分形数学——预测股票价格的变化，揭示股市最本质的特征

在金融市场中，投资者最常用的两种交易策略是趋势和均值回归策略。如果一只股票表现出如下图所示的趋势行为，如果它在上一个时期已经上涨（下跌），那么它当期的价格更有可能上涨（下跌）。

• 这是标准普尔500指数时间序列的一部分。这是一个趋势行为的例子。

当股票在t时刻的收益以某种方式依赖于前一个时刻t-1的收益时，我们称其为自相关。在趋势机制中，收益是正相关的。

相反，均值回归股票的价格在其历史均值周围随机波动，并表现出回归历史均值的趋势。当存在均值回归时，如果价格在当期上升（下降），则更有可能在下一时期下降（上升）。

• 某股票的时间序列的一部分。这是均值回归行为的一个例子。

这两个机制发生在不同的时间框架内（趋势行为通常发生在更大的时间范围内），它们通常是共存的。

在这两种情况下，当前价格都包含了有关未来价格的有用信息。事实上，交易策略只有在资产价格呈趋势或均值回归的情况下才能产生利润。否则，价格就会遵循所谓的随机行为（见下图）。

均值回归时间序列

股票价格很少表现出回归均值的行为。在绝大多数情况下，它们遵循随机行为。然而，均值回归价格序列可以通过组合不同的股票来合成一个协整投资组合，它显示了平稳性。虽然平稳性可以用各种著名的标准统计检验来识别，但在本文中，我将重点介绍一种基于所谓的赫斯特指数的强大分析类型，它与价格时间序列的分形指数有关。赫斯特指数提供了一种方法来衡量金融时间序列偏离随机行为的数量。这是一个非常简单的工具，可以帮助投资者决定采用哪种策略。

平稳性

现在，假设给定股票的价格，我用S(t)表示，表现出均值回归行为。下面的随机微分方程（SDE）可以更正式地描述这种行为：

• 描述均值回归过程的SDE。

这里，符号：

分别为t时刻的股票价格，t时刻的维纳过程（或布朗运动），均值回归率θ，过程的平衡值或均值μ及其波动率σ。根据这个SDE，t+1时价格的变化正比于t时刻价格与均值之间的差。正如我们所看到的，如果价格比平均值小（大），价格变化更有可能是正（负）的。这种SDE的一个著名的特例是所谓的奥恩斯坦-乌伦贝克过程。

• 奥恩斯坦-乌伦贝克过程是以荷兰物理学家伦纳德·奥恩斯坦和荷兰裔美国物理学家乔治·尤金·乌伦贝克的名字命名的。

两个最著名的（非）平稳性检验是迪基-福勒检验（DF）和增广迪基-福勒检验（ADF）。

迪基-福勒检验和增广迪基-福勒检验

ADF检验是DF检验的延伸，让我们先理解后者。考虑以下简单模型：

其中S(t)是随着时间变化的股票价格，ρ是一个系数，最后一项是一个误差项。虚假设是ρ=1。因为在虚假设下，S(t)和S(t-1)都是非平稳的，因此违反了中心极限定理，我们必须采用以下技巧。

• 迪基-富勒检验是以统计学家韦恩·富勒和大卫·迪基的名字命名的。ADF是这种测试对更复杂的时间序列模型的扩展。

定义第一个差值和参数δ如下：

回归模型可以方便地重写为：

然后，迪基-福勒检验假设（严格来说是虚假设）：

DF检验背后的逻辑可以启发式地理解如下。如果S(t)是平稳的，它倾向于返回到某个常量平均值（或可能是确定性演变的趋势），这意味着更大的值可能跟随较小的值，反之亦然。这使得这个级数的当前值成为未来值的一个强有力的预测器。如果S(t)是非平稳的，未来的变化不依赖于当前值（例如，如果过程是随机行为）。

ADF测试遵循类似的程序，但它适用于一个更复杂、因此更完整的模型：

这里，α是一个实常数，β是时间趋势系数，δs是差异系数：

其中p是过程的滞后阶数，最后一项是误差。这里的测试统计量是：

其中分母为回归拟合的标准误差。在DF测试的情况下，我们期望 γ<0。

赫斯特指数

还有另一种方法来检验过程中均值回归或趋势行为的存在。这可以通过分析该序列的扩散速度并将其与随机行为的扩散速度进行比较来实现。这一过程将引出赫斯特指数的概念，正如我们将看到的，它与分形指数密切相关。

