第20讲 典型例题与练习参考解答：曲线的凹凸性与分析作图法

第20讲：曲线的凹凸性与分析作图法

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例题与练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：判定曲线 的凹凸性.

练习2：求曲线 的凹凸区间及拐点.

练习3：设 在 内可导，且 为严格凹函数，如果 为 在 内的驻点，那么 必为 的最小值点．

练习4：如图，已知函数 的导函数 的图形，指出 单调增加和单调减少区间；指出 的极大值点和极小值点；并指出曲线 的拐点的个数．

练习5：设函数 满足

试讨论函数 及其图形在点 处是否可能取得极值点或拐点，并说明理由.

练习6：试证明曲线 有三个拐点位于同一直线上.

练习7：试确定 中的 值，使曲线的拐点处的法线通过原点.

练习8：证明：对于任意实数 ，有

练习9：证明：当 时，成立不等式

{2 \over \pi }x. " data-formula-type="block-equation">

练习10：证明(琴声(Jensen)不等式)：如果 是区间 上二阶可导的凸函数(描述的曲线为凹曲线)，则对任意的 ， , ，有

练习11：在 中，证明：

练习12：作出函数 的图形．

练习13：描绘方程 描述的曲线图形.

练习14：描绘曲线 的图形.

练习15：设函数 在 中二阶连续可微，且

证明： .

【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

例题与练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：判定曲线 的凹凸性.

【参考解答】：由于函数二阶可导，且

0\left( {x \ne 0} \right) " data-formula-type="block-equation">

所以曲线在 内都是严格凹的（下凸曲线）.

练习2：求曲线 的凹凸区间及拐点.

【参考解答】：函数的定义域为 . 求函数的一阶、二阶导数，得

令 ，得 , . 以两点为分割点分割定义域，列表判定二阶导数符号：

所以曲线在区间 和 为凹曲线，在 为凸曲线. 点 和 为曲线的拐点.

【注】：对于拐点的判定可以直接求三阶导数判定，即

则 的 为奇数，故 , 对应的图形上的两点为拐点.

练习3：设 在 内可导，且 为严格凹函数，如果 为 在 内的驻点，那么 必为 的最小值点．

【参考解答】：因为 为严格凹函数，所以当 时，有

f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) " data-formula-type="block-equation">

令 ，则 ，所以 为 在 内的最小值．

练习4：如图，已知函数 的导函数 的图形，指出 单调增加和单调减少区间；指出 的极大值点和极小值点；并指出曲线 的拐点的个数．

【参考解答】：(1)在 及 内， （ 除外），在 内， ，故 在 及 内递增，在 内递减．

(2)因为 在 内有定义，且

故 所有可能的极值点为 . 在 两侧附近， 左正右负，故 为极大值点；在 两侧附近， 左负右正，故 为极小值点；在 两侧附近， 不变号，故 不是极值点．

(3)在 , 及 各点的两侧改变单调性，所以

为曲线 的三个拐点．

练习5：设函数 满足

试讨论函数 及其图形在点 处是否可能取得极值点或拐点，并说明理由.

【参考解答】：(1)由已知等式可知，如果 ，则 ，所以 不是极值点， 也不是拐点.

(2)若 ，则由已知等式可知， ，且

为可导函数，则

所以 ，即 为拐点，但不是极值点.

【注】：也可以由如下思路判定：因为

0 \cr} " data-formula-type="block-equation">

则由极限的保号性可知， 为拐点. 但是存在一个邻域，可以判断 不变号，所以不是极值点.

练习6：试证明曲线 有三个拐点位于同一直线上.

【参考解答】：求函数的一阶、二阶导数，得

令 ，得 , , .

当 时， ，因此曲线在 上是凸的；

当 时， ，因此曲线在 上是凹的；

当 时， ，因此曲线在 上是凸的；

当 时 ， ，因此曲线在 上是凹的，故曲线有三个拐点，分别为

由于

故这三个拐点在一条直线上.

练习7：试确定 中的 值，使曲线的拐点处的法线通过原点.

