阿基米德是如何用杠杆原理和微积分原理来推导球的体积的？

　　我以前写的文章中，说过中国古代产生了很多很高成就的科学知识，但是最终却没有形成西方式的科学体系，反而建立了统治2000年的封建主义，这和我国历来推崇儒家的中庸之道和道家的无为而治有很大的关系。

　　祖冲之在公元480年左右的南北朝采用割圆法计算出圆周率π在3.1415926和3.1415927之间，他这种方法已经有微积分的思想在内了。但是，可以稍夸张些的说，整个中国2000年来所有数学成就，还没有2000多年前阿基米德一个人的高。

　　阿基米德是古希腊一个百科全书式的科学家，他是哲学家、数学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，享有“力学之父”的美称。阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，数学天才欧拉要增加席位才能排第四。

　　我们最熟悉他的浮力定律，即物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。用现代物理学公式表达是：

　　这个定理奠定了流体静力学的基础。

　　但是，我们认为阿基米德最狂的是他说：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”这是阿基米德口语化表述的一个重要的力学原理：杠杆原理。

　　杠杆原理是：在有一个支点的系统中，其保持平衡的条件是支点两边的力矩相等，力矩则是所受力的大小与支点的距离的积。公式如下图：

　　可以说这个公式是现代所有工程机械的力学基础，而天才阿基米德就用这个原理，结合微积分的思想推导出了球的体积。

　　这个证明过程记录在最近才重见天日的《阿基米德羊皮书》中，李永乐老师讲过羊皮书的故事。

　　这本羊皮书是公元1000年左右一个阿基米德的崇拜者，叫阿卡隆斯的四处收集了阿基米德的著作，他把收集到的著作工工整整的抄在一本用羊皮做的书卷上。但是，到12、13世纪的时候，因为宗教的壮大，这本书被一个虔诚的僧侣用来重抄经文。

　　当年用来抄写的载体非常贵重，这个僧侣通过一些方法将羊皮书上的内容洗掉，写上祈祷文之后，就很少人注意过这本书了。

　　但是，那个僧侣在清洗时并不彻底，阿卡隆斯抄写的一点内容遗迹引起了一些人的注意。1906年被人在土耳其发现了这本书，当时哥本哈根大学一个叫海博格的教授专程去土耳其看了这本书，经过他研究，认为应该是阿基米德的著作。

　　但是，后来两次世界大战，这本书又失踪了多年，直到1998年，这本书又神奇的出现在纽约一个拍卖行。有位神秘的B先生花200万美元拍下了此书，他又自掏腰包请巴尔的摩市华尔特艺术博物馆，干了好多年将这本书解读出来。

　　在B先生的资助下，博物馆组成了一支阵容“豪华”的研究团队，包括了古代科学教授、数学史教授、中世纪艺术史教授、化学教授、数码成像专家、X射线成像专家、古籍手稿研究专家等等，甚至“美国国家侦察局”的官员也自愿加入。

　　先期有些内容被重现了出来，但是僧侣画了插画的地方特别难以分辨。不过他们发现阿卡隆斯是用一种五倍子溶液当墨水书写的，而这种墨水是由橡树和阿月浑子树叶和末梢上生长的球状物碾碎后同硫酸铁混合，再加其它成份制成的。

　　斯坦福同步辐射实验室的科学家乌韦·伯格曼在读一本杂志时，得知抄阿基米德论文和祈祷文时用的墨水里都含有铁，他马上意识到完全可以用他们实验室里的X光来读“阿基米德羊皮书”。于是，“豪华”团队在斯坦福同步辐射实验室的帮助下，用X光激发铁原子发光，使得阿基米德羊皮书重现天日。

　　斯坦福同步辐射实验室

　　这本羊皮书中包括了阿基米德的七篇著作：《论平面平衡》、《球体和圆柱体》、《测圆术》、《论螺线》、《论浮体》、《方法论》、《十四巧板》。前五篇在一直流传的“抄本A”和“抄本B”中为世人所知，而《方法论》、《十四巧板》却从未出现过。

　　在《方法论》中，记录了阿基米德用杠杆原理和微积分思想推导球的体积。

　　阿基米德设计了一个这样的系统：

　　图1

　　有三个物体分别是：高和底半径为2r的圆锥体，半径为r的球体，高和底半径为2r的圆柱体。

　　阿基米德证明，这三个物体组成的一种杠杆系统是可以达到平衡的。

　　这个杠杆系统是：

　　一根长4r的杠杆，在其中点设一个支点，圆锥和球体串起吊在左边。将圆柱挂在右边，让底面与杆端对齐，这样圆柱的力矩就等效于其重力乘以r。

　　图2

　　阿基米德是怎么证明的呢？

　　首先，假设这三个物体的密度是相同的，那么，我们上面所说的力矩平衡公式就可以转化为体积等式。

　　而上面的系统则可以用下面第三个式子来表示。

　　那这个式子是怎么证明成立的呢？

　　在上面的图2当中，阿基米德分别在三个物体上的x处做了一个切片，这个切片的厚度是dx。

　　那么右边圆柱切片的体积是：

　　而左边切片的体积=球切片体积+圆锥切片体积，计算之后左边的体积会等于2πxrdx。

　　因为它们的密度相等，那么这个切片的杠杆系统中，就可以得到它左右两边的力矩。

　　左边力矩=2πxrdx*2r，右边力矩=2πr^2*x

　　两边其实都等于：

　　这就是说，这一个厚度为dx的切片杠杆系统是左右平衡的，同样，将两边做无数次的切片，每个切片系统都会是平衡的。因此，阿基米德说这个杠杆系统中，右边圆柱的体积会等于左边圆锥和球体的两倍体积和。即下面的这个式子两边再除以r：

　　最后，可以求出球的体积：

　　这个过程就是阿基米德在2000多年前用物理和数学方法推导出的球体体积，而他所应用的微积分思想，最后在2000年后由牛顿和莱布尼茨发展为真正的微积分。

　　以下是阿基米德的主要成就：

　　阿基米德相当于奠定了西方的科学基础，不愧为数学天才第一人！