阿基米德是如何发现微积分思想的？

　　阿基米德是古代最伟大的科学家和数学家。他博学多才，对数学、物理、天文学和工程等广泛领域都有贡献。阿基米德也是一位杰出的发明家和武器设计师。

　　他的许多成就包括

　　1.他创造了力学和流体静力学（包括杠杆定律、地心引力和所谓的阿基米德原理等概念，阿基米德原理适用于流体中的物体）。

　　图1：根据阿基米德原理，浸入流体的物体所受的向上浮力等于物体所排开的流体的重量。

　　2.他给出了计算球体和其他几何物体的体积和表面积的公式。

　　图2：阿基米德的书《论球体和圆柱体》中的一页，在那里他展示了如何计算一个球体的表面积，以及一个球体的体积是包含它的圆柱体体积的2/3。

　　3.他是将物理学应用于解决数学问题的先驱者。下面的文章包含了这样一个应用的例子。

　　4.他从积分演算中预见到了将在2000年后得到充分发展的技术

　　用数学家史蒂文·斯特罗加茨(的话来说，“阿基米德的才华超越的他的那个时代”。

　　图3：18世纪中期的阿基米德的一幅画。

　　他发明了几台战争机器。他甚至利用镜子的特性来燃烧锡拉丘兹的船只。

　　图4：阿基米德利用镜子来焚烧罗马船只。

　　在本文中，我将解释他是如何计算抛物线段内的面积的。阿基米德的证明载于他在公元前3世纪所写的论文《抛物线的正交》(在现代微积分由巴罗、笛卡尔、费马、帕斯卡、沃利斯、卡瓦列里、格雷戈里、牛顿和莱布尼兹等几位伟大的数学家发展出之前2000年)。

　　图5：托马斯·德乔治的《阿基米德之死》根据神话，在士兵用剑杀死他之前，他告诉罗马士兵“不要打扰我计算”。

　　阿基米德和微积分

　　在图6和图7中，阿基米德用来计算弦AB围成的面积的结构被展示出来。他构建三个三角形，即ΔABC、ΔADC和ΔCEB：

　　他首先找到了点C，其中切线平行于AB。

　　边界弦

　　同样地，D的切线平行于AC。

　　E点和BC的选择遵循同样的规则。

　　然后他对尚未包含内接三角形的区域采取相同的步骤。然后他无限地重复这个过程（这被称为穷竭法）。

　　图6：阿基米德想要计算抛物线和线段AB区域的面积。

　　阿基米德的证明，抛物线和线段AB包含区域的面积等于4/3ΔABC：

　　等式1：阿基米德在他的论文抛物线求积中证明的等式。

　　未来证明这一点，我们需要证明：

　　等式2。

　　然后把上面提到的穷竭法应用到下面的三角形ΔACD和ΔBCE等。

　　证明等式2

　　在本节中，我将展示如何证明等式2。我将证明，抛物线段的面积等于4/3ΔABC三角形的面积。

　　表示抛物线的方程可以写成：

　　方程3:表示抛物线的方程。

　　图7：的抛物线段定义了三个点A、B和C。

　　然后我们定义三个点A、B、C，使其结构如图7所示：

　　方程4：A、B、C三个点的定义，如图7所示

　　从图7中，我们可以得到如下关系：

　　方程5：y点x我们发现通过C的垂直线是和弦AB的平分线。

　　根据方程5，穿过C的垂直线是和弦AB的等分线。他们相交的点用P表示，这可以证明：

　　方程6：如果证明了这个等式，则满足等式2成立。

　　我们证明等式2。从图7中我们可以看到，E的垂线在G点平分线段BC和在h点平分线段BP，如果我们现在证明：

　　我们将得到：

　　方程7：这些等式是上述等式的结果。

　　因为：

　　我们直接得到式6。然后：

　　为了证明这一点，我们将解析几何应用于图7。当然，阿基米德的证明只基于几何学，因为分析几何学是在17世纪才发展起来的（由法国哲学家、数学家和科学家勒内·笛卡尔提出）。

　　经过一些简单的代数运算，我们得到：

　　方程8：用图3中的结构证明FE=(1/4)QB。

　　最后一步：应用穷竭法

　　现在使用穷竭法和再应用与和弦ABC到更小的三角形使用同样的方法，我们得到了一个几何级数，其总和就是我们所期待的结果：

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