浙大学者破解几十年数学未解之谜，算数动力学或迎来重大发展契机

2020 年 4 月 5 日，浙江大学数学科学学院研究员叶和溪、联合哈佛大学与剑桥大学的相关学者，以《Manin-Mumford一致猜想用于属 2 曲线的族》（Uniform Manin-Mumford for a family of genus 2 curves）”为题，在《数学年刊》发表了一篇论文。

图 | 叶和溪论文发表在《数学年刊》（来源：Annals of Mathematics）

《数学年刊》与《数学发明》《数学学报》《美国数学会杂志》一起被学术界誉为世界四大顶尖数学期刊，每年发表的学术论文数量并不多，因此含金量十足。

此项研究意义重大，不仅是动力系统与数论结合这一领域范围的进一步深化，最重要的影响在于其昭示着这一新学科将在未来产生更广泛的运用。正因此，虽然距离叶和溪发表论文的时间已有一年之久，但后续影响仍然在不断显现。

动力学与数论领域互相结合的的研究由来已久，它们就像是数学母树上的分支，彼此朝向不同，但总有枝叶交错重叠的地方。

数论研究的是整数性质，即数字序列的模式；而动力系统则存在一个固定规则，几何空间中某个点随时间的演化情况，实际上产生的就是数字序列，双方必定会在某个方向产生重合。

而它们之间的共性也吸引了不少专业人士的兴趣，经过长时间的发展衍变以及数学家先辈们的持续探索，最终形成了算数动力学这一崭新学科，而叶和溪的成果则将动力系统与数论的之间的联系推到了新高度。

那么，叶和溪与合作学者究竟取得了怎样的研究成果？众所周知，代数曲线上的有理点和挠元，是数学家们非常关心的对象。

浙江大学数学科学学院在院系新闻中曾提到：“ 1983 年，Cole 奖获得者米歇尔·雷诺（Michel Raynaud）证明了著名的 Manin-Mumford 猜想，即亏格大于 1 的任意光滑代数曲线上至多只有有限个挠元。1986 年，美国科学奖获得者巴里·马祖尔（Barry Mazur）提出 Manin-Mumford 一致猜想，即固定大于 1 的任何正整数 g，亏格为 g 的任意光滑代数曲线上的挠元个数有一致上界。”

然而，这个有限上界至今都难以得出精确数字，由于缺乏清晰的框架来定义这些点的复数，计算交点遇到了阻碍，这也成为困扰数学界几十年的未解难题。

而在叶和溪发表的论文中，三位学者证明了曲线的交点数有一个上界，并给予了这个上界更大的空间。而为了设定这个界限，他们使用了动力系统的技术。

其研究有一个很重要的依据，即这种特殊曲线族与雅可比矩阵关系密切，而雅可比矩阵拥有着一个独特性质，那就是它们可以被分成两条椭圆曲线。

三位数学家新工作的重点正在于这些椭圆曲线的扭转点上，他们将目光聚焦在对复杂曲线的交点个数及其雅可比矩阵的扭转点上后，所需要做的就是计算这些扭转点之间的交点，而这也是给 Manin-Mumford 猜想设定一个界限的关键点。

不过还有一个问题，扭转点的计算并不是清晰可见的，两条椭圆曲线可能有不同的形状，它们不一定重叠，这就导致计算很难直接完成。

为了精确确定这些交点的位置，叶和溪和合作者不得不将扭转点从各自的曲线上移开，并将它们放在彼此的位置上。

以往数学家很难有一个清晰的视角来计算这些相交的点，但叶和溪他们将动力系统和数论相结合，把两条椭圆曲线转换成两种不同的动力系统，反而很好地解决了这个问题。

同是研究者之一的哈佛大学教授德马克（DeMarco）也表示：“我们更容易想到一个空间包含两个独立的动力系统，而不是两个独立的空间包含一个动力系统”。

在此之前，没有人认为这个存在于数论中的特定问题与动力系统有任何的关系，而这恰恰是三位学者们开创性的成果。

资料显示，叶和溪 2007 年本科毕业于中国科学技术大学数学系，2013 年博士毕业于伊利诺伊大学芝加哥分校。2013-2016 年期间，曾先后在多伦多大学、英属哥伦比亚大学从事博士后研究工作。2016 年，叶和溪通过浙江大学“百人计划”被引入数学科学学院，作为青年杰出人才代表，荣获浙大数学科学学院首届“陈苏”特聘教授称号。

而在此篇论文发表不久之后，叶和溪和同伴同样又用算术动力学的方法，成功解决了动力系统中的一个难题。

这表明，无论是数论还是动力系统，两者在某些方面的共通性，其实有着非常好的借鉴价值。当此路不通，换条道路和方向未尝不是一种方法，借它山之石以攻玉，算术动力学的魅力正在于此。或许不久之后，两相结合的算术动力学便会迎来蓬勃发展。

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参考：
https://www.quantamagazine.org/with-arithmetic-dynamics-mathematicians-unlock-new-insights-20210222/