都2020年了，证明哥德巴赫猜想“1+1”怎么还那么难！

▲ 1742年6月7日，在哥德巴赫写给欧拉的信里，提出了哥德巴赫猜想。图/Wikipedia

哥德巴赫的“1+1”，证明起来怎么就那么难？

1742年6月7日，莫斯科，一位年过半百的俄国外交部职员，给远在柏林的数学家朋友欧拉写了一封信，在信中，这名职员讲述了一个自己无法证明的猜想，他希望当时已享誉世界的欧拉大师，能够帮助他完成证明。

出乎他意料的是，欧拉在回信中，坦言自己也无法证明这个猜想，但是欧拉认为这个猜想是正确无疑的。

其实不仅是欧拉，直到278年后的今天，这个猜想依旧无人可以证明，而给出这个猜想的人——哥德巴赫，也因此名垂青史。

哥德巴赫，在猜想什么？

哥德巴赫研究数学，其实是半路出家，他早年是学法学的，在毕业后游历欧洲时，遇到过许多数学家。

在与这些数学家交流的过程中，哥德巴赫忽然就决定去研究数学了，好在他在这方面也颇有天赋。1725年，当他移居彼得堡时，甚至还当选了当地科学院的数学和历史教授，1728年，他又做了当时的俄国沙皇彼得二世的老师，事业一直蒸蒸日上。

▲ 1744年彼得堡的地图，彼得大帝在建设彼得堡的时候，招募了许多数学家来做规划，哥德巴赫和欧拉就是在这里认识的。图/Wikipedia

1742年6月7日的那一次灵感爆发，是哥德巴赫一生中最为高光的时刻。他发现：“任何一个大于2的整数，都可以写成3个质数之和。”比如10，就可以写作2+3+5。

所谓质数，就是除了1和它本身，不能被其它数字整除的数，比如2、3、5、7等等，4就不是质数，它是合数，因为它除了能被1和4整除外，还能被2整除。

哥德巴赫的这个猜想，在当时其实是相当另辟蹊径的。在数学史上，人们对于质数的研究大多是涉及乘法，而不是加法。

▲ 古希腊数学家欧几里得曾证明过与质数相关的“唯一分解定理”，即：任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。图/Wikipedia

另外，人们对于质数分布还有一个固有印象，就是随着数字变大，质数的分布也会变得稀疏，毕竟当一个数字很大的时候，找出一个能整除它的数还不简单？这个时候，哥德巴赫的猜想也能成立么？难道就靠那么“仅有的”几个大质数，三三加和就能得到所有的数？

▲ 埃拉托斯特尼筛法是个找出在一特定整数以下的所有素数之简单算法，由古希腊数学家埃拉托斯特尼于公元前3世纪发明。图/Wikipedia

其实，对于质数的分布规律，到现在也没有研究清楚（黎曼猜想就涉及这个问题），质数的出现飘忽不定，所以事实不一定是哥德巴赫想得太巧合，而是这个固有印象有问题。

大数学家欧拉在看了好友的猜想后，估计当时就被这其中蕴含的数字之美打动了。是啊，这个猜想简单易懂，却又包罗万象（所有大于2的正整数都适用），这不正是数学的魅力么？

▲ 大数学家欧拉。图/Wikipedia

经过一番研究，欧拉只给出了一个哥德巴赫猜想的等价猜想，即：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。大师就是大师，这两个猜想我怎么就看不出来是等价的呢？总之你先知道结果就好，在文末的小专栏里我会给出证明。

后来，随着1这个数，被踢出了质数的范畴，哥德巴赫猜想的表达又变了。如今，哥德巴赫猜想的正式表达是：任何一个大偶数（大于等于6），都可以分解成两个质数的和。

▲ 证明出弱哥德巴赫猜想的哈洛德·贺欧夫各特。图/网络

这种表达又被称为强哥德巴赫猜想，除此之外，还有一个弱猜想，即任一大于7的奇数都可以表示为三个奇素数之和。对于数学家来说，如果强猜想被证明，弱猜想就可以被推导出来，反过来却不可以，弱猜想在2013年已经由秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特完成了证明。

证明“1+1”怎么这么难？

在哥德巴赫猜想被提出后的160多年里，数学界对这个难题的证明一直寂静无声，人们最多就是像欧拉那样，把这个猜想等价地改来改去，或是饶有兴趣地用数字验证一下，这样做或许是在寻找反例......

1900年，数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的数学界尚未解决的二十三个问题，哥德巴赫猜想就是第八个问题中的一部分。

▲ 大卫·希尔伯特，19世纪末和20世纪前期最具影响力的数学家之一。图/Wikipedia

要直接证明哥德巴赫猜想太难了，于是数学家们退而求其次，换了一种思路。

假设原初的猜想写成公式是：M=a+b；

现在的思路就换成了：

M=a+b

且a=P1×P2×...×Pn，b=Q1×Q2×...×Qt

其中P和Q都是质数；

仅需证明，n与t的最大值为1

因为这个时候：a=P1，b=Q1

即M=a+b=P1+Q1，也就是大偶数M为两个质数的和，猜想得证。

这种思路又叫“筛法”，它是在1919年，也就是哥德巴赫猜想提出177年之后，由一位名叫布朗的挪威数学家提出的。在常人看来，这种方法似乎是把简单的事情说复杂了，但布朗却利用它，成功地将n和t的值，都锁定在了9，人们于是把这个结论称为“9+9”。