虽然赫斯特指数的应用可以在数学的多个领域中找到，但我们在这里只关注其中的两个，即分形和长记忆过程。

分形

分形可以定义为：

曲线或几何图形，其每一部分具有与整体相同的统计特性。分形在建模结构（如侵蚀海岸线或雪花）时非常有用，在这些结构中，类似的模式在逐渐变小的尺度上重现，在描述部分随机或混沌现象时非常有用，如晶体生长、流体湍流和星系形成。

分形的一个例子是下图所示的谢尔宾斯基三角形。

测量表面粗糙度的“分形维数”与H有以下简单关系：

我们看到，大的赫斯特指数与小的分形维数有关，即更平滑的曲线或表面。下面显示了一个示例。这张图清楚地表明，随着H的增加，曲线确实变得更平滑。

• 随着H的增加，曲线变得更光滑，分形维数减小

分形具有自相似性。在工程和应用数学的几个分支中都存在一种自相似的类型，叫做统计自相似。在显示这种自相似性的数据集中，任何分段在统计上与完整集相似。统计自相似性最著名的例子可能是海岸线。

• 这就是所谓的海岸线悖论的一个例子。根据它，如果用不同的单位测量海岸线，就会得到不同的结果

1967年，分形几何领域的创始人之一伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）在《科学》杂志上发表了一篇开创性的论文，题为《英国的海岸有多长》统计自相似性和分数维，他讨论了分形的性质。

长相关性

当过程具有长相关性时，就会产生一种偏离随机行为的重要形式。这些过程表现出高度的持久性，过去的事件与未来的事件具有非无关的相关性，即使它们相隔甚远。由格兰杰、乔伊和霍斯金设想的一个例子是由以下的分数差分时间序列给出的：

其中L是通常的滞后算子，指数d是非整数， ϵ一是误差项。用简单的二项式展开，这个方程可以用函数表示：

对一个简单AR(1)过程的自相关函数进行比较，发现后者的自相关函数比前者的自相关函数具有更慢的衰减速率。例如，对于τ~25的滞后：

赫斯特指数的起源

虽然赫斯特指数的估算方法最近的发展来自于分形数学和混沌理论，但令人好奇的是，赫斯特指数首先被用于水文领域，这主要涉及水的分布、水质及其与土地的作用。此外，最近对金融时间序列的长期依赖性的测试是基于一种最初由英国水文学家哈罗德·赫斯特开发的名为重新缩放范围的统计数据。赫斯特的原始论文的首页如下所示。

• 哈罗德·赫斯特的原始论文

赫斯特指数和异常扩散

了解价格序列本质的一个方法是分析它的扩散速度。扩散是一个被广泛使用的概念，它描述的是某种物体（可以是一个想法，一种资产的价格，一种疾病等）从一个集中度比其他大多数地方都高的地方“扩散”。

• 图中显示了三种类型的扩散的均方位移随时间τ的变化。

通过研究方差如何依赖于后续测量值之间的差异，可以测量扩散：

在这个表达式中，τ是两个测量之间的时间间隔，x是价格S(t)的一般函数。这个函数通常被选为对数价格：

这是一个众所周知的事实，股票价格收益的方差很大程度上取决于一个人选择衡量它的频率。高频率的测量，比如每一分钟的间隔，与每天的测量有很大的不同。

如果股票价格遵循几何随机行为，方差将随着滞后τ线性变化：

收益是正态分布的。然而，当与纯随机行为有小偏差时，就像经常发生的那样，给定的滞后τ的方差不再与τ成正比，而是获得一个反常扩散指数：

• 反常扩散指数与赫斯特指数成正比

H是所谓的赫斯特指数。回归均值和趋势股的特点是：

满足这个方程的日收益不是一个正态分布。相反，该分布有较宽的尾部和较薄和较高的峰值附近的平均值。

赫斯特指数可以用来区分三种可能的市场机制：

• 如果 H < 0.5，则时间序列是均值回归或平稳的。与几何布朗运动相关的正常扩散相比，对数价格波动增加的速度更慢。在这种情况下，该序列显示了所谓的反持久性（在相邻点的高值和低值之间长期切换）。
• 如果H > 0.5，该序列显示趋势行为，其特征是存在持久性行为。
• H = 0.5的情况对应于几何布朗运动。

