用物理学理论来预测股市的崩盘，股市本质上是一个物理系统

历史上有过许多股市崩盘。最著名的例子当属1929年的大崩盘：

• 图1：1928-1930年间道琼斯工业平均指数的崩盘。

还有1987年的“黑色星期一”：

• 图2：道琼斯工业平均指数1987年6月19日至1988年1月19日。

最近，由于对新冠病毒的担忧，市场出现暴跌，这是2008年金融危机以来最严重的崩盘：

• 图3：最近，由于对冠状病毒的担忧，道琼斯工业平均指数大幅下跌。

崩盘是罕见事件的例子。崩盘发生的可能性比通常的高斯分布或莱维分布所能解释的要大得多。下面是高斯分布和莱维分布图：

• 图4：高斯分布和莱维分布之间的比较

考虑到崩盘，市场的行为可以分为定性上不同的阶段：

• 价格波动弱相关的正常交易阶段
• 从上涨到崩盘的阶段，其特征是价格波动之间有很强的相关性。

这种行为的变化可以与物理学中已知的一种现象相比较：相变。在相变中，存在几个物理量发散的临界点。这些点将被比作市场崩盘。

崩盘的性质

正如在前一篇文章中详细讨论的那样，股票收益的分布更类似于莱维分布而不是高斯分布。前者很宽的尾部，更有效地预测崩溃和其他类型的罕见事件。我们可以很直观地假设，崩溃的样本位于尾部非常远的边缘（可以识别为极端波动）。

• 图5：布朗运动和莱维飞行（Lévy flight）之间的比较。

我们将模拟股票价格过程S(t)作为一个截尾的无漂移莱维飞行（见上面莱维飞行和布朗运动之间的比较）。

截尾的莱维分布是通过使用截断参数截断通常的莱维分布的尾部获得的，例如：

• 式1：截尾的莱维分布。

其中N是一个标准化常数。下图展示了截尾的莱维分布和标准的莱维分布。

• 图6：截尾的莱维分布与标准的莱维分布的比较。

分布的中心部分，用p(l)表示，其中l为价格波动，当l < 6σ时，可以很好地用莱维的指数α = 1.4的分布来近似，其中σ是该分布的标准差（参数α在很大程度上表征了l的行为）。可以根据本文的算法生成莱维增量：

• 式2:无漂移莱维飞行。增量是从截断的莱维分布中取样的。截断参数为ΔL = 6σ。

如果分布是指数α不同于1的对称分布，则飞行为：

• 式3：对称分布的莱维飞行，其中u在[-π/2， π/2]之间均匀分布，v的均值为1的指数分布。

式3是一个对称分布的莱维飞行，其中，u是一个随机变量，在[-π/2， π/2]之间均匀分布，v是一个均值为1的指数分布。

最大偏移

首先定义随机过程x(t)的最大值函数M(t)：

• 式4：给定区间内样本路径x(t)的最大值。

为了确定M(t)的分布，我们需要定义一个停止时间t。如果假设过程在x(t)第一次达到某个数a时停止，我们可以定义：

• 式5：过程x(t)的停止时间。

我们可以证明标准布朗运动的最大M(t)或最大偏移的概率密度为：

• 式6：标准布朗运动最大M(t)的概率密度。

这一结果在评估金融市场风险时至关重要。

通过对式1和式2中的参数的选择，经过莱维过程的大约100步后，得到了极端事件的高斯行为。换句话说，价格波动的非高斯特性很快就消失了。

跌幅

我们也可以使用递减分布来衡量极端事件。跌幅是指价格时间序列中从一个相对最大值到下一个相对最小值的下降百分比。请注意，递减方法规避了在分析极端偏差分布时出现的固定时间范围问题（因为它平均了发生在极端偏差之间的不同时间延迟）。

• 图7：跌幅D的相对数目N(D)的线性对数曲线图

现在，在图8中，观察在DJI中发现的两个区域。对于D < 15%，拟合得很好。然而，对比这两幅图可以发现，DJI在30%水平上的下降频率比模拟数据高约10倍。模拟数据预测的下降概率要高得多。

