压轴题研题活动第33场2020年山西省第23题

精彩点评一

学习了袁晓芹老师对2020年山西中考数学压轴题的讲解，我受益匪浅。
一、 以基础知识为根本
袁老师的解题是以沿用课本定义、定理的研究方式来进行的，如何求线段长，若是在格点中可以直接观察，若是在直角坐标系中可以向坐标轴作垂线段或是向与坐标轴垂直的直线作垂线段，从而利用勾股定理、三角形全等或相似求解，这也是课本的例题里总结出的根本方法，千题万法都可从中衍化而来。
二、以解题策略形成重点
在山西中考数学的23题第（3）问中，如何以45°角的存在问题求出Q点坐标，袁老师一共展示了10种不同的构造思路，研究的非常透彻，尤其是解法9，将45°角进行旋转后构造出两个等腰直角三角形相似，以及解法10中将这个45°角放在正方形中利用半角模型求解，是我自己想不到的。袁老师还将解法进行了比较，说明了在所有解法中，选择已知点A或点E为直角顶点作等腰直角三角形，构造一线三直角全等，求得特殊点F的坐标，这样构造会使计算更为简便，是非常好的解题策略。
三、以数学思想方法为依托
数学教学本质是教会学生数学思想方法，袁老师以山西中考数学压轴题为例，从45°角的存在性问题到抛物线中一般角的存在性问题，到抛物线中等角问题，再从角相等过渡到三角形相似问题，又回到抛物线中等角问题，正好以一条线贯穿角的存在性问题。又以济南的26题再次佐证，正是“一题一世界”的境界。从特殊位置的特殊的结论到一般性的结论和规律，不仅仅研透了题，更是挖掘出背后的知识体系和思想方法，这也是我们跳出题海战术的依托，真正避免了就题论题，对我们提高数学思维品质有很大帮助。
解题就像一段旅行,旅程的终点不是让学生获得一堆零散、呆板、无用的知识，而是让他们能够积极、充分、灵活地运用知识去解决问题、学以致用。袁老师作为优秀的数学教师，不是仅仅停留在会解题，会讲题的层面，而是反思知识背后的方法，总结方法的经验策略，剖析经验策略背后的思想，真正实现了卓有成效的解题教学，值得我们反复学习与再研究！

精彩点评二

认真学习了袁老师对2020年山西省中考数学第23题的解法探究，我获益良多：
一、回归教材，重视解法寻根；
袁老师从问题（1）开始，以教材为基础，每一种解法的来源是什么？在教材或者教参中找到原型，以此展开，回归到最基本的定义、定理等。数学解题的本质是转化，是将陌生的问题情境转化为熟悉的知识，以展示最为简洁的充要条件形态。中考数学的命制来源于课本，解法同样来源于课本中的基本知识、基本图形和基本思想等，如何引导学生有效转化？袁老师就做了很好的示范。
二、回归基础数模，重视思维培养
教师在进行解题教学时，通常会有以下场景：看到45°能联想到什么？学生或许会说：构建等腰直角三角形；或许会说：构建半角模型。但如何构建等腰直角三角形，直角顶点如何确定？确定后又如何延伸？对于半角模型通常存在于正方形中，其核心本质是什么？或旋转或割补。学生易联想到对45°角处理的第一步，但是第二步第三步如何处理，往往就是我们教学的难点，袁老师从等腰直角三角形中延伸出一线三等角，利用全等或相似来解决问题，而在本题解法探究中，对于一线三直角，如果补足45°角的另一半图形，便会出现半角模型，解法之间就自然联系起来了。袁老师对于45°角的处理方式之精妙，是我想不到的，基本涵盖了此类问题的所有处理方式，值得反复学习和消化。
三、适度拓展，体现一题一世界
袁老师除了对本题的解法进行了全方位的探究，同时也对每一个问题进行了适度的拓展，以济南2020数学中考第26题为延伸，由特殊到一般，从45°到30°，再到一般角，由浅入深，集中体现了数学问题中常用的的归纳法和演绎法，从单纯的解题教学升华到了对数学核心素养的培养和渗透，其背后体现出的思想表达是需要我们青年教师去学习和体会的。
教师进行解题教学的目的是知一题，得一串，通一片，其过程就是精选、会用、善变，袁老师以一道题为例，从基本知识和基本技能出发，体现了用什么？怎么用？用完还能发现什么？可以如何变？变的目的是什么？其内涵是以点带面，不仅是培养学生解题的能力，更多的是培养学生的思维能力和转化、归纳、分类等基本技能，值得我们认真学习和反思！

精彩点评三

今天学习了袁老师对2020年山西中考数学第23题的解法探究，所受启发颇多。一、第二问追根溯源至七年上册等分点、七年级下册坐标的意义，让我再一次体会到：学生对数学概念理解的程度，对他解题有决定性作用。在此问题中，理解了坐标中线段长度的内涵和外延，再辅以适当方法，可以无往不胜，也再一次提醒了我要搞好概念教学，在教学中渗透概念中的数学思想；二、袁老师构图能力非凡，值得我学习。第三问对于45度角构图：①做各种垂线构造等腰直角三角形，进一步得全等三角形或相似三角形，②构建正方形中半角模型③寻合适图形旋转45度角构造等腰直角三角形，此方法最令我惊艳叫绝。同时还把45度角延伸到非特殊角构建相似形等，举一反三。三、方法归纳精当。对于求点的坐标，归纳有交轨法（求直线DQ）、定义法，学生若全面掌握方法和构图技巧，做题时必然胸有成竹，举重若轻。

