罗增儒：什么叫数学题？数学解题的四个水平,高考数学压轴题的解题展示与理论认识

陕西师范大学罗增儒教授在第六届新青年数学教师发展(江苏沭阳)论坛暨青年教师高考数学压轴题讲题比赛上的发言，包括开幕式寄语、闭幕式点评报告。

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开幕式寄语青年教师

老师们：上午好！

对于数学教师来说，再也没有比“数学题”(详称数学问题、简称题)更熟悉的专业词汇了，再也没有比“数学解题”更频繁、更平常的教学活动了，但是，“什么叫题？什么叫解题？怎样进行解题教学？”我们都能说清楚、讲明白，并给学生做到位吗？说来见笑，我确实曾经想了好多年没有想清楚，确实曾经担忧会面临这样的尴尬：解了一辈子题说不清“什么叫解题”，教了一辈子书说不清“什么叫解题教学”．于是，我思考、实践、并最终写出了“数学解题学”的书《数学解题学引论》.

(《数学解题学引论》第1版、第2版)

(《数学解题学引论》第3版)

但是，个人的解题思考(包括今天的发言)“与其说是记录了一些研究的成果，不如说是提出了一些思考的课题”，我告诫自己：“叙述是商讨性的、名词是描述性的，画一个问号作为丑陋的开头，把完善、完整、完美的句号留给读者”(《数学解题学引论》前言)．下面，我将就什么叫数学题和数学解题的水平划分谈谈个人的看法，并与广大数学人共勉．

1、什么叫数学题

给数学题作出严格定义是一件困难的事情，我们就把数学上回答起来有困难、需要解决的事情作为数学题的宽松界定．

(1)界定．数学题(简称题)是指数学上要求回答或解释的事情，需要研究或解决的矛盾．

(2)解释．对数学家而言，仅当命题的真假未被判定时才成为问题，如“哥德巴赫猜想”，而一旦解决了就称为“定理”(公式)，不成为问题了；这更多地体现了“需要研究或解决的矛盾”．在数学教学中，则把结论已知的事情也称为题，因为它对学生而言，与数学家所面临的问题，情景是相似的、性质是相同的，这时候的数学题是指：为了实现教学目标而要求师生们解答的事情，重点在“要求回答或解释的事情”上．

(3)基本要素．数学题的标准形式包括两个最基本的要素：条件(已知，前提)，结论(未知、求解，求证，求作等)．条件是问题解决的起点，结论是问题解决的目标，问题的关键在于，达到目标相对于问题解决者来说存在一定的障碍．因此，问题具有目标性，障碍性和相对性，问题的实质是：从初始状态到目标状态之间的障碍，由现有水平到客观需要之间的矛盾．

(4)特别提示．有人认为，概念课、定理课的前半部分是讲概念、证定理，后半部分做的才是题，其实，如何构建概念、怎样发现和论证定理也是题！

案例1：构建概念的例子．比如，如何构造有序实数对与平面上点的对应，从而建立起坐标系的概念，就是一道题(其实质是数与形的结合和两个无穷集合的对应)，构建出坐标系就是解了一道题，并且构建的方法可以不唯一．更重要的是，通过坐标系，“有序实数对”与“平面上点”在数学上“合而为一”了．

在这里，如何构建概念是一道题，构建出概念就是解了一道题，并且构建的方法可以不唯一，而“怎样进行概念教学”的方法其实就是一个宏观解题程序．

案例2：构建公理的例子．怎样描述“直线很直、平面很平”就是一道题，数学家构建出“直线公理”和“平面公理”就是解了一道题．

“直线公理”：经过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线)，正是直线本质特征的一个刻画．直线是可以无穷延伸、很直很直无法严格定义，但用公理可以刻画出来，试想，如果“直线”不是很直很直的，那么，经过两点就可以连出很多很多曲线；同样，如果“直线”不是两端可以无穷延伸的，那么，经过两点的线段就可以延伸出长短不一的很多很多直线．所以，“经过两点有且只有一条直线”表明：直线是由无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直．