【参考解答】：求函数的一阶、二阶、三阶导数，得

令 ，得 , . 由题意可知 ，故 ，所以 , 都为曲线的拐点.

由 知过点 的法线方程为

要使该法线过原点，则 应满足这方程，将 , 代入上式，得 .

由 知，过点 的法线方程为

同理，要使该法线过原点，将 , 代人上式得 . 所以，当 .时，该曲线的拐点处的法线通过原点.

练习8：证明：对于任意实数 ，有

【参考解答】：令 ，则

0,x \in ( - \infty , + \infty ) " data-formula-type="block-equation">

即函数为严格凸函数，从而对 , , ，有

代入即得结论成立.

练习9：证明：当 时，成立不等式

{2 \over \pi }x. " data-formula-type="block-equation">

【参考解答】：令 , ，则 , ，且

又函数 为 上的连续函数，所以函数 描述的曲线在 上为严格的凸曲线，于是可得

即原不等式成立.

练习10：证明(琴声(Jensen)不等式)：如果 是区间 上二阶可导的凸函数(描述的曲线为凹曲线)，则对任意的 ， , ，有

【参考解答】：【思路一】用数学归纳法证明. 当 时，由定义显然成立. 设 时命题成立，则当 时，设

0(i = 1,2, \cdots ,k + 1) \cr} " data-formula-type="block-equation">

令 , ， 则 . 由假设得

于是由数学归纳法得不等式成立.

【思路二】由于 是区间 上二阶可导的凸函数，故

记 ，则函数 在 处的二阶带拉格朗日余项的泰勒公式为

其中 位于 之间. 代入 ，有

对 相加得

由于 , ，代入得

【注1】：如果为凹函数，则不等式反向. 特别有：如果 是区间 上的凸函数，

则

其中等号当且仅当 时成立.

【注2】：琴声(Jensen)不等式与几何-算术平均值不等式一样，在写出其名称的前提下可以直接应用其结论讨论问题、验证结论，其结论可以认为是凸函数的一个性质直接使用！

练习11：在 中，证明：

【参考解答】：令 ，则

0(0 < x < \pi ) " data-formula-type="block-equation">

即函数 为严格的凸函数（凹曲线），则由凸函数的性质（即Jensen不等式），得

即

由于 ，所以

其中等号当且仅当 时成立.

练习12：作出函数 的图形．

【参考解答】：(1)函数的定义域为 ，它是奇函数，关于原点对称且过原点．

(2)求函数的一阶、二阶导数.

令 得 ．令 得 ．

(3)列表分析如下：

(4)因 ，故 为曲线的水平渐近线且没有斜渐近线．由于函数在全体实数范围内连续，故没有铅直渐近线

(5)描点作图，图形如下．

练习13：描绘方程 描述的曲线图形.

【参考解答】：(1)，函数的定义域为

(2)求函数的一阶、二阶导数.

令 得 ，且 和 ．

(3)列表分析如下：

(4)因 ，故 为曲线的铅直渐近线．又

所以曲线有双侧的斜渐近线

(5)描点作图，图形如下．

练习14：描绘曲线 的图形.

【参考解答】：(1)所给函数的定义域为

由于函数是偶函数，它的图形关于 轴对称，且由于函数是以 为周期的函数，因此可以只讨论 部分的图形.

(2)求函数的一阶、二阶导数，得

(3)令 ，在 内，得 , ； 令 得 . 又函数在点 及 处无定义.

(4)分割区间判定 及 的符号和函数的单调性、凹凸性和拐点、极值点. 具体如下表：

(5)由于函数为周期函数，故没有水平渐近线与斜渐近线.由

则图形有两条铅直渐近线： 及 .

(6)由 , 得图形上的点 .

(7)利用图形对称性及函数的周期性，作图如下.

练习15：设函数 在 中二阶连续可微，且

证明： .

【参考解答】：【思路一】由 知，函数 在 上是凸函数. 于是有

所以对 ，有

即所证不等式成立.

【思路二】当 时，由题设可知结论成立. 对 ，有

0 \cr} " data-formula-type="block-equation">

故 .

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