物理学中最深刻的联系之一——对称性与守恒定律之间的关系

守恒定律说，孤立系统的某些性质不会随着系统的演化而改变。作为诺特定理的结果，守恒定律“与底层物理中的对称性有关”。换句话说，对称性和守恒定律是紧密相连的。

伟大的理论物理学家、诺贝尔获得者理查德·费曼在他的物理学教科书《费曼的物理讲义》中引用：

"为什么我们要关注对称性？ "首先，对称对人类的大脑来说是迷人的，每个人都喜欢某种程度上对称的物体或图案。”——理查德·费曼

下面是一个包含几种对称类型的例子。该对象包含三种对称，即反射对称、旋转对称和自相似性。

• 图1：这个形状有三种对称：反射对称、旋转对称和自相似性。

我们将在这里考虑自然法则本身的对称性（不仅仅是物体的对称性），这些法则支配着宇宙的物理系统的行为。

美国理论物理学家、诺贝尔奖得主史蒂文·温伯格和美籍华裔物理学家、作家安东尼·在他们的两本量子场论著作中给出了这类对称转换的两个最佳定义。

泽

·温伯格定义对称变换如下：

对称变换是我们观点的改变，它不会改变可能实验的结果。

泽给出了以下定义：

当一个物理定律不因某些而改变时，这个定律就被认为是对称的。

变换

典型的例子包括能量守恒、线性动量和角动量。这些与以下三种时空转换有关：空间上的平动，时间上的平动，和旋转。

动量和能量守恒可以用一个叫做牛顿架的装置来观察，如下图所示。

• 图2：五球牛顿架

上面的转换与时空对称性有关。我们将更详细地看到，（局部）守恒定律通常在数学上表示为连续性方程。后者是偏微分方程(PDEs)，并给出了“量”和该量的“输运”之间的关系。前者称为守恒量，后者称为密度。更精确地说，连续性方程表明，守恒量的数量只能随流入或流出包含系统的体积的数量而变化。如前所述，所有物理学中最重要的结果之一，称为诺特定理，指出在底层物理中存在一个守恒电流对应于每一种对称性。

在本文中，我将集中讨论拉格朗日场论，它是与通常的拉格朗日力学（处理粒子）相对应的场论。

让我们用数学形式来表示。为此，我们首先需要理解两个重要的概念：

• 拉格朗日密度是什么
• 最小作用量原理是什么

拉格朗日力学和最小作用量原理

拉格朗日力学是由数学家和天文学家约瑟夫-路易斯·拉格朗提出的。它有几个优点。例如：

• 它是精致的，特别是如果与牛顿的方法相比。
• 它更加强大，使物理学家能够直接解决具有挑战性的问题。
• 这是一种全新的方式，为经典动力学提供了一个框架，可以扩展到所有的物理定律。
• 它展示了经典力学和量子力学之间的联系。

• 图3：意大利数学家和天文学家约瑟夫-路易斯-拉格朗日

经典场论中的拉格朗日力学

事实证明，目前已知的所有基本物理定律的运动方程（描述物理系统如何作为时间函数运行的方程）都可以从拉格朗日力学理论中获得，即拉格朗日理论。要得到一个系统的运动方程，我们首先需要理解“最小作用量原理”，它产生了这样的方程。

场

考虑一个包含多个标量场的系统：

• 方程1：分量为多个标量场集合的向量。

• 图4：二次势理论中一个标量场的运动

其中x =（t，x，y，z）。在拉格朗日场论中，使用上述最小作用原理获得了运动方程。对于一些场_a，可以写成：

• 式2：如何利用最小作用量原理求运动方程。

我来解释一下方程中各项的意思。括号内的曲线L是拉格朗日密度，这个函数依赖于公式1中的场，它们对应的空间和时间导数，以及坐标t、x^1，x^2，x^3。大括号“{}”表示系统的n个自变量（包括时间变量），μ = 0, 1, 2, 3。应用上述最小作用量原理，得到了运动方程：