同样，高中的平面公理是平面本质特征的一个刻画，平面可以无穷延伸，很平很平等无法严格定义，但用公理可以刻画出来．试想，如果“平面”不是无穷延伸的，那么有一个公共点的两个平面就可能只有一个公共点或延伸出有限的公共线、公共区域；如果“平面”不是很平很平的，那么即使无穷延伸也有可能得出公共曲线．同样，如果“平面”不是很平很平的，那么由于直线很直，即使直线有两个点在平面上，也不能保证整条直线都在平面上．所以，平面公理表明：平面可以无穷延伸，很平很平．

案例3：方法教学的例子．作为连续函数的应用高中介绍了二分法，在教学中常见教师创设“猜价格游戏”的生活情景来引进(比如猜手机价格)，但缺少情境的生活化提炼，学生没有见到“连续函数f(x)”，没有见到“方程f(x)=0”和它的解，如何由“猜价格游戏”提炼出连续函数和它的应用——二分法？就是一道题．

学生在这个数学活动中，学到了“二分法”，看到了连续函数的应用，感悟了“函数与方程的数学思想”“近似逼近的数学思想”“数形结合的数学思想”“特殊与一般的数学思想”“程序化地处理问题的算法思想”等，经历了数学化(去情景化)的提炼过程，就是在学习解题，就是解了一道数学题，就是在通过学习数学去学会思维．

这个“二分法”课题的教学过程，可以提高我们“从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，可以让我们感悟到“用数学眼光观察世界”、“用数学思维思考世界”、“用数学语言表达世界”，从中可以孕育乃至生成数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等核心数学素养．

案例4：提炼命题的例子．如何由“糖水加糖变甜了(糖水未饱和)”提炼出真分数不等式(若b>a>0，m>0，则a/b<(a+m)/(b+m))是一道题．

由糖水提炼不等式是个好问题，它来源于日常生活中再简单不过的常识(托儿所小孩子都知道的生活现象)，而沟通生活与数学的联系又非常自然，情境本身还有很大的拓展空间(直到切比雪夫不等式)．

在这里，如何发现、提炼和论证命题是一道题，提炼出命题就是解了一道题，而“怎样进行定理教学”的方法其实就是一个宏观解题程序．

案例5：论证定理的例子．初中二次方程根与系数的关系，原先的教材是作为定理来学习的(韦达定理)，“课改”被删去后有的新教材将其编作课后习题，修订“课标”时又恢复了定理的“身份”，在这里，题与定理、定理与题并无严格的界线(顺便指出，对二次方程，由求根公式可以推出韦达定理，反之，有韦达定理二次方程不一定有实根；更一般地，高于四次的高次方程有韦达定理、没有公式解(即各项系数经过有限次四则运算和乘方、开方运算无法求解)，而且韦达定理的对称多项式结构以后很有用——伽罗瓦群论)．

同样，高中“三垂线定理”“积与和差互化公式”，课改被删去了，有的新教材将其编作习题或例题，在这里，题与定理、定理与题并无严格的界线．

案例6：构建学科新结构的例子．在微积分教学中，极限定义的语言是个难点，如何给出一个非语言的极限定义？这就是一道题，张景中院士给出了“极限概念的非语言定义法”就是解了一道题，并且，张院士由此构建出学科的一种新结构：新概念微积分．

2、数学解题的四个水平

(时间关系，只做书面发言)

回顾我从当学生到当教师的几十年解题实践(特别是当教师以来的40年)，我看到了一条清晰的“学解题、教解题”线路：由“记忆模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”，已经进入到“自觉理解”的阶段．这里的四个关键词：模仿、练习、领悟、理解，正好体现为数学解题的四个水平．

如果题目不会解、解不出来那就还没有显示出水平．从能得出题目答案开始算，如果只会记忆模仿那是“水平1”，如果能够完成变式练习那是“水平2”，如果能够通过解题获得思维感悟那是“水平3”，如果能自觉通过解题分析去增强数学理解、提高数学素养那是“水平4”．趁此“高考数学压轴题”研究的机会，我将其作为“一个中国解题者的学习案例”或“一个中国学习者的解题案例”总结为经验性的认识，就教于广大数学同行．

(1)数学解题的记忆模仿阶段(水平1).

