数学课堂：面积系列之四边形面积

除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目．

拆解四边形

如何求一个普通的四边形的面积？

解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积．至于三角形面积参考前文铅垂法．

搞定了四边形的面积，就可以看看四边形面积的最值了，还是来看点例子吧：

2019东营中考（删减）

已知抛物线y=ax²+bx-4经过点A（2,0）、B（-4,0），与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；

【分析】

（1）y=0.5x²+x-4；

（2）此处四边形ABPC并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角形求面积．

若连接AP，则△ABP和△APC均为动三角形，非最佳选择；

若连接BC，可得定△ABC和动△BPC，只要△BPC面积最大，四边形ABPC的面积便最大．

考虑A（2,0）、B（-4,0）、C（0，-4），

接下来求△BPC的面积，设P点坐标为（m，0.5m²+m-4），

连接BC，则直线BC的解析式为：y=-x-4

过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则Q点坐标为（m，-m-4），

当m=-2时，PQ取到最大值2，此时△BPC面积最大，四边形ABPC面积最大．

此时P点坐标为（-2，-4）．

是不是觉得上面这个题有点简单呐，那接下来会告诉你什么叫简单！

2019枣庄中考（删减）

已知抛物线y=ax²+1.5x+4的对称轴是直线x=3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；

（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

【分析】

（1）抛物线解析式为

点A坐标为（-2,0），点B坐标为（8,0）．

（2）显然将四边形PBOC拆为△BOC和△PBC，点C坐标为（0,4），

设P点坐标为

根据B、C坐标可得BC的解析式为y=-0.5x+4

过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则Q点坐标为（m，-0.5m+4），

当m=4时，PQ取到最大值4，

故四边形PBOC的最大面积为32，此时P点坐标为（4,6）．

这个题目四边形已拆好，只要负责计算就可以了，而计算的内容，与三角形无异．

看到这里我不禁问自己，难道还有比这个更简单的题目？

2019日照中考

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PA、PC，当点P运动到某一位置时，PC+1/2PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

【分析】

（1）由题意得：A（1,0）、C（0,5），代入可解抛物线解析式为：y=x²-6x+5，点B坐标为（5,0）．

（2）显然四边形AMBC可拆为△ABC和△AMB，

显然，当M点在抛物线顶点时，△AMB面积最大，

此时M点坐标为（3，-4），

故四边形AMBC面积最大值为10+8=18，此时M点坐标为（3，-4）．

（3）之所以留下这个小问是因为前两个小问也太不够看了，而这个也差不多．

显然是个“阿氏圆”问题，构造1/2PA即可，参考阿氏圆解决方法，

取点D（4,0），连接PD，任意时刻，均有PD=1/2PA，问题易解．

四边形并不想划水，奈何中考不允许啊！讲真看到这样的中考题我也很绝望，所以再看个不太一样的四边形吧．

2019相城区一模

如图，抛物线y=ax²-3ax-4a（a<0）与x轴交于A，B两点，直线y=1/2x+1/2经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ=1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．

【分析】

（1）由题意得C点坐标为（3,2），代入抛物线解析式得：a=-1/2，

抛物线解析式为：

（2）注意题目的描述：线段PQ在线段AB上移动，故四边形可能在C点左侧，可能在C点右侧，可能横跨C点．

显然四边形面积的最大值存在于第一种情况．

当四边形在点C左侧时，

当m=1/2时，FG+DE取到最大值为15/4，

此时四边形面积为15/8．故最大面积为15/8．

写在最后：

特四找公式，普四化三角．