走近卡拉比-丘成桐空间，解密“弦论的DNA”

引言

美丽几何点缀弦论 物理数学殊途同归

撰文 | 张天蓉

责编 | 宁 茜 吕浩然

科学就是如此奇妙，很多时候，物理学家和数学家经常从完全不同的理由出发，独自进行研究，最后却发现得出了某种相同的结构，卡拉比-丘空间的发现是此类实例之一。

01

弦论的DNA

丘成桐（1949- ）在1977年就证明了卡拉比（Eugenio Calabi，1923- ）于20多年前纯粹作为几何问题而提出的猜想，从此以后，卡拉比-丘空间（Calabi-Yau Space）便成为了他的“掌上明珠”。但丘成桐可能不知道的是，同样也有一批理论物理学家和数学物理学家，逐渐被这种类型的几何结构所吸引。那几年，他们正在“众里寻他千百度”呢，但却万万没想到，这“灯火阑珊处”，原来就在离得不远的数学界。

1984年，丘成桐接到他以前的博士后加里·霍洛维茨（Gary Horowitz，1955- ）和好友安德鲁·斯特罗明格（Andrew Strominger，1955-）的电话。他们告诉丘成桐，在他们最近的工作中，发现弦论中蜷缩起来的额外六维空间，就应该是卡拉比-丘空间。他们的结果发表在 Candelas-Horowitz-Strominger-Witten 1985 年的文章里。

从物理学的角度看，卡拉比-丘空间最简单的特性，可以用一句话来描述：这是一个里奇平坦的、紧致的复流形，怎么理解这三个特性呢？

01

复流形

复流形（complexmanifold）是具有复数结构的流形。流形则可以简单地被理解为局部平坦的空间，换言之，其上的每个小区域看起来都像普通的欧几里德空间（Euclidean space）（“流形”和“空间”两个词汇通用，本文以后将不再区分）。复流形就是能被一族具有复数坐标的邻域所覆盖的空间。一个n维复流形也是2n维的（实）流形。例如，图1是1维复流形（2维实流形）的几个特例。

图1：几种特殊的1维复流形

图1a复数平面（complex plane）是最简单平庸的1维复流形。b所示的环面（Flat torus）是卡拉比-丘流形的实2维类比。c黎曼球面（Riemann Sphere）和d平方根黎曼曲面（Riemannian surface）是黎曼流形的例子。

02

紧致性

紧致性流形是因为空间弯曲而造成的图形，如图1b和1c所示。紧致性，有其严格的数学定义，在丘成桐先生的科普书《大宇之形》中，将其简单地解释为“范围有限”。我们也不妨使用康奈尔大学麦卡利斯特（Liam McAllister）的话来这样直观理解紧致性：“可以用有限块、有限大小花布缝制的被子来完全覆盖它”。卡拉比–丘流形属于紧致性流形，因此将它用于弦论中时，我们这些四维时空的居民，根本看不到这个紧致极小的六维空间。尽管它无处不在，系附在我们世界的每一时空点。

然而，这个看不见摸不着的空间，对我们的4维时空有着深刻的影响。弦论学者们认为，原则上，只要我们知道这个紧致空间确切的形状，我们就知道了一切。也有人说：“宇宙密码可能写在卡拉比-丘空间的几何性质中”，就像人体DNA记录了人体的秘密一样。因此，弦论的创建者之一，斯坦福大学物理学家萨斯金（Leonard Susskind，1940- ）宣称，卡拉比-丘流形是“弦论的DNA”。

03

里奇平坦

里奇平坦空间（Ricci-flatmanifold）的意思是该空间的里奇曲率（Ricci curvature）为0。那么，又何谓里奇曲率呢？这个名词对物理（弦论）很重要，但解释起来需要更多的预备知识。此外，如同卡拉比-丘空间这样一种颇为复杂的复3维（实数6维）几何结构，又是如何与物理学关联起来的？这些都得慢慢从头说起。

02

背景

01

几何与物理

其实上，科学史中几何与物理的交汇之点比比皆是、源远流长。

几何与物理是相通的，杨振宁曾经赠给著名几何学家陈省身一首诗：“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”（编者注：先别看下文，诗中的最后一句“欧高黎嘉陈”，你知道是哪五位几何学家么？）