这一阶段的表现是，模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题，能套定理公式，但稍一变化就会思维受阻；解题常常只是为了完成任务，解题的目的就是获得答案；题目解完之后没有反思自己是怎么想的，也说不清用了哪些知识、哪些方法．

这一步中，记忆是一项重要的内容，由记到忆，是指信息的巩固与输出的流畅，要解决好：记忆的敏捷性(记得快)，记忆的持久性(记得牢或忘得慢)，记忆的准确性(记得准)，记忆的准备性(便于提取)．停留在这一阶段的记忆主要是机械记忆，缺少自觉的理解记忆．

记忆和模仿都是必要的，学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿开始，学音乐舞蹈也都从模仿开始，每节课后的数学作业基本上都是模仿性练习．波利亚在《数学的发现》序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”，张景中在《帮你学数学》(第46页)中说“摹仿是学习的开始”．至于“不要死记硬背”的告诫，也不是要否定“记”而是要否定“死”，不是要否定“背”而是要否定“硬”．

但是，仅仅停留在记忆模仿阶段是不够的，还需要领悟和理解，有些同学“课堂上讲的还能够听懂，课后作业常常遇到困难”，个别老师“课堂上讲过的题目，过上几周学生来问时，自己都不会了”，就是停留在记忆模仿的水平上．

(2)数学解题的变式练习阶段(水平2).

这一阶段的表现是，做数量足够、形式变化的习题，本质上是进行操作性活动与初步应用．其作用首先是通过变换方式或添加次数来增强效果、巩固记忆、熟练技能；其次是通过必要的实践来积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会．许多学生经过充分练习之后，题型积累有所增加，解题操作更加熟练，确实能解决一些形式变化的问题了；还有学生在获得答案之后也能说说自己是怎么想的，用了哪些知识、哪些方法，有的题目亦能进行一题多解．多数学生和广大教师能达到这个水平．

“变式”是防止非本质属性泛化的一个有效措施，中国的数学教育有“变式教学”的优良传统，“变式练习”是这一传统在解题教学上的体现，它作为一种学科活动可以成为感悟解题思想、接近数学实质、形成学科素养的载体和通道．

记忆模仿、变式练习主要体现了“模式识别”的解题策略．它是学生获得本质领悟的基础或必要前提．但是，“没有理解的练习是傻练(越练越傻)，没有练习的理解是空想(越空越想)”．因此，对学解题而言，更重要的是跨越模仿和练习而产生领悟．

(3)数学解题的自发领悟阶段(水平3)．

这一阶段是在变式练习的基础上产生初步感悟，表现为个体经验的生成．如：对解题思路的探求能够开始有意识的设计；解题不仅要获得答案，不仅能说出自己的思路，有时还能领悟当中的解题思想、解题方法和问题的深层结构，间或还能一解多题，并作出一些推广，还会有针对性地编拟新题．但是，这种领悟带有自发的性质和隐性学习的特征，常常是“只可意会，不可言传”．

这三个阶段，体现了“接受记忆知识——练习巩固知识——顿悟形成理解”这样一个逐步深化的认识过程，是传统教学所熟悉的．能够进入“自发领悟”阶段也标志着数学学习的一种觉醒，即已经感悟到解题学习需要“理解”(如同不仅会用数学归纳法的两个步骤，而且能去理解方法的无穷三段论本质)．但是，这种领悟长期停留在自发的和个性化的层面上，表现为一个漫长而又不可逾越的必由阶段(会存在高原现象)，目前的很多学生就被挡在、或停留在这一步．我自己也总在这一阶段上挣扎，但已经认识到：为了缩短被动、自发的过程，为了增加主动、自觉的元素，解题教与学还应该有第四阶段．

(4)数学解题的自觉理解阶段(水平4)．

这一阶段表现为，能在领悟解题的基础上，进一步做到：

①数学问题的迅速识别，解题思路的主动设计，知识资源的理性配置，解题方法的灵活运用，解题策略的适宜调控，解题过程的自觉反思，努力通过解题去获得数学的理解，使认识进入深层结构．

②能从数学操作和正确答案中看到数学知识和数学方法的应用，能从数学知识和数学方法中看到数学思想和思维策略的指导，能从数学思想和思维策略中提炼(DNA)数学核心素养，获得态度、情感的熏陶，形成正确价值观念、必备品格和关键能力．