• 图8：道指下跌次数N(D)与下跌幅度D的对数线性曲线图。

状态变化和相变

根据这些数据，有人推测，这些罕见事件不仅是“正常”统计数据中的异常值，而是表明了两种状态之间的转换：一种状态具有“正常”动态，另一种状态具有巨大波动的特征。

考虑图9中的两个崩溃。它们显示了1929年和1987年股市崩盘时道指的每日收盘行情。我们注意到，这两个价格序列在崩盘前逐步增加。这些步骤是一个周期越来越短的，在接近实际崩盘时消失（换句话说，随着崩盘时刻的临近，步骤变得越来越短）。这种行为似乎是崩盘的前兆。

振荡

• 图9：1929年和1987年股市崩盘时的每日道指收盘行情我们注意到，这两种情况在崩盘前的步骤都有所增加。此外，当接近崩盘时，步幅变得越来越小。

此外，价格下跌的幅度表明，它们不是罕见“正常”价格序列的统计波动。

的

协同和临界

当崩盘临近时，大量的交易者自发地决定出售他们的股票（这是一种“合作”），从而动摇市场的流动性。不匹配的需求导致价格下降，市场进入非均衡状态。似乎出现的情况是，交易员之间产生了相关性，从而引发了随后的崩盘。

在热力学和统计力学中，当系统接近所谓的系统临界点时，会发生极其相似的现象。在《从众行为和金融市场的总体波动》这篇文章中，作者建立了一个简单的模型来提供市场行为和热力学之间的联系。

Cont-Bouchaud模型

考虑市场中有N(t)个交易者具有相同的平均交易量。交易者i可以：

• 买进，如果ϕ_i= 1
• 兜售，如果ϕ_1
• 观望，如果ϕ_i= 0

供需差异：

由

• 式7：供给和需求之间的差异。

我们提出了两个假设：

1. 假设价格变化与供求之间的不平衡成正比。
2. 比例常数衡量了市场对供求差异的敏感性，即所谓的市场深度。

通常，在市场中，交易者之间是相互的。这种相互作用以两种不同的方式发生：

1. 直接接触
2. 间接的，通过跟随价格的演变。

由于这种互动导致两名交易员采用共同的策略（他们要么买进、卖出，要么保持观望），他们之间就产生了所谓的“债券”。债券产生的概率为：

• 式8：债券发行概率，对于大市场来说是个小数字。

考虑 N(t) >>1，这是一个很小的量。参数b衡量的是交易员与同事互动的意愿。下一步是连接随机生成聚类的两个交易员，每个交易员都有关于其活动的不同视图。

其中ϕ(c)=+1或-1，包含有活跃头寸的交易员；ϕ(c)=0包含非活跃交易员。

• 图10：导致聚类形成的步骤。

式7中的和可以重写为N(c)个集群的和：

• 式9：式7中以聚类形式表示的和。s系数表示聚类的大小。

其中s(c)为每个聚类的大小。现在，我们将从渗流理论中借用一些结果：

• 图11：渗透

据此得出无限范围渗流模型的聚类大小概率分布为：

• 公式10:无限范围键渗模型的簇大小概率分布。

这对于b约为1是有效的。b=1为渗流阈值，有限聚类具有b<1；当b=1时，单个聚类出现并渗透到整个系统。这是一个关键现象的例子，强烈的时间相关性产生不同的动态状态。平均而言，当所有交易者都连接在一起时，就会发生渗透。如果b> 1，更多的交易者进入聚类，开始控制整体行为。如果这个跨界聚类的成员决定出售，新的动态就会导致崩盘。为了避免这种情况的发生，我们必须有一个借口。但是，我们必须记住，b必须接近1。否则，将破坏对被截尾的莱维行为的保留。市场的性质应该是这样的，它将系统推向b≈1，并在“正常”行为时期将系统保持在临界区域。

现在，物理学中充满了显示这种行为的系统。许多模型在没有任何外部控制的情况下，逐步向动态吸引子演化，当它们接近它时，它们表现出临界性，表现出幂律和宽尾。这里的类比是精确的，因为是系统本身的动力学使它接近临界点。这被称为自组织临界。

• 图12：森林火灾模型是显示自组织临界性的一个系统示例。

因此，我们研究的模型将股票市场视为一个自组织的临界系统。