其中所言“四力纤维能”，指的是杨先生1954年建立的用于“四种力”的规范场论，正巧与陈省身先生8年前（1946年）提出的“纤维丛”理论，奇妙地联系在一起。诗里最后一句则点出了“欧几里德（Euclid，约330B.C-275B.C）、高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）、黎曼（Friedrich Riemann，1826-1866）、嘉当（Élie Joseph Cartan，1869-1951）、陈省身（1911-2004）”五位伟大几何大师的名字，他们的工作都与物理学有一定关系。

欧几里德几何与牛顿力学的关系是显而易见的：静力学的分析中，几何图形处处可见；描述天体的运动时，少不了几种圆锥曲线。牛顿第二定律的公式F = ma，左边的F是物理量，右边的加速度a，是轨道变量的二阶导数，在一定的情况下可表现为曲率，描述某曲线偏离直线的程度，是几何量，如图2所示。

图2：平面曲线的曲率半径和曲率

曲率（curvature）是什么呢？对平面曲线而言，曲率是曲率半径（密切圆半径）的倒数，表征曲线的弯曲程度。比如说，比较图2中的曲线在点A、B、C的曲率：点A的曲率小于点C的曲率；点B的曲率最小，因为它的附近是一段无弯曲的直线，曲率为0。

当几何的研究范围从曲线扩大到曲面的时候，曲率增加了一个本质上全新的概念：内蕴性。由此可将曲率分为外在曲率和内蕴曲率。图2所示曲线的曲率是外在曲率。

德国数学家高斯在1827年的著作《关于曲面的一般研究》中，发展了内蕴几何和内蕴曲率的概念[1]。

02

内蕴曲率和外在曲率

内蕴，是相对于“外嵌”而言。内蕴几何（intrinsic geometry），说的是那些源于内在结构而不依赖于所“嵌入”的外在空间的几何，也就是在该空间以内“感受”到的几何性质。我们先从一条线说起，线是1维空间，把它画到图2中，便是将它嵌入了2维空间。设想有一个生活在线上的“1维小蚂蚁”，它只知道这条线，不知道有图中的平面，更不知道我们能感受到的3维空间。也就是说，我们看见这条线在平面上弯来拐去，小蚂蚁却是看不见也感觉不到的。那条1维线如何弯如何拐，都是我们看见的“外在”性质。蚂蚁只知道顺着线爬过去，我们看到的是“弯曲”还是“平直”，对蚂蚁来说，没有任何区别：只有爬过的距离，没有前后上下左右。

所以，图2中标出的那条线上不同点（A、B、C）的不同曲率，是1维线的外在曲率。因此，1维的内蕴几何很简单：任何1维线（在任何点）的内蕴曲率均为零。

现在考虑二维的情况。例如，我们用一张纸代表2维空间。将它平铺在桌子上，是平坦空间。如果将它卷成圆柱面或锥面，看起来便弯曲了。但是，这里所谓的“弯”是我们从3维空间看这张纸的形状，并非这张纸本身的性质。也就是说，这种“弯”是外在而非内蕴的。换言之，纸上的“2维蚂蚁”，感觉不到平坦铺于桌子上的纸与卷成了圆柱面的纸有啥不同。

为了描述曲面的内蕴性质，高斯将曲面上的曲率定义为两个主曲率（最大和最小）的乘积，即高斯曲率（Gauss curvature）。图3中用红色标示出了柱面、锥面和球面的主曲率方向。从图中可见，柱面和锥面在x方向的主曲率为0，因此高斯曲率（与0的乘积）也为0；球面的两个主曲率都不为0，使得球面的高斯曲率不为0。

一张纸卷成了圆柱面，其内在几何性质并未改变，因为将它摊开后仍然是一张平纸，从顶点剪开一个锥面也是如此情形。这种展开后为平坦的性质叫做可展性。可展性与内蕴性紧密相关，这儿不详细解释，仅以图3中的图像实例来帮助大家理解，更多详情见参考资料[2]。

图3：可展和不可展曲面

其实，从日常生活经验，很容易理解“可展”和“不可展”的含义。从图3a也可以看出，可展面就是可以展开成平面的那种曲面。

图3b所列举的是不可展曲面，也就是不能展开成平面的曲面。例如，球面是不可展的。一顶做成近似半个球面的帽子，无论如何你怎么剪裁它，都无法将它摊成一个平面。换句话说，球面和柱面有一种本质的不同。柱面看起来也是“弯曲”的，但本质上却是“平”的，这种情况下我们说，柱面的外在曲率不为0，但内蕴曲率为0。而怎么也“弄不平”的球面呢？两种曲率都不为0。所以，内蕴曲率（以后简称曲率）反映了空间“平或不平”的本质，这对物理学很重要。