问题是怎样通过解题获得理解，我的建议是：自觉的解题反思，通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”．操作上通常要经历整体分解与信息交合两个步骤(参见拙著《中学数学解题的理论与实践》)．

(《中学数学解题的理论与实践》)

自觉的解题反思与检查验算是有区别的，它不仅反思计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多更简单的途径等，而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示．

当前的重点应是加强第四阶段的教学与研究，这是一个无限广阔的创造空间．

下面，通过一组涉及组合数的题目来做说明(略)．

以上的例子及其处理，到底能不能说明四个水平？是否有助于学生对数学本质的深刻认识和深度把握？可不可以帮助学生用数学的眼光发现和提出问题、用数学的思维分析和解决问題、用数学的语言表达和交流问题等等，我都留给大家去思考、评判和实证．

3、共勉

从“会议手册”可以看到，大家对什么是高考数学压轴题、怎样求解高考数学压轴题等的认识是有区别的，可能大家对讲题讲什么、讲题怎么讲、讲题对谁讲等也会有不同的看法和做法，我想到总结发言时再展开我的个人看法，作为发言的结束，用以下“寄语”与同行们共勉：

●我们应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研究的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标．

●我们应该有这样的信念，没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答的理解水平．

●我们应当把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程，而不仅仅是学习结果的巩固．

●数学家创造数学，数学教师创造数学的理解．解题专家不仅要自己知道“怎样解题”，而且能指导学生也“学会解题”．

●解题能力是数学教师的一个专业制高点，研究解题是专业攀登的一座发展里程碑．

●谁也无法教会我们所有的题目，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种可以解决无限道题的数学素养．

●数学上负数比零更小，解题中没有想法比想错了更糟．(解题就是在正确的方向上不断的犯错误)

祝比赛圆满成功！

(罗增儒教授在开幕式上寄语青年教师)

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闭幕式点评报告

——高考数学压轴题的解题展示与理论认识

老师们：下午好．

很高兴，能与来自全国十多个省市的数学同行分享数学解题的甜酸苦辣．令我非常感动的是，在你们废寝忘食的认真准备和三尺讲台的激情展示中，体现了火热的数学情怀、勇敢的发展追求、崇高的职业自觉和自觉的学术担当．

我下面的发言包括两个部分：会场上的观察与思考、高考压轴题的一些理论认识．欠妥之处，盼批评指正．

1、会场上的观察与思考

总体感受：会议是智慧的比赛，而不只是知识的比赛；会议是创新的比赛，而不只是记忆的比赛．相比之下，“诗词大会”就主要是知识和记忆的比赛，还需要注入更多的智慧和创新元素．下面从五个方面说说我看到什么又联想起什么．

1-1 看到了学术热情和广有收获

(1)大家放弃休息、冒着酷暑，自觉自愿的走到名城沭阳来切磋数学，就是一种学术热情；比赛的选手有的练到半夜，有的放弃午休；不是比赛的老师也十几道题题练习，这不是学术热情是什么？我还注意到，好几个队都注重了讲授形式的活泼，多位教师轮流上场；还有与学生的现场互动．所以，我第一段话就说了“火热的数学情怀、勇敢的发展追求、崇高的职业自觉和自觉的学术担当”．

(2)参会人员来自教学第一线，有良好的解题胃口和浓郁的学术氛围，大家讲起题来，具有“读懂学生”的“内行话”优势，具有“通达课堂”的“接地气”强势．我在“中考压轴题”会议上说过“这是解题精强团队不事张扬的报到”“这是解题集体智慧不无潇洒的亮相”．其水平不低于任何一本教辅书．这些“优势”和“强势”使得我们都能“不虚此行”，无论是上场的选手还是台下的听众，大家都能在高考压轴题的解法和思路探求等方面收获满满，并可以立即将诸多收获用于课堂．我还要提起，“广交四海朋友、认识专家主编”等不仅也是收获，而且还是“长久耐用”的更大收获(潜力股？)．

