魔兽世界怀旧服，关于抗性：两个公式解释清楚抗性机制的数学模型

1. 引言
60年代的抗性机制现在已经有了一个比较明确的定论，即抗性不分档位，每一点抗性都有价值，最高75%平均抵抗。那么每一点抗性带来的伤害减免是怎么计算的？有没有一个数学模型能够概括？
这个问题在有了WCL之后变得容易了起来，因为WCL能够直接查到伤害减免的百分比。本人是BWL小红龙的MT，我发现小红龙的火息术打到我身上只会出现0%，25%，50%，75%伤害减免，且火抗在200以上时，出现75%伤害减免的频率越高。于是我查阅了相关资料，发现了两个解释抗性机制的数学公式。在引入公式之前，我们先区分一下二元法术和非二元法术。

2.法术伤害类型
法术伤害分为二元法术(Binary spells)和非二元法术(Non-binary spells)。根据我查到的资料，“Binary spells are spells which deal a debuff (like [Frost Nova] ) or, for some other reason, must take full effect or no effect at all.” 翻译过来即：二元法术是能够施加debuff的法术(例如法师的冰环有把人冰起来的debuff)，或者由于其他原因，必须完全生效或者完全不生效。重点在最后一句，二元法术要么生效，要么不生效，这也符合英文中Binary的意思。
由于二元法术要么生效，要么不生效，那么与之不用的是，非二元法术是可以部分生效的，即可以部分抵抗。60和70年代的抵抗比例分为5挡：0%，25%, 50%, 75%, 100%，即从0%的完全不抵抗到50%的一半抵抗，再到100%的完全抵抗。那么问题来了，抗性跟抵抗比例有什么关系？为了解答这个问题，我们需要引入平均抵抗的概念。

3.抗性和平均抵抗
我们已经知道，面对63级BOSS的满抗为315，这时候能达到75%平均抵抗。平均抵抗的意思是，样本量足够大的时候，玩家面对BOSS的多次伤害，平均起来能够抵抗75%的伤害。平均抵抗的计算公式为：
(AR)Average Resistance = (Target's Resistance / (Caster's Level * 5)) * 0.75
其中，AR为平均抵抗，Target's Resistance为玩家抗性，Caster's Level为BOSS等级。假如BOSS为63级，玩家的抗性为315，那么玩家的 AR = 315/(63*5) * 0.75 = 75%. 假如BOSS为60级，那么玩家只需300抗性便可达到75%平均抵抗，即300/(60*5) * 0.75 = 75%.
你可能已经猜到了，75%平均抵抗可能包含了50%抵抗，75%抵抗，和100%抵抗的情形。75%平均抵抗是这么多抵抗档位的统计平均值。下面我们介绍平均抵抗和这五个档位的关系。

4.平均抵抗和抵抗比例的档位
当玩家抗性较高，达到75%平均抵抗(AR)的时候，不同抵抗比例的分布是什么样的？是50%，75%，100%三种抵抗档位各站1/3吗？并不是，下面是抵抗比例的概率公式：
P(X) = 50% - |X - AR|
其中，X是抵抗比例，分为5挡，分别是0%，25%，50%，75%，100% (这个在统计学上叫categorical variable)。AR是上文根据抗性算出来的平均抵抗。
当AR = 75%的时候，出现0%抵抗的概率为：P(X = 0%) = 50% - |0% - 75%| = 50% - 75% = -25%. 当然概率不可能是负数，所以P(X=0%) = 0%。即315抗性下不可能出现0%抵抗。
当AR = 75%的时候，出现25%抵抗的概率为：P(X = 25%) = 50% - |25% - 75%| = 0%。315抗性下也不可能出现25%抵抗。
当AR = 75%的时候，出现50%抵抗的概率为：P(X = 50%) = 50% - |50% - 75%| = 25%。即315抗性下，有25%的概率出现50%抵抗。
当AR = 75%的时候，出现75%抵抗的概率为：P(X = 75%) = 50% - |75% - 75%| = 50%。即315抗性下，有50%的概率出现75%抵抗。
当AR = 75%的时候，出现100%抵抗的概率为：P(X = 100%) = 50% - |100% - 75%| = 25%。即315抗性下，有25%的概率出现100%抵抗。
总结一下，在实战中面对63级BOSS，当抗性为315时，你有25%的概率抵抗50%伤害，有50%的概率抵抗75%伤害，有25%的概率抵抗100%伤害，综合起来就是75%的平均抵抗。

5.总结
以上两个公式解释了抗性，平均抵抗，和抵抗比例档位的关系。对于小于315抗性或者60级BOSS的情形，也可以类似求出平均抵抗和抵抗比例的概率分布，具体的计算不再赘述。
对于二元法术的情形，由于二元法术不存在抵抗档位，那么二元法术的抵抗概率就是AR。假如AR=75%，那么面对100次二元法术伤害，我们平均抵抗75次，平均被击中25次。

6.局限性
本文讨论的抗性仅限于BOSS对于玩家的伤害，没有讨论玩家对BOSS的伤害。本文的两个公式可能是经验公式，我没有找到暴雪官方发布的公式。本文没有讨论小于60级怪物的伤害模型。欢迎大家补充和完善！

在各种平均抵抗(AR)情况下，出现抵抗比例的分布是这样的：

本文提出的公式 P(X) = 50% - |X - AR| 能较好的拟合高抗性时候的法术抵抗，但在低抗性的时候，这个公式的表现不尽人意。以极端情况举例：抗性为0的时候，P(X=0%) = 50% - |0%-0%| = 50%. 即0抗性情况下，有50%的概率出现不抵抗，这个概率低于实际情况。此处感谢UID326617的网友的指正！可以看出，目前仍然没有一个概率模型能完美概括所有情况，但此处给出的概率模型能满足在大部分场合提供近似结果。真实的概率模型应该更加复杂，个人推测是服从beta分布的。欢迎大家补充完善！

参考资料：
https://ngabbs.com/read.php?tid=21979191&rand=995
https://wow.gamepedia.com/Resistance
https://wowwiki.fandom.com/wiki/Formulas:Magical_resistance

致谢：
Starry，是德鲁伊区的熊T大神，这是他的github：[https://github.com/lamueno/classicDruid/wiki]
木喉要塞服务器联盟零度公会

关于我自己：
角色名：莉丝佧洱/达阵的獾獾，木喉要塞服务器，联盟阵营，零度公会二团

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