可展是曲面的性质，但可以推广到高于2维的空间，对1维的情况，曲线都是可展的，因为一条曲线无论弯曲成什么形状，都可以毫无困难地将它伸展成一条直线。因此，曲线没有内蕴性。

高斯在发现“高斯曲率”是一个曲面的内在性质时，一定是无比兴奋和激动的，因为他情不自禁地将他的结论命名为“绝妙定理”：三维空间中曲面在每一点的曲率不随曲面的等距变换而变化。言下之意就是说，他定义的高斯曲率是一个内蕴几何量[2]。

绝妙定理绝妙之处就在于它提出并在数学上证明了内蕴几何这个几何史上全新的概念，它说明曲面并不仅仅是嵌入三维欧氏空间中的一个子图形，曲面本身就是一个空间，这个空间有它自身内在的几何学，独立于外界3维空间而存在。

03

黎曼曲率和里奇曲率

高斯告诉我们：空间本身可以弯曲。但高斯对内蕴几何仍然有所迷惑，他在给天文学家奥伯斯（Heinrich Olbers，1758-1840）的信中说道：“我们几何的必然性是无法证明的……或许在下辈子，我们会对目前无法触及的空间本质有所理解”。不过，高斯不用等到下辈子，他还在世时就已经看到他的得意门生黎曼，正成功地走在他开创的几何之路上。

图4：高斯、黎曼、里奇

黎曼多病，年仅四十岁便英年早逝，但他对数学作出了多项杰出的贡献。他奠基的黎曼几何（Riemannian geometry），成为广义相对论不可或缺的数学基础，对空间内蕴本质有了更为深刻的理解。

空间不仅可以弯曲，在每个点的弯曲程度还可以各不相同。于是，黎曼于1854年引入了一种特殊的度规方式，指派给空间中每一点一组数字，从这些数字及其微分可计算空间中两点间的距离，从而也就可以决定空间各点自身的弯曲程度，即计算每一点的曲率。

此外，对任意n维空间，存在许多不同的方向，仅仅高斯曲率一个数值，不足以描述n维空间的度规，也不能完整地描述它的弯曲情况。因此，一般将度规及曲率表示成张量（Tensor）的形式。所谓张量，可理解为“标量、矢量、矩阵”等数组形式向n维空间更高阶的扩展，阶数越高，张量的分量数目便越多。例如，在4维空间中，作为0阶张量的标量只有1个值；矢量（1阶张量）4个值；2阶张量有42=16个分量；4阶张量有44=256个分量。

四维时空中，度规gij是2阶对称张量，表达曲率的标准形式是4阶的黎曼曲率张量（Riemann curvature tensor）Rklij。由于对称性，度规张量只有10个独立的分量，相应的黎曼曲率张量[3]有20个独立的分量。另一种里奇曲率张量（Ricci curvature tensor），与度规类似，也是具有10个独立分量的2阶对称张量，以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci，1853-1925）的名字命名，里奇也是理论物理学家，是张量分析创始人之一。

04

广义相对论

爱因斯坦完全从物理和哲学的角度，用几何理论来思考引力。他扩展了等效原理（equivalence principle），意识到我们生活的时空是弯曲的，并且折腾了3、4年寻找描述弯曲时空的数学。最后，却是“得来全不费工夫”——爱因斯坦的同学兼好友格罗斯曼（ Marcel Grossman，1878-1936），将黎曼几何介绍给了他。这才使爱因斯坦摆脱了困境，顺利建立了广义相对论。爱因斯坦惊奇不已地发现，这个与他的要求完美契合的数学理论，早在广义相对论诞生的50多年之前就被发展完善等待在那里了。

总之，广义相对论将引力与几何联系起来，正如相对论专家约翰·惠勒（John Archibald Wheeler，1911-2008）解释的：时空告诉物质如何运动，物质告诉时空如何弯曲。