1-2 看到了“讲题”的深入思路和师生互动

(1)所有选手都表现出强大的实力和过硬的基本功．9个参赛队的讲题老师都富含数学素养，特别突出的是逻辑推理，直观想象，数学运算；他们深厚的专业功底，饱满的教学热情，可人的教学风度，美观的课件呈现等都给我留下了深刻的印象．我高兴看到，9支队伍既不是缺少解题实践的理论空头，也不是缺少理论指导的教学苦力，都表现出“既懂数学又懂教学，既有实践又有理论”的良好势头．沭阳队是解题理论修养与实践指导双结合的一个代表．

顺便提起，正如在汽车普遍进入生活的现实中婴儿还要首先学好走路一样，我十分赞成在多媒体普及教学的形势下教师依然要练好基本功(我曾要求我的研究生每周交一篇钢笔字、一篇毛笔字)．还要看到，真正过硬的教学基本功不是提前做好课件，上课播放课件．我见过这样的数学前辈，可以徒手一笔一个圆，两笔两个相切的圆，三笔三个两两相切的圆，四笔四个两两相切的圆，是一面讲一面画的．

(2)所有题目都进行了广泛的探讨和深入的挖掘．无论是选择题、填空题还是解答题，所有队都是眼花缭乱、异彩纷呈的一题多解(三四个解很普遍、五六个解不罕见、七八个解也可见)，努力接近问题的深层结构(直到高等数学背景)；还有命题立意分析，题意分析，思路分析、评价与推广和数学思想的分析等(参见浙江杭州代表队的讲解)，没有停留在获得答案的简单层次上(江苏高邮代表队通过问题串的方式揭示思路有特色)．第1队(浙江杭州代表队)对第10题的“不动点”揭示，用得上两个字：深刻！第6队(上海代表队)对第12题“图形结构”的揭示，也用得上两个字：深刻！其他队亦都是在努力进行本质揭示，努力获得启示与引申．

(3)会场的师生互动应该成为一个亮点．好几个同学的发言，都给我留下深刻的印象．有的同学提出了很好的思路，反映能力水平和数学素养不错；有的同学表达了困惑，说明题目太难或我们的讲解存在不到位的地方．这应该成为我们这次会议的一个亮点．主持人要给他们奖励，他们受之无愧．

相比之下，老师的发言显得冷清，也缺少学生的批判性．这可能与主持人的时间把握和现场调动有关．

1-3 看到了对高考大方向的深刻认识和核心素养的自觉关注

多数队不仅有试题讲解，而且有试卷分析．试题讲解不仅有答案，有一题多解，而且有命题立题分析，题意分析，思路分析，评价推广，与教材的联系，与往年高考题的联系等，还有数学思想和6个核心素养的自觉感悟．而试卷分析则体现高考大方向和今年的命题风格．比如：

(1)上海代表队对上海卷特色的分析.

(2)天津代表队对天津卷、江苏沭阳代表队对江苏卷与全国卷1卷的对比分析.

(3)对全国1卷21题中的5点分析能反映高考命题的动向：

●阅读理解要求高(题目有400多字)；

●强调了数学的实际应用，让我们感悟到“用数学眼光观察世界”、“用数学思维思考世界”、“用数学语言表达世界”；

●改变了导数题压轴的惯例，也改变了解答题的习惯顺序；(以上3点会对学生产生心理威胁)；

●进行了跨学科的综合：概率与递推数列的综合，突破学科内的单一综合；

●体现素养立意：从这道题可以孕育乃至生成数学抽象、逻辑推理、数学建模(概率模型、数列递推模型)、直观想象、数学运算(推理与运算两兼：推理的需要提出运算的要求，运算的结果提供推理的论据)、数据分析等核心数学素养．

讲讲故事(高考要着眼于学生的核心素养)．

故事1：王尚志教授举了一个发人深省的例子，有一所“985”高校，学生的高考数学平均分在125分以上，入学后的10月份组织学生对做过的高考题目的考试，平均分降到100分；到同一年的12月再考一次同样的题目，平均分只有及格．这说明很多题目学生做过就忘了．考那样的题目，高中那样的教法，没有多大积极意义．高考制度与高中课程的改革，要给学生脱颖而出的机会与条件．我们可以通过数学建模等形式，让学生的才华呈现出来．以后高校录取不会斤斤计较一分两分，要着眼于学生的核心素养．

故事2：有一次，史宁中教授问大学文科一、二年级的学生“什么是三角函数”“如何求球的体积”等基础性问题，他们回答说“全忘了”．

这两个故事说明，学生数学知识的获得，主要是依据知识的逻辑线索，缺少学生心理的发生过程，很大程度上是教师将数学知识“无私”地奉献给学生(怎样想到的，怎么证实等不太清楚)，学生无法得到知识来源的心理依据，数学知识就不能从心理意义上发生，就只有通过机械记忆的方式来获得知识，因而遗忘也快．做个比喻：缺失心理发生过程的知识是插在花瓶上的花，具有心理发生过程的知识是栽在花盆里的花，一个会凋谢、一个能生长．

关于高考的方向与动向，本文第3部分会做展开.

