【注】公式显示不全时，在公式上左右滑动显示
递推数列极限存在的证明与极限值的求解的通项公式法，就是借助递推数列的递推关系式推导得到递推数列的一般通项公式，然后通过通项公式验证极限的存在性和求得极限值。
比如，由递推关系式确定的数列
借助递推关系式，设法消去其中的 或 ，仅保留 ，且将 表示为 的函数 ，然后再验证 的极限存在性和求它的极限。
一般借助递推关系式寻求数列通项公式不是一件简单的事情，甚至有些根本无法用初等函数描述其项的变化规律；其中比较简单的，通常采用的方法为：
(1) 由递推关系式向前或向后推导，得到通项公式；
(2) 通过有限项观察规律，寻求可能通项表达式，并借助数学归纳法验证结论。
(3) 差分方程的方法. 具体可以参见专题：
另外也经常考虑使用矩阵的方法来求递推数列的通项公式. 下面我们就前面的两种思路分析两个例子，体会具体的求解步骤与过程：
例1：判定数列 的极限是否存在，如果存在求它的极限值，其中数列由如下关系式确定：
【分析】：（向前推导）由该数列的递推关系式，采用向前推导的方法，有
显然，等式右边的数列通项公式当 极限存在，并且极限值等于2.
（向后推导）由递推关系式，可得
猜想当 时：
则当 时，有
所以
【注】：通过验证该数列的项的有界性，比如可以验证 ，则既可以使用单调有界准则验证极限的存在性，也可以使用夹逼定理（定义法）来验证其极限的存在性。
例2：验证数列
逼近方程 在 附近的根。
对于这个数列的通项公式，可能稍微麻烦一点，我们也尝试使用上面的两种方法来探索它可能的通项公式。
（向前推导）由递推公式，有
仔细考察后面部分的表达式，发现一个有意思的规律：分子、分母的系数及常数依次都为斐波拉契数列的项。如果我们把通常的斐波拉契数列向前推两项，即：
这样，后面部分的表达式可以写成
则容易推到得到 的通项公式
由于
所以上式的极限存在，并且也就等于
（向后推导）为了便于观察规律，令 ，于是
观察项特征：分子、分母的常数以及相应的系数都依次为1，1，2，3，5，8，13，….也就为斐波那契数列的项。依据这个规律，容易得到
得到与上面完全一样的通项公式。借助于
可以验证该通项公式满足递推关系式
【数学实验】
对于这个例题的递推关系，可以借助Mathematica数学软件来推导。另外对于具有初值和递推关系的数列，也可以直接通过RSolve命令求递推数列的通项（可求的前提下），然后直接求极限。比如这两个例题的Mathematica表达式及计算结果如下：
例1：Mathematica表达式及执行结果：
例2：Mathematica表达式及执行结果：
同时可以验证，这样得到的通项公式与我们上面推导得到通项公式是完全一样的。
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