Platform, 2014.

[9] P.J. Lu and P.J. Steinhardt. "Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic

Architecture". Science, Vol. 315, Issue 5815, 2007, pp. 1106–1110.

https://science.sciencemag.org/content/315/5815/1106

[10] G. Necipoğlu. The Topkapı Scroll: Geometry and Ornament in Islamic Architecture. Getty Center Publication, 1995.

[11] Penrose Tiling. https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling.

[12] Lars Eriksson, Adapter Tiles Evolves the Girih Tile Set

青山不改，绿水长流，在下告退。

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