1-4 看到了数学课堂上的生动和文化

(1)看到了数学会场上有掌声和笑声．可能很多人都会认同数学课堂难得有掌声和笑声，但是我们的会场有了．如同大家所看到的，讲题有激越煽情型的、也有大气沉稳型的，有精雕细刻面面俱到的、也有大刀阔斧突出特点的，有工于抽象思维的、也有富于形象直观的，但不同的教学风格都由于教学呈现形式的生动和数学专业揭示的到位而引起共鸣，产生掌声和笑声．

当然，有些笑声也出于语言的艺术或逻辑错位等．

(2)看到了数学会场上的文化．数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动．将数学文化融入教学，有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野，提升数学学科核心素养(参见2017年版高中课标)．指向数学核心素养的课堂教学应该努力渗透数学史、数学家，数学精神和数学应用等数学文化要素以及更广泛的人文元素，感悟数学价值，提升科学精神，培养应用意识，生成人文素养．“数学文化”如何考需要研讨——数学史背景、数学家背景、数学名题背景、数字入诗词等大家比较容易想到，更重要的是体现数学视野，体现数学价值(科学价值、人文价值、理性思维、数学美)，用数学思想解释生活现象，用数学思维解决现实问题．据知，高考试题主要从数学史、数学精神、数学应用三个方面渗透数学文化(任子朝、陈昂：《突出理性思维，弘扬数学文化——数学文化在高考试题中的渗透》，载《中国考试》2015年第3期)．

关于会场上一般性的文化元素，主要表现有：许多选手富于哲理(或艺术表演)的开场白，经验之谈的口诀，整齐对称的标题，富于哲理的总结(人生的三点共线)，清晰深刻的逻辑关系图，和一些我来不及记下的顺口溜．如：

①浙江杭州代表队总结的口诀：解题感悟。

不等含参本是难，对数插足不简单；

导数求解难又烦，参变分离可初探；

主元互换试消参，适当放缩繁化简；

图形技术辨直观，核心素养尽呈现．

②新青年数学教师工作室代表队总结的思维导图。

③标题成对联：

●四川成都代表队：行到水穷处，坐看运起时.

●天津代表队：整体构造，驭繁至简；合理放缩，龙跃云津.

④江苏南通代表队由数学感悟人生：三点共线(但对O点的确定而言，题目中的向量等式比C,O,E三点共线更关键，不要为了对应人生的“三点共线”而说成“C,O,E三点共线更关键”)

……

如果说数学结论是冰冷的，那么数学教师可以给它插上情感的翅膀，使它成为冰冷的美丽；如果说数学探索是火热的，那么数学教师可以给它融入理性的合金，使它成为火热的思考．数学教师在数学的面前并非只有传承，数学教学本来就是一种充满创造性的学术活动．

顺便指出，“中小学数学”刊物2006年有多篇文章争论过数学教学中“口诀”的作用与局限，应该看到，教学中的口诀、顺口溜等更像“调味料”，数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验才是“主食”“主材”，要防止“喧宾夺主”或“矫揉造作”．

1-5 也看到了会场上有批判性不足等方面的情况

(1)很少听到关于题目的改进意见．

不是不应该“重在正面理解”，而是不能没有批判性的声音，这说明我们对解题反思“思什么、怎么思”还需要探讨和强调．比如

①压轴题承担高考把关的任务把住了没有？太浅把不住，太深又形同虚设、也没把住；我问过一些老师，有的个别考题难度系数只有0.1，是形同虚设了．

②考试题并非没有出过“问题试题”，是可以研讨的．

例1 (1987年高考数学理科第二(7)题)

