在这篇文章中，我将分析股票价格的统计特性。我将首先说明，与大多数人的想法相反，收益的分布不是高斯分布。然后我将讨论莱维分布（ Lévy distributions），它有很宽的尾部，因此在预测可能的崩溃和其他罕见事件方面更有效。最后，我们将讨论相关性。同样，与常识相反的是，在常识中，相关性从一开始就是零。真实的金融数据只有在某个时间间隔Δt*之后才变得不相关（在此时间间隔之前，它是一个衰减的指数函数）。
股票价格统计分析
股票价格的动态行为一般基于以下假设：
（1）交易的连续性意味着报价之间有一个非零的间隔
（2）价格演变为一个具有基本随机变量的随机过程
- 式1：描述股票价格动态的随机过程的随机变量。
它们既是独立的又是同分布的，且有有限均值μ和方差σ。
（3）ln S(t)的价格动态是一个扩散过程。扩散是指某一物体从其浓度高于其他大多数地方的地方“扩散”出来。
- 图1：扩散过程的示例。当隔板被移开时，溶质扩散，充满整个容器。
随机变量的增量被假定为高斯分布。这个模型被称为几何布朗运动（GBM）。GBM为下列随机微分方程（SDE）的解：
- 式2：描述GBM的SDE
其中W(t)为维纳过程或布朗运动，μ称为漂移，σ为波动性。：
解是
- 式3：式2的解。
- 图2：显示了漂移μ变化时GBM的几个例子。
标准差σ(t)的指数接近0.5，这意味着价格变化是独立的。
根据式1，在有限区间内的报价总数是发散的。因此，根据中心极限定理：
具有高斯分布。
- 图3：通过对新的随机变量求和来“平滑”，原始分布密度收敛为高斯分布
我们应该模拟S(t)和一个离散时间的随机过程：
其中Δt为有限区间。物理学家已经对这些离散过程的性质进行了详细的研究。
股票收益
物理研究通常关注价格的变化而不是价格本身。如果 ΔS(n) << S(n)， Δt很小并且价格变化缓慢，我们可以做出以下：
近似
- 式4：随机变量的选择。
几何布朗运动的蒙特卡罗模拟比较：
- 图4：布朗运动的蒙特卡洛模拟例子。
用布朗运动的模拟：
使用年度漂移μ=10%，年波动率σ=20%和相同的正态分布随机数X(n)，我们得到图X它显示出非常可靠的一致性。
- 图5：对每日现货价格S(t)，几何布朗运动（实线）和布朗运动（虚线）的蒙特卡罗模拟的比较。漂移，波动，和选择的高斯随机数集是相同的。
因此，我们可以使用加法（而不是乘法）模型来计算股价：
- 式5：收益的加法模型。
在加法模型中，价格增量相加；而乘法模型中，连续的价格比率相乘。
一个数学插曲
莱维分布
- 式6：莱维分布。
是由法国数学家保罗·莱维（ Paul Lévy）和苏联数学家亚历山大·金钦（Aleksandr Khinchin）提出的非负随机变量的概率分布。莱维分布考虑了峰度。
- 图6：高斯分布和莱维分布的比较。
莱维分布是一个稳定的分布，它意味着具有该分布的独立随机变量的线性组合将具有相同的分布。因此它们具有标度性：
- 式7：稳定分布具有标度性质。
- 图7：自相似过程的示例。
然而，莱维分布有不同的标准差。而且，它们的最大值更大更窄，我们知道这不会发生在真实的金融案例中。
- 图8：某股票日价差的对数与高斯分布的比较。尾巴是更宽的，它的最大值更大更窄。
这可以通过使用截断参数截断尾部来解决。一个截断莱维分布的例子如下：
- 式8：截断的莱维分布。
其中N是一个标准化常数。
- 图9：法国数学家莱维和苏联数学家金钦
曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）是第一个注意到资产价格波动比高斯分布预测更频繁的人，他们有大尾巴。
的
在一篇著名的论文中，H. E. Stanley和R.N. Mantegna利用1984-1989年的标准普尔500数据集来确定：
- 式9：股票变动的定义l。
- 图10：美国物理学家H. E. Stanley和意大利物理学家R.N. Mantegna
使用间隔Δt = 1，…，10^3min，其结果如下图所示。
- 图11：在Δt = 1分钟内，标普500的价格变化l与l/σ的概率分布。将高斯曲线（窄曲线）与莱维分布的最佳拟合进行比较。当l/σ≤6时，后者更好，但当l/σ≥6时，则呈指数下降。
以下莱维分布与l/σ≤6的数据吻合较好：
- 式10：莱维分布与l/σ≤6的数据吻合较好。之后，衰减是指数衰减。
莱维分布有两个主要的重要属性：
- 他们的稳定性（自相似性）
- 它们是概率空间中的吸引子
- 图12：识别稳定吸引子的收敛过程示意图
截断莱维分布在截断生效之前的很长一段时间内保持自相似。
相关性
几何布朗运动假定ΔS的相关性为零。为了验证这一假设，我们使用以下相关函数：
- 公式11：价格-价格相关性。
相关函数的值可以在区间[-1,1]内，但有三种情况是特别相关的，即：
如果1和2服从，则有：
- 式12：高斯过程的价格-价格相关性。
反之，式10从1到0呈指数衰减，且在较小时间内呈强相关性：
- 式13：价格-价格相关函数的指数衰减。
Δt* >15 时，我们得到了一个价格分布的候选方案。在Δt*之后，可以考虑一次价格变化为同分布的，分布为：
- 式14：当ΔS已经是同分布时， Δt* >15后价格变化的概率分布。
N*个因子的卷积累积分布为：
- 式15：式14卷积的累积概率分布
- 图13：标准普尔500指数与真实数据的累积概率分布。
我们注意到一些事情：
- 用α = 3/2 （c和λ拟合）截断的莱维分布可以很好地描述分布式14。
- 卷积很好地近似于t >> Δt*处的概率，但随着T的增加，卷积的形状收敛为高斯分布
- 随着T的增加，真实的金融数据跨越累积分布（在开始时低于它，在尾部高于它）
根据所分析的市场，高斯函数的收敛时间从几天到几周不等
继Stanley和Mantegna之后，我将快速分析道琼斯工业平均指数的动态。他们找出30只道琼斯指数股票的最大和最小相关系数。最大值是0.73，在可口可乐和宝洁之间，如图所示。
- 图14：可口可乐和宝洁ln S(t)的时间演变
他们还测量了强相关性保持强相关性的特征时间尺度。他们发现，从1990年到1994年，相关系数从0.73到0.51不等，这表明股票是高度同步的。
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