旋转背景下的面积比值问题——2021年宜昌市中考数学第23题

旋转背景下的面积比值问题

2021年宜昌市中考数学第23题

作为初中几何三大变换之一的旋转变换，之所以放在九年级学习，是有道理的，按教材编排，先学习的是平移，其次是轴对称，最后是旋转，因为它和后面的章节《圆》联系紧密。

我们在学习旋转时，多数情况下是旋转背景下的全等三角形，再到后来加入了相似三角形，例如“手拉手模型”、“一线三直角模型”等，所以这一类问题的解决，应该从旋转变换的概念开始，旋转中心、旋转方向、旋转角的确定，是成功构造旋转模型的关键，辅助线的作法也多半出自于此。

题目

如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE=BC，EF⊥CD，垂足为F，将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α(0°<α<90°)，得到四边形CB'E'F'，B'E'所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K，E'F'所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B'F'交CD于点O.

(1)如图1，求证：四边形BEFC是正方形；

(2)如图2，当点Q和点D重合时.

①求证：GC=DC；

②若OK=1，CO=2，求线段GP的长；

(3)如图3，若BM∥F'B'交GP于点M，tan∠G=1/2，求S△GMB：S△CF'H的值.

解析：

由矩形ABCD以及EF⊥CD可得∠B=∠BCF=∠EFC=90°，再加上BE=BC，得到正方形BEFC；

(2)

当点Q和点D重合时，围绕旋转中心C，有CB'=CF'，

①观察GC与DC，GC和CB'在△GCB'中，DC与CF'在△DCF'中，本小题的目标就是证明这一对全等三角形，我们已经知道这是两个直角三角形，且有一条直角边相等，并且∠GCB'+∠B'CK=90°，∠DCF'+∠B'CK=90°，所以∠GCB'=∠DCF'，于是△GCB'≌△DCF'，最后得到GC=DC；

②新增条件OK=1，CO=2，除了能得到CK=3之外，观察△B'OK和△F'OC，它们是一对相似三角形，并且相似比为1：2，于是可得B'K是正方形边长CF'的一半，即K为B'E'中点；

这样可以很容易证明△B'CK≌△E'DK，从而得到CK=DK，再由它进一步证明△GCK≌△PDK，得到GK=PK，即K为PG中点；

在得到上述等量关系之后，接下来我们开始求线段长，仍然从已知求得的CK=3出发，它在Rt△B'CK中，并且这个三角形三边之比为1:2:√5，同时看图中Rt△GCK，它与△B'CK相似，因此它的三边之比也满足1:2:√5，所以可求出GK=3√5，最后得到GP=6√5；

(3)

这种图形中给平行线，明摆着是和相似三角形有关，又给出tan∠G=1/2，看一眼这个角所处的直角三角形，又是1:2:√5的直角三角形，最后求三角形面积的比值，从常规思路出发，三角形面积公式，这两个三角形中，△CF'H是直角三角形，面积相对容易求，并且∠F'CH=∠G，显然Rt△CF'H的三边之比为1:2:√5，设正方形CB'E'F'边长为2a，Rt△CF'H的面积可表示为a²；

对于△GMB，它是一个钝角三角形，底和高均未知，不妨先将能表示出来的线段罗列一下，BC=B'C=E'F'=2a，CH=√5a，F'H=a，顺便求得E'H=3a；

由BM∥F'B'可得∠BMK=∠F'B'K=45°，所以过点B作BN⊥GP于点N，如下图：

先看Rt△GE'H，它的三边之比为1:2:√5，且E'H=3a，于是GH=3√5a，则GB=3√5a-2a-√5a=2√5a-2a，再看Rt△GNB，它与△GE'H相似，所以可求出BN=(2-2√5/5)a，这就是△GMB的高，还可以求出GN=2BN=(4-4√5/5)a；

由等腰Rt△BMN可求MN=BN=(2-2√5/5)a，GM=GN-MN=(2-2√5/5)a，这是△GMB的底；

现在可以表示出△GMB的面积了，2(1-√5/5)²a²，所以比值为2(1-√5/5)²，化简结果为(12-4√5)/5.

这是常规解法，也是从三角形面积公式触发而想到的一条路，有没有别的思路呢？有的.

这次的触发点是平行线，BM∥F'B'

不妨延长B'F'和CH，交于点L，如下图：

仍然设正方形CB'E'F'边长为2a，F'H=a，这一次我们却得到△LF'H∽△LB'C，相似比同样为1:2，因此可求出LH=CH=√5a，用前面的方法同样求出GH=3√5a，可得GL=4√5a，GB=GL-BC-CL=4√5a-2a-2√5a=2√5a-2a；

再观察△GMB与△CF'L，可证明它们相似，相似比为GB:CL=1-√5/5，面积比为(1-√5/5)²，由于点H是CL中点，于是△CF'H的面积是△CF'L面积的一半，因此S△GMB:S△CF'H=2(1-√5/5)²，化简结果仍为(12-4√5)/5.

解题反思

在遇到特殊直角三角形时，灵活运用三边之比不失为一条捷径，若两个直角三角形有一个锐角相等，我们可证明它们为相似三角形，同样也利用这个锐角的三角函数，所以记住一些常见特殊边长比的直角三角形，对解题肯定有好处，例如本题中的边长之比为1:2:√5的直角三角形。

在第2小题的结论①中，属于对旋转变换的直接运用，这一对全等三角形较容易找到，条件也足够明显，而在结论②中，OK=1，CO=2需要联想到两个方面，一是它们所在相似三角形，二是它们所在直角三角形，这两个方面分别就是后续解题的两个推导方向。

本题难点是第3小题，而又给出了明确的提示，一是平行线，二是三角函数，求面积比值也有两种基本路径，一是用面积公式分别表示出这两个三角形面积，再求比值，二是利用相似三角形面积比等于相似比，以及三角形中线等分三角形面积的性质来求比值。无论走哪条路径，都会涉及到特殊边长比的直角三角形、相似三角形、三角函数，所以对上述知识的深入理解，才是成功解出本题的关键。

对教学的指导意义在于，几何压轴题的出处可以在教材上找到，那么重视教材上几何例题的作用，不仅仅是在课堂上演示给学生，而是需要学生自主推导，越是简单的问题，越容易产生理解缺陷，因为不够重视。

以三角形内角和定理为例，不少老师就直接告诉学生内角和为180°，然后便开始大量刷题，从各个角度使用这一定理，45分钟的课堂，大概有40分钟在进行这种练习，表面看上去每种类型的题目都刷到了，这节课应该高效了吧？

错！这节课，不少学生收获可能是零！

内角和定理的证明，为什么要“凑”平角，以及如何“凑”平角，需要认真理解，在这个基础上理解多边形内角和，效果会出奇地好，甚至不需要老师多讲。同时，在“凑”平角的过程中，使用的是平行线的相关知识，相当于将前面的内容又巩固了一遍，你看，一个简单的定理证明，可以有这么多功效，这些是通过刷题得到的吗？按刷题理念，要复习这么多内容，岂不是还要把平行线的题目拿出来刷？那一节课时间够吗？因此，重视基础恰恰是最为高效的学习方式，刷题，真的low爆了。