▲ 每一个偶数，都是红线与蓝线两个质数的和（一个交点对应这一对质数解法）。图/Wikipedia

布朗之后的一代代的数学家，都站在他的肩膀上，一点点地向“1+1”这个目标挪步。不过这个1+1，可不等于2啊！

1924年，德裔美国人拉德马赫证明了“7+7”，8年后，德国人埃斯特曼证明了"6+6"，1938年和1940年，苏联人赫希塔布连续突破了"5+5"与"4+4"。后来，有一个叫阿特勒·塞尔伯格的人改进了筛法，得到了新“武器”的苏联人维诺格拉多夫和中国人王元，随即证明出了“3+3”和“2+3”。

▲ 阿特勒·塞尔伯格，极大地改进了筛法。图/Wikipedia

匈牙利人伦伊是第一个将其中的一个数字降到了1的人，但是他的证明是“1+X”，X是多少却不知道。在他的基础上，中国人潘承洞和王元在1962年成功地将数字推进到了“1+4”。

历史上最后一个在哥德巴赫猜想上实现突破的，是大名鼎鼎的陈景润。

▲ 中国数学大师陈景润。图/Wikipedia

1966年，陈景润在《科学通报》上发表了有关"1+2"的证明，但是因为当时发出来的论证只列出了证明过程的摘要，所以各国数学界的人士纷纷表示看不懂（不认可），直到1973年完整的论文发表后，“1+2”才得到公认，这个定理也因此被命名为“陈氏定理”。

▲ 陈景润于1973年发表的论文。图/《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》

虽然“1+2”看上去距离“1+1”只剩下临门一脚了，但陈景润用他的才华已经把筛法发挥到了极致，以至于在之后的50多年中，一直没有人再能前进一步。

如今，全世界的数学家们，都翘首期盼着能有新的方法出现，让人类能够最终摘下哥德巴赫猜想——这颗数学王冠上的明珠。

为什么要证明“1+1”？有用么？

许多人们看来不知所云的数学公式，在现实中其实都在发挥着巨大的作用，比如傅里叶级数被广泛应用于信号分析领域，复变函数是现代工程科学的基础。

▲ 金属板内的热分布，使用傅里叶方法求解。图/Wikipedia

但是哥德巴赫猜想是什么呢？它仿佛只是一个就数论数的思维游戏，对现代科技并没有什么有用的指导。虽然研究哥德巴赫猜想的数学家们所需要的也不多，像陈景润无非就是需要一支笔和几袋草稿纸而已，但是，让如此多聪明的大脑，去研究这种形而上的问题，似乎是对人类智力的一种浪费。

▲ 数学界的“诺贝尔奖”——菲兹奖，虽然中国有许多数学大师，但迄今为止尚未有人获得此奖。图/Wikipedia

当人们认为基础科学无用的时候，很可能是我们还不懂得该如何拥抱它的价值。

当古希腊人的几何大师们在研究椭圆时，谁能想到这会是行星轨道的样子？

▲ 拉斐尔《雅典学派》中的古希腊数学家欧几里得，他正在用圆规做图。图/Wikipedia

数学王子高斯一生都在探索非欧几何的实际应用，直至抱憾而终，直到一百七十年后，由非欧几何发展而来的张量分析理论成为爱因斯坦广义相对论的核心基础。

▲ 数学王子，高斯。图/Wikipedia

人们在证明猜想过程中发现的数学新方法，甚至可能比证明猜想本身更重要，这就像阿波罗计划的目的虽然是登月，但过程中的诸如圆珠笔、速冻蔬菜、红外测温仪等发明却造福了全球的消费者。

278年过去了，人类至今仍未证明哥德巴赫猜想，也确实不知道它的价值所在，但我们不禁要憧憬：我们的世界会因为这个猜想的证明，发生怎样的改变呢？

小贴士：欧拉没有骗我们吧？

提示：如果你不看这一段，对你理解文章不会有任何影响！

“任何一个大于2的整数，都可以写成3个质数之和。”——哥德巴赫

“任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。”——欧拉

这两个描述，为啥是一回事？

哥德巴赫猜想的意思是：M=a+b+c，其中a、b、c都是质数，M是大于2的整数。

欧拉的猜想的意思是：N=p+q，其中p、q都是质数，N是大于2的偶数。

• 对于欧拉说法里面不含的奇数，除了3之外，都可以用N+1表示，即p+q+1，在1742年，1也被归类为质数，所以p+q+1就是三个质数的和，跟哥德巴赫的描述一致。
• 对于任意一个大于2的偶数，除了4之外，都可以用N+2表示，即p+q+2，2也是质数，所以所以p+q+2也是三个质数的和，跟哥德巴赫的描述一致。
• 至于3和4，一看就知道可以同时满足两个人的说法（欧拉的猜想里不含奇数，所以没有3的事情）。

所以，两个人说的是一回事。原来，欧拉真的没有骗我们啊！

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文丨张雨晨