精彩点评四

压轴三十三场研，多少菁华讲题中
袁晓芹老师对2020年山西省第23题的研究，颇多细节值得学习。细节一，根据二次项系数作函数图象。在解决二次函数类压轴题的时候，我们通常需要作抛物线图象，多数情况下是“随手”作图，对于教师来讲，多年经验积累，以及提前对答案有充分了解，作出的图象往往非常符合题意，但对学生而言，永远是“第一次”，因此如何让学生作图尽可能贴近题意，需要将教师的经验传授给学生，|a|决定了开口大小，当它是一个真分数时，开口较大；细节二，在第2小题中，关于坐标系中求线段长度，从点坐标的概念说起，回归到最初的认知，恰恰在九年级复习过程中，讲题时，学生始终不明白如何用坐标得到线段长度，导致无法顺利建立它们之间的联系，症结就在这里；细节三，关于三等分点的分类，袁老师从教材上中点定义出发，从二分与三分最根本的概念说起，顺势引出分类的必要性；细节四，第3小题的方法引导中，在如何想到上，篇幅非常多，将45°角相关的方法基本都涉及到，如果是教师备课时看这个视频，相信对于课堂上如何让学生想到，会有更明确的认知。
在第1小题中，由于要求直接写出结果，因此方法众多，可以令y=0解一元二次方程，也可以用配方法，还可以将一般式化为交点式，甚至换元法，对于多数学生来讲，正确解答不是问题，然而本小题的解答过程中，集中了后续解答的引子，即任何一处微小的结论，稍作发散，增添适当的条件，便是后面的解题方法。
第2小题的三等分点问题，起源于教材上关于中点的描述，显然三等分点与中点区别在于数量及位置，需要进行分类讨论，另外在坐标系中求与坐标轴平行的线段长，在已经确定“上下左右”位置的前提下，将坐标相减即可，若不确定，则需要加绝对值符号。这里隐藏着分类必要性的探讨，分类的原因是不确定性。
第3小题是本题的难点，也是研题的亮点，那个45°角确实令人浮想连篇，第一印象是构造等腰直角三角形，这没错，在这个基础上继续联想到一线三等角，这当然也可以，继续联想到正方形，这需要点想像力，还能联想到母子型相似（共边共角型），十分精彩，10种解法令人直呼酣畅淋漓。当然，研题不仅止于此，拓展中还有更精彩的部分，45°角这个结论，还可以变成其它结论，利用某个三角函数值，毕竟三角函数与特殊角联系非常紧密，还可以变成相似三角形的存在性探究，这在各地区中考题里都能见到，从不同的考题中，找出相同的部分，这正是我们的研究之道。
对于研题者，一题一世界，这个世界是研题者创建的“小宇宙”，包含自身对数学教学的感悟，也凝结了课堂教学的经验，袁老师的教学反思中，大量的题目信手捻来，这种积累令人叹为观止，在我看来，这是只有未来人工智能才能达到的高度。显然这种积累来自于平时的课堂，一题一研，一课一得，一点一滴，百川汇海。
作为本学期的压轴研题，回顾曾经的三十三场，能够参与并与大家交流是一种荣幸，思维只有碰撞之后才会有火花，教学只有交流才会更快成长。题也好，课也罢，终究是为了学生的发展，眼中有学生，就是教学的初衷。

个人感言

感谢张钦博士提供这个平台，感谢叶先玖老师跟我交流理清思路，提醒将今天的讲题与过去的文章联系起来，感谢李玲老师帮我修改相关字体，感谢黄毅老师帮我选电脑......特别感谢老师们在万忙之中抽出时间听我讲题。

这次讲题，我将我几年的就相关问题的研究做了一个完整的版本，当初写文章时，还仅仅是将45°角推广到了一般角的存在性问题，今年去年通过研究所有函数压轴题，将角的存在性推广到三角形的相似的研究，将复杂的三角形的相似问题转化为简单的角的存在性问题来理解，可能学生的解题步骤没什么变化，但是知识体系已经不能同日而语，起码就我个人而言，思路更清晰，更不畏惧；

其次，通过反思，加上山东济南压轴题的研究，更坚定了我对于压轴题的研究要尽量挖掘出背后的知识体系和思想方法，压轴题的研究可以作为老师深度学习的一个好的实践机会，在研究语言怎样表达，条件怎样给出，模型怎样隐藏.....整个过程中，对初中知识的相关性有了更清晰的认识，终于有点明白“看山还是山”的意境。

另外，我在做PPT的过程中，信息化水平有很大提高（当然跟很多老师还有很大差距），每每出现技术上的困境时，就深感“工欲善其事，必先利其器”，同时也发现通过自己的设计才能更充分地表达出自己的想法。

每一次成长都是需要付出代价的，做题与思考也让我获得了很多快乐，我很开心有这样一个温馨的大家庭一起学习。

袁晓芹老师简介

袁晓芹，女，1974年生，中学高级教师，宜昌市初中数学工作室核心成员。现有16年初中数学、9年高中数学教学经历，连续多年承担毕业班的教学工作，负责九年级的培优工作，曾获得宜昌市教学质量奖；曾获得部级优课、省级优课、宜昌市优质课一等奖，宜昌市说课一等奖，曾到恩施、松滋及市内多地送课及作有关教学研究的报告，得到专家及一线教师的好评。参加编写了《宜昌市中考说明》、省教研室的《练习册》、《高中数学学考必备》，疫情期间主编的以课标为指导的《九年级数学教学指南》得到一线教师的一致肯定；曾有多篇论文及案例获得国家级一等奖，有关压轴题讲解研究的论文《从主动感知和回归到自觉联想与贯通》在《中学数学》上发表。