数学家解决了一个关于柏拉图12面体的“千年”问题

尽管数学家们花了两千多年的时间来解剖五个正立方体（四面体、立方体、八面体、二十面体和十二面体）的结构，但我们对它们仍有很多不了解。

现在，三位数学家解决了关于十二面体的一个最基本的问题。

在三维空间中，柏拉图立体是一个规则的凸多面体。它由全等(形状和大小相同)、正(所有角相等、所有边相等)、具有相同数量面的多边形面在每个顶点相交构成。——维基百科

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  5种柏拉图立体

假设你站在一个柏拉图式立体的一个角。有没有一条直线可以让你最终回到起点而不经过任何其他角？对于由正方形或等边三角形构成的四个正立方体（正方体、四面体、八面体和二十面体）数学家们最近得出的答案是否定的。任何从一个顶点开始的直线之路，要么会撞上另一个角，要么永远绕着它转不回来。但是对于由12个五边形组成的十二面体，数学家们并不知道会发生什么。

现在，阿塞利亚，奥利奇诺和霍伯三位数学家已经证明在十二面体上确实存在无数条这样的路径。他们的论文发表在5月份的《实验数学》杂志上。

这个解决方案需要现代技术和计算机算法。“20年前，这个问题绝对是遥不可及的；10年前，需要付出巨大的努力来编写所有必要的软件，所以直到现在，所有的因素都汇集到了一起，”巴黎塞乌数学研究所的安东·佐里希在一封电子邮件中写道。

这个项目始于2016年，当时华盛顿大学的阿塞利亚和布鲁克林学院的奥利奇诺开始卡片折叠成柏拉图立体图形。当他们建造不同的立体时，奥利奇诺突然想到，最近的一项关于平面几何的研究可能正是他们理解十二面体上的直线路径所需要的。“我们实际上是在把这些东西放在一起，”阿塞利亚说。

研究人员与纽约城市学院的霍伯一道，研究出了如何对从一个角到另一个角的直线路径进行分类的方法。

他们的分析是“一个完美的解决方案，”芝加哥大学的霍华德·马苏尔说。“在这种情况下，我可以毫不犹豫地说，‘我要是那样做就好了！’”

隐藏的对称性

尽管数学家们推测十二面体上的直线路径已经有一个多世纪了，但随着对“平移面”的理解取得进展，近年来对这一主题的兴趣重新燃起。“这些是通过将一个多边形的平行边粘合在一起形成的表面，它们已经被证明对研究广泛的课题很有用，包括有角的形状的直线路径，从台球桌的轨迹到一盏灯何时能照亮整个镜像房间的问题。”

在所有这些问题中，基本的想法是展开柏拉图立体，使研究的路径更简单。因此，要理解柏拉图式实体上的直线，可以先让实体平放，形成数学家所说的网。例如，立方体的网是由6个正方形组成的T形。

• 阿塞利亚和奥利奇诺在2018年写的一篇论文《十二面体》，展示了在避开其他角的情况下，从一个顶点回到自身的直线路径实际上是可能的。

假设我们把十二面体弄平了，现在我们沿着这个平面沿着某个选定的方向走。最终我们将到达网络的边缘，在这一点上我们的路径将跳转到一个不同的五边形（在我们切开十二面体之前，任何一个已经粘在当前五边形上的）。每当路径跳跃时，它也会旋转36度的倍数。

为了避免所有的跳跃和旋转，当我们击中网的边缘时，我们可以粘在新的旋转的网副本上，然后继续直接进入网中。我们添加了一些冗余：现在，我们有两个不同的五边形代表原始十二面体上的每个五边形。因此，我们使世界变得更加复杂，但是我们的道路变得更加简单。每当我们需要扩展到世界边缘之外时，我们都可以继续添加新的网络。

当路径经过10个网的时候，我们已经把原来的网旋转了36度的倍数，我们加入的下一个网将会和开始时的方向相同。这意味着第11个网络通过一个简单的移动与最初的网络相关联（数学家称之为平移）。不用粘第11张网，我们可以简单地把第10张网的边粘到原来网的平行边上。我们的形状将不再平放在桌子上，但数学家认为它仍然“记住”了之前的平面几何——因此，举例来说，如果路径在未粘合状态下是直的，那么它们就被认为是直的。在我们完成了所有这些可能的平行边的粘合之后，我们就得到了所谓的平移面。

由此产生的表面是一个高度冗余的十二面体，每个五边形有10个副本。而且它要复杂得多：它会粘合成一个有81个洞的甜甜圈的形状。然而，这种复杂的形状让三位研究者得以接触到丰富的平移面理论。

为了研究这个巨大的表面，数学家们卷起了他们的袖子。在对这个问题进行了几个月的研究后，他们意识到81个洞的甜甜圈表面不仅是十二面体的冗余表示，而且是研究最多的平动面之一。它被称为双五边形，是将两个五边形沿着一条边连接起来，然后将平行的两边粘合在一起，创造出一个具有丰富对称集合的双孔甜甜圈。

这个形状也恰巧被纹在了阿塞莉亚的手臂上。

由于双五边形与十二面体是几何上的“近亲”，因此前者的高度对称可以说明后者的结构。芝加哥大学的亚历克斯·埃斯金说，这是一种“惊人的隐性对称”。埃斯金大约15年前是阿塞利亚的博士导师。

这些曲面之间的关系意味着研究人员可以利用一种算法来分析由德国卡尔斯鲁厄理工学院开发的高度对称的平动曲面。通过采用Finster的算法，研究人员能够识别出十二面体从一角到自身的所有直线路径，并通过十二面体隐藏的对称性对这些路径进行分类。

新的研究结果表明，即使是已经被研究了数千年的物体也仍然有秘密。我认为，即使对三位数学家来说，提出有关十二面体的新东西也是非常、非常令人惊讶的。