质数的分布真的毫无规律吗？神奇的质数螺旋与孪生质数

质数的分布真的毫无规律吗？话不能说太绝，至少数学家已经观察到了一些特殊现象，其背后可能隐藏着待发掘的规律。第一个可以观察到的现象是【质数螺旋】（Prime Spiral）。

1963 年，美籍波兰裔数学家乌拉姆（S·Ulam）在聆听一场无聊的报告时在纸上信手涂鸦。他从纸的中心开始，由内而外螺旋形撰写了各个正整数。随后，他圈出了其中所有的质数，如图 3.7 所示。令乌拉姆吃惊的是，这些被圈出的质数与整数方阵的对角线趋近于平行。乌拉姆进一步绘制了一个大小为 200×200 的质数方阵，如图 3.8 所示。他发现，在质数方阵中可以清晰地观察到水平线、垂直线、对角线似乎都包含更多的质数。同时，其他质数的分布似乎还满足螺旋线的关系。

▲ 图 3.7：乌拉姆在纸上的信手涂鸦

图 3.7：乌拉姆在纸上的信手涂鸦

▲ 图 3.8：大小为 200×200 的质数方阵

图 3.8：大小为 200×200 的质数方阵

在知乎问题“极坐标表示 5000 到 50000 之间的素数为什么会形成一条斐波那契螺旋线？”中，知友@王小龙使用 Matlab 软件绘制出了漂亮的质数螺旋线图：

我们不看 500 到 50000 间那么多的质数了，看 500 到 1500 之间的质数就够了。把质数涂成蓝色，把合数涂成红色，就得到如图 3.9 的图像。

▲ 图 3.9：500 至 1500 中的全部质数与合数

图 3.9：500 至 1500 中的全部质数与合数

发现了吧，大概 11 点钟方向和 5 点钟方向的确各有三列数全是合数。如果还是看不太清楚，把 500 到 20 000 内的质数和这三条全是合数的线画出来，如图 3.10 所示。

▲ 图 3.10：500 至 20000 中，所有合数所构成的 条螺旋线

图 3.10：500 至 20000 中，所有合数所构成的 3 条螺旋线

如果把所有没有质数的螺旋画出来，应该如图 3.11 所示。

图 3.11：500 至 20 000 中，所有合数所构成的螺旋线

从维基百科的质数页面链接到一个提供质数表的网站，下载了前 100 万个质数。现在把区间[1 006 721,15 485 863]之间，也就是 100 万到 1500 万之间的质数画出来，如图 3.12 所示。

▲ 图 3.12：1006721 至 15485863 中，所有质数所构成的螺旋线

图 3.12：1 006 721 至 15 485 863 中，所有质数所构成的螺旋线

把左边部分放大一点看，如图 3.13 所示。

▲ 图 3.13：1006721 至 15485863 中，所有质数所构成螺旋线的左上放大结果

图 3.13：1 006 721 至 15 485 863 中，所有质数所构成螺旋线的左上放大结果

第二个可以观察到的现象就涉及孪生质数猜想了。前文曾介绍过，前 x 个正整数中大约有 x/ln⁡x 个质数。这也就意味着，随着 x 的不断增大，质数的比例会越来越小，质数在整数间的分布会变得越来越稀疏。例如，当 x=1000 时，ln⁡x≈7，即大约每 7 个整数中就有 1 个质数；当 x=10000 时，ln⁡x≈9，大约每 9 个整数中才有 1 个质数；当 x=100000 时，ln⁡x≈12，大约每 12 个整数中才能找到 1 个质数。实际上，给定任意整数 n>1，则连续 n 个整数(n+1)!+2,(n+1)!+3,⋯,(n+1)!+(n+1)都是合数，因为显然这 n 个整数从前到后可以分别整除 2,3,…,n+1。

那么，一个很自然的问题是，是否质数越大，质数与质数之间就会隔得越来越远呢？其实不然。很多情况下，两个连续的质数之间只相差 2。所谓【孪生质数】（Twin Prime），就是指相差为 2 的两个质数。孪生质数用数学语言描述为：整数对（p，p+2)，其中 p 和 p+2 均为质数。列举一下最小的 20 对孪生质数：(3,5)、(5,7)、(11,13)、(17,19)、(29,31)、(41,43)、(59,61)、(71,73)、(101,103)、(107,109)、(137,139)、(149,151)、(179,181)、(191,193)、(197,199)、(227,229)、(239,241)、(269,271)、(281,283)、(311,313)。截至 2020 年 10 月，人类已知最大的孪生质数为：(2996863034895×21290000-1,2996863034895×21290000+1)

如果用十进制表示这一对孪生质数，则需要 388 342 位。

那么，孪生质数是否也像质数本身一样有无穷多个呢？希尔伯特在 1900 年第二届国际数学家年会上的报告中正式提出了孪生质数猜想，并将此猜想列入了 23 道最为重要的数学问题中：存在无穷多个质数 p，使得 p+2 也是质数。1849 年，法国数学家波利尼亚克（A· Polignac）提出了一个比上述猜想更一般化的猜想，称为【波利尼亚克猜想】（Polignac’s Conjecture）：对所有自然数 k，存在无穷多个质数对(p,p+2k)。当 k=1 时，波利尼亚克猜想与孪生质数猜想等价。

孪生质数猜想虽然不如哥德巴赫猜想那样著名，但在数学界仍然是一个公认的难题。幸运的是，孪生质数猜想有望在近期得到解决。2013 年 5 月 14 日，据《自然》（Nature）杂志报道 ，华人数学家张益唐证明：存在无穷多个质数对，使得质数对中前后两个质数的差值小于 7000 万。他的论文已被国际数学旗舰期刊《数学年刊》（Annals of Mathematics）于 2013 年 5 月 21 日接收，并于 2014 年正式发表 。同期，华人数学家陶哲轩于 2013 年 6 月 4 日开始了一个名为“PolyMath”的计划 ，邀请网上的志愿者协助合作，降低张益唐的论文中所给出的 7000 万上限。截止至 2016 年 7 月 14 日，上限已经从 7000 万降低至 246。

上文节选自知乎Book《密码了不起》， 作者刘蔚然，[遇见]已获发布授权