因此，赫斯特指数可以衡量时间序列的持续性水平，并可以用来识别市场状态：如果在某个时间尺度上，赫斯特指数发生变化，这可能意味着从均值回归到趋势状态的转变，反之亦然。

以下是每种情况的例子：

在下一个图中，我们看到赫斯特指数是如何随时间变化的，表明了状态的变化。

• 赫斯特指数随时间变化的四个不同的金融时间序列。

自相关

股票价格S(t)的自相关函数定义如下：

具有缓慢衰减的自相关过程称为长记忆过程。这样的过程对过去的事件有一些记忆（过去的事件对未来的事件有逐渐减弱的影响）。长记忆过程具有幂律衰减的自相关函数ρ(τ)：

α与赫斯特指数的关系是：

注意，当H接近1时，衰减变得越来越慢，因为α指数接近零。一开始看起来是随机的过程，实际上是长记忆过程，在开放区间内有赫斯特指数：

这些过程通常被称为分数布朗运动（fBm），布朗运动的一种推广。

使用方差估计赫斯特的重要问题

为了获得对τ的方差依赖关系，我们必须对许多滞后重复相同的计算，并提取结果的对数图的斜率。正如我们现在看到的，H的值很大程度上取决于我们对滞后时间的选择。

让我们考虑标准普尔500指数SPY和估计的赫斯特指数不同的滞后。我们首先运行以下代码，将滞后时间范围设为2到20：

我们得到以下H的值：

hurst = 0.43733191005891303

如前所述，这个H值表明了一个均值回归机制，尽管相当温和。滞后时间为300-400的相同代码给出：

hurst = 0.6107941846903405

H的这个值表明存在趋势状态。因此，我们可以看到，滞后时间的选择强烈地影响了赫斯特指数的值。这意味着这个时间序列既不是纯粹的回归均值，也不是趋势，而是改变行为或改变机制，这取决于人们是在短期内还是在长期内衡量它。此外，正如这里所指出的，由于这些结论远非肉眼可见，我们得出结论，基于赫斯特指数的分析可以提供重要的见解。

长相关性和缩放范围

1971年，曼德尔布罗特注意到股票收益长期异常行为的存在。

• 曼德尔布罗特是分形几何领域的创始人之一。

为了检验这种长期依赖性，曼德尔布罗特使用了R/S检验统计量。R/S统计量是一个序列偏离其均值的部分和的范围，用标准偏差重新调整。曼德尔布罗特的研究表明，与自相关分析、方差比和谱分解等其他方法相比，使用R/S统计量带来了远远优于其他方法的结果，尽管它确实有缺点，如对短期依赖的敏感性。

R/S统计如下。例如，考虑以下长度为n的股票收益时间序列：

前k个偏离均值的部分和为：

R/S统计量正比于k∈[1,n]的和的最大值和最小值之差：

分母σ(n)是最大似然标准差估计量。R/S的范围与观测次数n有如下关系：

其中H是赫斯特指数。曼德尔布罗特和沃利斯首先使用这种标度行为来发现长期依赖的存在。由于重新缩放的范围和观测数之间的关系是多项式，一个简单的对数-对数图可以计算H的值，因为：

在下面的图中，赫斯特指数估计在0.53左右，这大约对应于随机行为。代码如下：

结论和展望

我们看到，使用赫斯特指数的概念可以导致对市场制度非常有用的见解。有了这些信息，人们就可以决定采用均值回归策略或趋势策略中更合适的一种。

简而言之，赫斯特指数的值标识了时间序列是否对过去的事件有一些记忆。赫斯特值不总是等于1/2的事实表明有效市场假设，根据该假设，市场是完全不可预测的。原则上，正确识别这些异常现象对于建立有效的交易策略非常有用。