特征向量和特征值，更深层次的理解

任何具有特征向量的矩阵，其所有坐标最终都将遵循一个尽可能接近特征向量的关系。为了进一步说明这一点，我将使用一些例子。

斐波那契数列

斐波那契数列就是前面两项的和作为第三项。如果我们从0和1开始这个数列：

直到无穷大。如果我们在笛卡尔坐标系中绘制它，我们可以用一个向量和一个方阵来给出斐波那契数列的下一个值：

第一行表示斐波那契数列中的下一个值，而第二行表示数中的当前值。如果我们画出这个图，我们可以看到每个值大约是之前值的1.618倍。如果我们从0和1开始，第10个值是55，第11个值是89。我们还可以看到55乘以1.618大约等于89。如果我们计算这个向量的特征值，它们是-0.618和1.618。特征值所对应的特征向量分别是：

这一数列不仅将遵循这一趋势（其中一项是前一项的1.618倍），而且它也会在这样一条直线上，这条直线沿着一个向量，这个向量具有特征值1.618。通过这个，我们可以理解这里的特征的重要性，如果用矩阵的形式写，最终会遵循由其特征值和特征向量定义的特征。根据这一点，我们可以很容易地推导出下一项的值，随着项数的增加，这个值越来越精确。

这不仅可以通过初始值0和1实现，对于任何初始值都可以。我们将看到与下一项增加的因子相同的特征数列。当它们增加时，这些值也将接近表示系统中特征向量的直线。

值的

人口增长模型

在20世纪40年代，莱斯利找到了一种为人口增长建模的方法，通过这种方法，我们可以相对准确地找到人口增长的情况。莱斯利矩阵是关于特定物种的繁殖率概率和生存机会的函数。莱斯利矩阵是通过将各自的值放入矩阵中形成的：

其中，n是总人口的阶段数，F是总体中女性的数量，P是属于第一个阶段的成员进入下一个阶段的概率。我们只选取女性群体，因为她们是特定群体中负责繁殖的群体。我们把这个矩阵代入矩阵方程：

其中xᵏ是矩阵：

这个矩阵中的k值表示我们处理初始总体的年份，n是总体被分割的阶段数。这个方程是用以下逻辑推导出来的：

虽然用这个矩阵方程我们可以很容易地计算出人口增长，但对于k值较大的情况，需要进行大量的计算，因此我们可以找到系统的特征向量和相应的特征值。通过这样我们得到了系统增长的总体趋势，最终我们可以很容易地计算出k值较大时 x_k的值。

解微分方程组

通过在增广矩阵中放入适当的值，我们可以利用特征值及其特征向量来求解微分方程组。首先找到增广矩阵的特征值后，我们将它们排列成对角矩阵（D）的形式，其对角项就是特征值。然后我们找到相应的特征向量，并将其排列在一个矩阵（P）中。

我们将对角矩阵代入方程u = Du '中，u是方程组的解。还需要注意的是，D向量是通过系统在每次迭代中发生的变化来表示的，因此它也表示了系统的变化率。一旦我们找到u，我们把它放入方程y = Pu，其中P是包含特征向量的矩阵。矩阵P会告诉我们在每次迭代中值是如何变化的一般方向，当我们将这些值相乘时，我们就能得到方程组（y）的解。

特别是通过看最后一个微分方程组的例子，我们可以看到特征向量和特征值是如何向我们展示一个系统如何变化的一般趋势的。特征值向我们展示了系统变化率的大小特征向量向我们展示了变化发生的方向。