住旅馆吗？
无数个房间那种
乘着夜深人静，今天超模君想先和大家说一个经典的“希尔伯特旅馆”的故事。
某旅游胜地有一家旅馆，内设固定的房间。因是旅游旺季，故所有的房间都已客满。某天晚上，来了位客人想订房间。“对不起，”店主说，“所有房间都住满了”。
客人无可奈何地来到另一家旅馆。这家旅馆与别的旅馆并无多大不同，只是房间数是无穷多个（科幻吗？），号码为1、2、3…… 这位客人到来时，所有房间都也已经有客人了，但他已疲惫不堪，坚持要住下。
旅馆老板想了一个办法，去满足这位客人。他让每位房客都搬一下，从这房间搬到下一间。即，1号房间的客人搬到2号，2号房间的客人搬到3号……以此类推。于是，这位客人住进了已被腾空的1号房间，而原来旅馆内的所有客人也全都有房间可住。
有点不能理解？没关系，这个示例就只想告诉各位模友一件事：任何有限的数与无限做加减运算，其结果依然是无限。
那么著名的“巴拿赫-塔斯基分球定理”是否也可以用这个旅馆的案例来进行类比呢？
巴拿赫-塔斯基分球定理
假设旅馆有无限个房间，把这无限个房间按照一定的分类规则分成两类，并把这两类房间分开，分别称为“旅馆A”和“旅馆B”。
除去每个房间编号的问题，那么超模君请大家思考：这两个新的旅馆，和原来的“希尔伯特旅馆”有区别吗?
我们都知道答案：没有区别，两个新旅馆，和原来的旅馆一模一样，房间数一样，每个房间的大小也一样。
同样的，我们往下对“巴拿赫-塔斯基分球定理”这个“无穷”的概念做一个更深层次的理解。
一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球（半径相同，密度相同……所有性质都相同）。
超模君初看这个定理就觉得违反了人类的直觉常识，假设球体的体积或质量是一定的, 通过旋转或者平移以后这些碎片的总体积或总质量应该也是不变的, 拼起来后也不可能会变成1=1+1啊，这不就是个悖论吗？
这个定理还有更强的版本描述：
一块石头经过分解，可以随意组合成任何东西，可以拼成一个星球，也可以拼成一个人，甚至藏进一个细胞之中！
有画面了吗？可以用一个石头去拼接星球，也可以去创造一个世界。
咳咳，说过了，让我们先从梦中醒来，详细地了解一下这个定理的强大与神奇。
探讨“分球悖论”的可行性
时间回到1924年的一天，又是一个美好又平静的早晨。就在这个伟大的日子，两位数学家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）和阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski)提出一个反常识的定理，人称“分球怪论”。
他们当时发表了一篇论文来概述这个理论：
把一个三维的半径为1的实心球用某种巧妙方法分成五等分——五等分的意思是，把其中一份旋转平移后可以和另外一份重合——然后把这五个分块旋转平移后，可以组合成两个半径为1的实心球。
简单的说，一个球分割重组后变成了两个同样大小的球！当然了，这样的过程还可以继续下去，两个变四个，四个变八个......
但当他们发表了这个篇论文后，就有人一马当先开始抨击，说这显然不正确吧。
如果一个实心球体积为V（因为球的半径是1，所以V > 0），那么五个等分块，每块体积为V/5，平移旋转不改变体积，那么无论它们如何组合，最后得到的东西总体积是V，而不可能是2V。
其实这样的说法在传统意义下确实没错——如果你拿去超模君那里，超模君肯定会称赞你是一个善于思考的好孩子。但是，在更广义的条件下考察，就有可能存在问题了。
因为，这个论述是基于这么一个假设：
每一个分块都是有“体积”的。而分球定理的理论之处就在于它把球分成了五个“不可测集”——也就是五个“无法定义体积”的奇怪分块。所以，这里我们说“五等分”只是说它们其中一块平移旋转后能重合到另一块上，并不是说它们“体积相等”——因为根本就没有体积，也就没有相等之说。
选择公理？
其实巴拿赫-塔斯基在证明结论的时候主要用到的就是集合论中的选择公理。
通俗一点的说，选择公理可以这么描述：
用任意一组（可能有不可数无限个）非空集合，我们都可以从每个集合挑出一个元素。
看上去非常“无辜”啊——这不就是典型的“正确的废话”么——所以它被叫做“公理”。可是就是这么一个公理，却是魔力惊人，能让我们把实心球一个变俩。这就是数学的魅力！
其实数学家们一开始发现这个结论也觉得这不太可能, 包括塔斯基本人也是想利用这个定理来展示出选择公理中存在的某些先天不足, 也就是说他们最先想责怪的就是选择公理.
如果放到现在估计一大半的数学家会晕倒！因为他们学的东西里面有太多的定理都是在选择公理的基础上证明的，现在大多数数学家还是承认选择公理的。
但其实我们还忽略了一个问题: 3的子集的体积该怎么定义?
回到“分球定理”中，只有那些比较漂亮的子集我们才给它们定义了体积, 比如: 一个球, 一个立方体等等。如果是一些杂乱无章的点构成的子集, 是很难定义其“体积”的。
分球悖论的奥妙之处就在于, 将一个球分成几个部分的时候, 很多部分都是一些“非常难看”的子集, 它们是没有“体积”的. 也就是说最终把一个球分成了几个没有“体积”的部分, 然后把它们平移、旋转后反而成了两个同等大小的球！
分球悖论中有几个比较重要的信息, 一个是考虑分解什么样的集合；另一个是允许什么有的变换(群). 可以抽象成下面这样的一般定义 ：
在分球悖论中, 考虑的群是3中的所有平移和旋转生成的群(称为Euclidean群, 记为(3)), 作用在3上. 当我们考虑不同的群, 或者作用在不用的集合上的时候, 还会出现一些非常有趣的现象. 我们下面就列举其中一些现象.
其实在历史上，巴拿赫和塔斯基提出分球悖论的年代，正是数学家们对选择公理的存废进行激烈争论的年代。
数学家们分成两派，一派支持“选择公理”，另外一派则反对它。而巴拿赫和塔斯基这两位数学天才在当时原是反对接受“选择公理”，所以它们煞费苦心找到这个分球方法，目的就是以这种令人难以接受的“荒谬现象”来否定选择公理。
斯特凡·巴拿赫
而在后来的发展中，大部分数学家还是认识到选择公理对于现代数学发展的重要意义（比如，泛函分析中的核心定理——Hahn Banach延拓定理就依赖于对选择公理的承认），而选择接受它，当然塔斯基分球这种“怪现象”也被接受了。
现在，“巴拿赫-塔斯基分球悖论”又被称为“巴拿赫-塔斯基分球定理”——从悖论变成定理了。
写在最后
数学就是这样一个奇妙的世界。
它往往基于我们的生活常识建立起来，但是一旦建立起来就要遵循它本身的发展规律，哪怕它有时候违反“常识”——人们能直观认知的常识是有限的，而数学的威力能把我们带到常识所不能触及的地方。
以后看到别的小孩手上有好吃的东西
可别拿1=1+1来忽悠他们噢
作者简介：超模君，数学教育与生活自媒体博主，新晋理工科奶爸。出版过《芥子须弥 · 大科学家的小故事》；《数学之旅·闪耀人类的54个数学家》。后续数学文化创意多多，欢迎关注认识！
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