• 方程：欧拉-拉格朗日方程

诺特定理

这个强大的定理由相对不为人所知的数学家埃米·诺特在1915年证明，并在三年后发表。

埃米·诺特是谁？

德国数学家和物理学家埃米·诺特是有史以来最伟大的无名科学女英雄之一。尽管她在辉煌的职业生涯中经历了偏见，她的同事们还是承认了她几乎无与伦比的天赋。

• 图5：埃米·诺特的画像和她证明定理的文章的第一页

她在抽象代数和理论物理两方面的贡献是巨大的。诺特定理是现代物理学的基石。此外，她对现代代数的精通让数学家欧文·卡普兰斯基称她为现代代数之母。

1935年，爱因斯坦在给《纽约时报》的一封信中写道：

诺特小姐是自女性开始接受高等教育以来所产生的最具创造力的数学天才。在代数领域，最有天赋的数学家已经忙碌了几个世纪，她发现了一些方法，这些方法已经被证明对当今一代年轻数学家的发展非常重要。——爱因斯坦

然而，即使在被哥廷根大学录用后，由于她的性别，她也很难找到一个带薪的工作。即使在大学开始支付她薪水之后，她也没有成为一名正教授。当时最杰出的科学家之一、数学家和物理学家赫尔曼·韦尔说：

“我很羞愧，因为我知道她在很多方面都是我的老师。”——赫尔曼·韦尔

数学家巴尔特·林德特·范德华登在她的中写道，她的创造力无与伦比。她还被苏联数学家帕维尔·亚历山德罗夫和伟大的法国数学家让·迪厄多内等人称为她那个时代最伟大的数学家之一。

讣告

• 图6：帕维尔·亚历山德罗夫，让·迪乌多内，赫尔曼·韦尔，阿尔伯特·爱因斯坦和巴特尔·莱恩特。一群著名的数学家和物理学家认为诺特是一位伟大的数学家。

诺特定理的数学

让我们从考虑连续对称和无穷小变化开始，拉格朗日密度不变：

• 方程4：对于连续对称，当我们对场进行无限小的改变时，拉格朗日量不会改变。

接下来，我们需要用到欧拉-拉格朗日方程。两个方程合起来可以得到：

• 方程5：两个方程的组合。

然后我们将括号内的对象定义为4-current J：

• 方程6

前式表示J守恒：

• 方程7：电流J守恒。

能量和动量的守恒

在本节中，我们将研究两种类型的转换。

平移就是空间是一种变换，它使图形或空间的每一点在给定的方向上移动相同的距离。在这种情况下，连续平移对称是物理方程组在任何平移下的不变性。

• 图7：平移不变函数满足等式f(A)=f(A+t)。

时间上的平移是一种将事物以恒定间隔移动的变换。时间平移对称性的假设是这样的：移动不会改变物理定律。

• 图8：2017年，耶鲁大学物理学家发现了时间晶体的迹象，这种物质状态打破了时间平移对称。

我们可以把这两个变换写成：

• 方程8：时空平移

其中，x^0=t，x^1=x，x^2=y，a是描述时空中位移的任意小参数，现在考虑一个标量场(x)。如果我们通过一个小的扰动改变它：

• 方程9

利用欧拉-拉格朗日方程，经过几行代数后，我们发现对应的拉格朗日随坐标t和x的变化：

• 式10

利用公式9，我们得到：

• 公式11：公式9和公式10的结合

现在，我们可以把拉格朗日密度的变化写成：

• 式12

对比Eq. 11，a是任意的，我们得到：

• 方程13：由于平移参数a是任意选择的，所以这个等式必须成立。

括号内的表达式称为能量动量张量，公式13可以写成：

• 方程14：能量动量张量守恒。

T的00分量是系统的能量密度，T的i0分量(i=1,2,3)是场动量密度的分量。对整个空间积分，我们得到能量和三个动量分量。方程14表示在不改变拉格朗日密度的情况下进行时空平移时的能量和动量守恒。

如前所述，场也可以在“内部空间”内转换。连续对称拉格朗日的一个例子，其中对称变换是内部的：

• 方程15：拉格朗日对称对内部转换的空间

守恒的电流

让我们再考虑一个标量场的变换。这意味着：

• 方程16：标量场的变换产生拉格朗日变换。

假设拉格朗日不变。与上一节完全一样，我们得到了以下结果：

• 式17：在式14中通过变换，得到了守恒电流J。

物理系统的拉格朗日连续对称都有相应的守恒定律。换句话说，当拉格朗日是对称的，每个守恒电流都有一个守恒电荷。

最明显的例子就是电荷守恒：

• 式18：应用式17，其中J为电流密度。

• 图9：电荷Q通过表面S的通量J。

诺特定理可以在许多不同的系统中使用，包括电磁场、一般的规范理论和许多其他系统。它可以很容易地扩展到量子力学和量子场论。