图5：爱因斯坦引力场方程

图5所示的是广义相对论中的引力场方程，等号右边的能量、动量、张量描述物质分布情况，左边是度规以及度规决定的曲率。也就是说，方程的右边是物理，左边是几何。注意方程中将宇宙常数项设为0。这是当年爱因斯坦加上又后悔的那个“错误”，现在被人们解释为暗能量的可能来源，我们暂不予考虑。

不过，场方程中的曲率并不是完整描述空间内蕴性质的黎曼曲率，而是从黎曼曲率张量指标缩减后导出的里奇曲率Rμν（图中左起第一项，称里奇张量），图中左起第二项中的标量曲率R，也称里奇标量曲率（Ricci scalar），是里奇张量Rμν的两个指标再次缩减后的结果。

黎曼曲率张量有20个分量，里奇曲率分量的数目只有它的一半。无论20个数还是10个数，都是用来描述4维时空的弯曲情况。这就像是给连绵起伏的山区拍一组照片，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，既可以用20张标准照片来描述这一带的地貌，也可以简化到10张照片给该区域一个稍微粗略一些的概括。对里奇曲率的另一种直观理解是：里奇曲率是某种与黎曼曲率张量相关但更为细致的“截面曲率”平均值。这与它是由黎曼曲率指标缩减得到的概念一致，因为指标缩减时的求和过程类似某种“平均”。

03

里奇平坦

现在，我们可以回到本文开始时对卡拉比-丘空间的描述，解释其中“里奇平坦”的意义。里奇平坦，就是里奇曲率为0（包括张量和标量）。根据爱因斯坦方程，里奇曲率和物质场紧密相关，所以，里奇平坦空间是没有任何物质和能量的空间，也就是“真空”（但不考虑宇宙常数）。

换一个说法：里奇平坦空间是爱因斯坦方程的一个真空解。真空解可以是平庸的，例如完全平坦如闵可夫斯基空间（Minkowski space），固然没啥意思，我们也不感兴趣。然而，因为里奇曲率是“平均”值，只是真实曲率的一部分，它为零并不等于黎曼曲率为零。于是，有趣的问题产生了：假如一个空间是真空的，无任何物质和能量，它还会弯曲（即有引力）吗？

上述问题也可以说是对当年卡拉比提出的问题的一种物理方式的粗略表述，尽管他是完全从几何的角度出发的。卡拉比自己猜测这种空间存在，他的猜想最后被丘成桐严格证明了。所以，卡拉比-丘空间是存在的，并可以被简单表述成是“紧致的、非平庸的、爱因斯坦方程的真空解”。

空无一物的空间仍然有曲率、有引力、有复杂的几何及拓扑性质，这对物理学家太有吸引力了。并且又是紧致的，可以将它塞到我们4维时空中的每一点。看不见摸不着却能产生物理效应，生成宇宙中的物理规律，解释标准模型等，还能将水火不容的引力与量子结合到一起，这不正是理论物理学家所需要的吗？ [1]

卡拉比-丘流形是复流形，可以是任何偶数维度的实空间。复1维（实2维）的卡拉比-丘流形，就是图1b所示的抽象环面，它完全平坦，所以意义不大。复2维的K3曲面在弦理论中扮演重要角色，因为它具有除环面之外最简单的紧致性。

当然，弦论中最重要的是6维（复3维）的卡拉比-丘流形，因为它恰好提供了超弦需要的6个额外维度。不过，复3维卡拉比-丘流形不是如丘成桐先生开始时花了很大功夫才确认的那个，也不止几个，而是有成千上万个。每个均具有不同的拓扑形态，是弦论方程的不同解。在每一种拓扑类别里，又有很多种可能的几何形状。

这个事实在弦论学家们脑海中，投下了巨大的阴影，且听下回分解。

参考文献

[1]Carl Friedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), JamesMorehead(Translator), General Investigations Of Curved Surfaces Unabridged(Paperback),Wexford College Press, 2007,

[2]张天蓉. 广义相对论与黎曼几何系列之四：内蕴几何[J]. 物理, 2015, 44(08): 539-541. http://www.wuli.ac.cn/CN/Y2015/V44/I08/539

[3]张天蓉. 广义相对论与黎曼几何系列之十：测地线和曲率张量[J]. 物理, 2016, 45(2): 124-126. http://www.wuli.ac.cn/CN/Y2016/V45/I2/124

制版编辑 | Morgan

本文经授权转载自《赛先生》微信公众号