近日，中国科学技术大学教授陈秀雄、王兵在微分几何学领域取得重大突破。其发表在《微分几何学杂志》上的关于高维凯勒里奇流收敛性的论文《Space of Ricci flows (II)—Part B: Weak compactness of the flows》，成功证明了“哈密尔顿 - 田” 和 “偏零阶估计”这两个国际数学界 20 多年悬而未决的核心猜想。
《微分几何学杂志》是几何学领域的顶尖刊物，发表过多篇划时代的数学论文，如哈密尔顿关于里奇流的奠基性工作。
据了解，这篇论文从作者开始写作到正式发表用了 11 年，论文篇幅超过 120 页，从投稿到正式发表耗时 6 年。王兵说，就像在写一篇小说，“不同之处在于，靠的是逻辑推导而不是故事情节推动。”
图 | 论文《Space of Ricci flows (II)—Part B: Weak compactness of the flows》
论文以研究高维凯勒 “里奇流” 的收敛性为主要内容，引进了众多新思想和新方法，对几何分析，尤其是里奇流的研究已经产生了深远的影响。
什么是 “里奇流”？
微分几何学起源于 17 世纪，是数学的一个分支学科，它主要是以分析方法来研究空间（微分流形）的几何性质。对物理学、天文学、工程学等产生巨大推动作用。欧拉、蒙日、拉格朗日以及柯西等数学家都曾为微分几何学的发展作出过重要贡献。
在微分几何学领域，陈秀雄和王兵团队的研究方向是 “里奇流” 的收敛性。
“里奇流”（Ricci Flow）诞生于 20 世纪 80 年代，是一种描述空间演化的微分几何学研究工具。在微分几何中，“里奇流” 是一种固有的几何学流动，它的主要思想是让流形随时间变形，即是让度规张量随时间变化，观察在流形的变形下，里奇曲率是如何变化的，以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是哈密尔顿 - 里奇流方程（Hamilton’s Ricci flow equation），是一个拟线性抛物型方程组。
图 | 不同阶段的里奇流 2D 流形 （来源：Knowpia）
里奇流以意大利数学家格雷戈里奥里奇 - 库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci Curbastro）的名字命名，由美国数学家理查德哈密顿（Richard Hamilton）于 1981 年首次引入，也称里奇 - 哈密顿流。这个工具同时被俄罗斯数学家格里戈里佩雷尔曼（Григорий Яковлевич Перельман）用于解决庞加莱猜想。
两位大神，何许人也？
陈秀雄教授师从著名几何学家卡拉比 (Calabi )，是中国科学技术大学讲席教授，2018 年成为上海科技大学数学科学研究所的创始所长。他 1987 年毕业于中科大数学系，随后就读于中国科学院研究生院，获硕士学位。1989 年由国家保送去美国宾夕法尼亚大学攻读博士和博士后，并获美国国家科学基金资助，荣获 2019 年度西蒙斯学者奖。主要的研究领域是大范围微分几何及非线性偏微分方程。
图 | 陈秀雄教授
2014 年，陈秀雄、 1986 年菲尔兹奖得主西蒙唐纳森和陈秀雄的弟子孙崧博士合作，成功解决了被誉为 “复几何领域自卡拉比猜想解决后最重要的问题” 的 “丘成桐猜想”。《美国数学会杂志》审稿人评价说：陈 - 唐纳森 - 孙的证明是突破性的，它不仅解决了一个基本性的问题，同时还发展了许多新颖有力的工具，以揭示卡勒几何、代数几何和偏微分方程之间的深刻联系。
之后，凭借他们在《美国数学会杂志》上连续发表的三篇论文《Khler-Einstein metrics on Fano manifolds, I, II and III》，获得了 2019 年奥斯瓦尔德维布伦（Oswald Veblen）几何奖。他们证明了前述稳定性猜想，即 K - 稳定 Fano 流形上 Khler-Einstein 度量的存在性。
图 | 王兵教授
本次突破的另一位主要研究者是中科大数学科学学院的王兵教授。1998 年王兵入学中科大少年班学院，2003 年赴美，求学于威斯康星大学麦迪逊分校数学系，于 2008 年博士毕业。此后历任普林斯顿大学讲师、石溪大学西蒙斯几何与物理中心研究助理教授以及威斯康星大学麦迪逊分校助理教授、副教授（终身教职）。2018 年王兵教授回到中科大数学科学学院工作。王兵教授的研究专长是几何流，特别是凯勒里奇流、里奇流和平均曲率流等，主要研究方向包括微分几何、代数几何、偏微分方程。
“大到宇宙膨胀，小到热胀冷缩，诸多自然现象都可以归结到空间演化。” 王兵教授比喻说，比如说我们吹一个气球，气球不断膨胀，可以用 “里奇流” 来研究它空间的变化，最后得到一个 尽善尽美的理想结果。
“如果你吹一个肥皂泡，肥皂泡在天空中飘的时候，它会不会收缩？如果有一类生物，生活在肥皂泡膜上的话，你会感觉到周边的空间是在变化的，它有一种演化的过程。空间的变化变到最后是一种稳定的状态。如果把泡泡变化一下，你吹出来的如果一开始是哑铃状的，可能在空中飘一会之后，它就变成了一个球，它就演化成一个球了，它演化成一个球之后就不再演化了，所以它是一种稳定的状态。” 王兵教授解释道。
在王兵看来，做数学研究不仅不枯燥，还非常优美，如同王安石在《游褒禅山记》所说的，“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”。王兵说：“里面王安石说跑到褒禅山去玩，打火把进洞里，发现洞里面景色非常好。越往里走，他发现景色越好，越是匪夷所思，但旁边就不断有人开始打退堂鼓，说你再往里面走，火把就烧完了。最后他们就出来了，出来之后发现火把还可以烧很久，他就开始后悔了。我感觉他讲的道理就是做研究的道理，越是世间美好的东西，越在人迹罕至的地方。”
本次突破的意义
该论文的审稿人评论认为，“该文是几何分析领域内的重大进展，毫无疑问将激发诸多相关工作”。
图 | 西蒙唐纳森
菲尔兹奖得主西蒙唐纳森也多次在媒体和文章中称赞此文为 “几何领域近年来的重大突破”。
此外，论文的核心思想也被王兵和李皓昭推广到平均曲率流的研究并成功解决了著名的延拓性猜想，该成果发表于数学四大期刊之一的《数学新进展》（Inventiones Mathematicae）。
这篇文章的概念和方法也被运用到了王兵及其合作者近两年的其它一系列重要工作中。王兵和黄少赛、李宇（即将加入几何与物理研究中心）合作的文章 “On the regular-convexity of Ricci shrinker limit spaces”，论证了非坍缩里奇收缩孤立子的极限必然是陈、王定义下的锥形。该论文发表于著名综合性期刊《纯粹与应用数学杂志》（Crelle's Journal）。
此外，王兵和李宇合作的文章 “Heat kernel on Ricci shrinkers” 给出里奇孤立子上热核的多项最佳估计，由此刻画了孤立子上若干深刻的几何与拓扑结构，为高维里奇流奇点的研究奠定了基础。此篇长文近日已发表在《变分法与偏微分方程》（Calculus of Variations and Partial Differential Equations）。
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