奇妙的杨辉三角与二项式乘方.高中数学

杨辉三角相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和。

什么是“杨辉三角”

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，古称“开方作法本源图”。

最早出现在《宋史·艺文志》中贾宪所著的《黄帝九章算法细草》九卷，书已无存，但其许多内容为100多年后的南宋数学家杨辉1261年撰写的《详解九章算法》之中，故又称为杨辉三角形。

在欧洲，帕斯卡在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形，但是帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪晚500年。

“杨辉三角”的特性

就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙的特性，接下来将简单介绍其中的一些。

最外斜列数字都是1

最外斜列数字都是1，其它数字都是肩上两个数字的和。

第二层是自然数数列

第三层是三角数列

这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形。

三角数列相邻数字相加可得方数数列

什么又是方数数列呢？雷同与三角数列，就是它的数字始终可以组成一个完美的正方形。

每一层的数字之和是一个2倍增长的数列

斐波那契数列

如果按照一定角度将直线上的数字相加，我们甚至可以从杨辉三角中找到斐波那契数列。

斐波那契数列是指从 0，1 两个数开始，每一位数始终是前两位的和。

这个数列有个神秘的特性，即越往后，相邻两数的比值越来越逼近黄金分割数 0.618 (或1.618，两数互为倒数)。

素数

可以被特定数整除的数字的分形结构

可以被2整除的数字

可以被3整除的数字

可以被4整除的数字

如果我们把杨辉三角再放大，就会发现这些可以被特定数字整数的数的分布非常有规律，它们会形成类似分形的图案。

杨辉三角的奇妙特性远不仅此，同学们感兴趣可以继续探究。

“杨辉三角”与二项式乘方

在这里，我们主深入究杨辉三角与二项式乘方的关系。

我们把最上行称作第0行，往下依次是第1行、第2行、第3行……

这个三角形给出了(a+b)（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：

我们通过几道例题来看。

答案解析

什么是二项式定理？

二项式定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为各项项之和的恒等式。

我们这次要讨论各项系数，第k 项的系数为

也可以写成

显然，当 n 很大时，要计算这 n+1 个系数尤其是中间部分的系数是非常困难的。

其实这个系数有一个好的记忆方法，那就是利用 “ 杨辉三角 ” 。

杨辉三角

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡 （ 1623----1662 ）在 1654 年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形 。帕斯卡的发现比杨辉 要迟 393 年，比贾宪迟 600 年。

杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

特点：

1. 杨辉三角的第 n 行就是二项式展开式的系数列。

2. 对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”。

3. 结构特征：杨辉三角除斜边上 1 以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和。 这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是 1 。

4. 从右往左斜着看 , 从左往右斜着看，和前面的看法一样，这个数列是左右对称的。

从这个杨辉三角中还可以看出一些公式：

掌握了杨辉三角，再来回答上面问题：

大牛们在杨辉三角中发现的其它规律(杨辉三角之美)

最外层的数字始终是 1

第二层是自然数列

第三层是三角数列

每一层的数字之和是一个 2 倍增长的数列

隐藏的斐波那契数列

可以被特定数整除的数字形成了奇妙的分形结构

▍ 来源：由《高中数学竞赛》、公众号《许兴华数学》综合于网络。

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