计算发现题目所给棱台的高等于0，由于试题存在科学性的争议，只好每人按满分计算．在考试中，这样的题目是无效的，无论叫错题还是病题，都是“问题试题”．

例2 (2012年高考数学福建卷理科第20题)

题目条件要求“切线平行于 轴”，解题结果是“切线重合于轴”，到底有没有矛盾？

有人说“同一平面内，且没有公共点的直线叫平行线”，而重合有无数个公共点，有矛盾，是错题(或者说，满足题干的实数事实上是不存在的，无解题)．

有人说“重合可以是平行的特例”，虽然不承认“错题”，也只肯定到“不要紧”、“不影响学生求解”．

这至少在客观上有了歧义(歧义题)，若提前发现肯定会修改(凡有歧义之处，高考命题都要回避)．

例3 (2010年高考数学福建卷文科第3题)

答案认为由题目所给正视图可知是直三棱柱.问题是，题目能保证三棱柱为直三棱柱吗？更一般地，三视图能保证几何体的唯一性吗？这应是一道“问题试题”．

(2)有的“一题多解”停留在罗列上，目的性不明．

上面说到，“多数队都是眼花缭乱、异彩纷呈的一题多解，努力接近问题的深层结构”，但是，也有的“一题多解”只是平铺直叙、平行并列，缺少亮点、高潮和深层结构的揭示(知识的内在联系或方法的内在联系，比如数学归纳法、最少数原理、反证法是一致的；反证法与证逆否命题是一致的)．

我们说，对于解题获得答案来说，本来有一个解法就够了，为什么还要“一题多解”呢？一题多解有两个潜在的功能：其一，多角度审视有助于接近问题的深层结构；其二，一个问题沟通不同的知识，有助于形成优化的认知结构．但是，潜在的功能需要我们去发挥出作用，简单地并列多种解法有时反而会加重学生的负担(学生可能连一种方法都没掌握好)，惟有沟通不同解法的知识联系，我们才有更多机会洞察问题的深层结构，形成优化的认知结构．

(3)难点的确定与突破有努力、但还可努力．

应该说，当大家分析每一道题目的思路时，都是针对解题难点来讲解的，但是没有明确指出：该题到底一共有几个难点、分别在什么地方、各用什么方法来突破、方法的实质是什么、从中可以获得什么解题启示或教学启示？

另外，有的讲解缺少思路的揭示(只有结论的“无私奉献”)，一步一步很条理、很流畅，但主要是方法和技巧的完成，方向的思路分析和思想的本质提炼都有待展开．我想起继夸美纽斯之后的著名教学论专家第斯多惠(1790～1866)说过：“坏老师奉送真理，好老师教人发现真理．”(他还有一句名言：教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞)我希望，学生获得的不只是一些题目的答案，而是有数学运算和逻辑推理的素养熏陶．应该明白，基于数学核心素养的课程实施源于学科知识又超越学科知识，是学生在学习数学课程的过程中所形成的、对数学本质的深刻认识和深度把握，它能够引领学生将习得的数学知识和技能应用到日常生活中去，帮助学生用数学的眼光发现和提出问题、用数学的思维分析和解决问题、用数学的语言表达和交流问题．

比如2019年高考数学浙江卷压轴题：常规变量分离法有困难，需要先做必要性、后做充分性，学生想不到；必要性中x=1的选择，得出a取值范围又恰好充分，学生也想不到；充分性验证中变换主元、分类讨论、二阶求导、数形结合、以及复杂运算等都会构成思维复杂的困难(据知，该题得3.6分，难度系数3.6/15=0.24，估计得分主要来源在第一问)．

(4)其他值得探讨的情况．

比如：

●“如图”有“特指”(确定)与“泛指”(示意)两种含义(证明三角形内角和定理时画一个锐角三角形是“示意”、是“泛指”)．

●还要提起，“是”有三种含义：等于(如等边△ABC的边长都是5)、属于(如△ABC是等边三角形)、包含于(如等边三角形是锐角三角形)，所以，它被广泛用于各种场合是可以理解的，但依然存在用哪个词更为恰当的问题，比如“边长是5”就不如“边长为5”或“边长等于5”自然．(听过一节小学“百分数”的课，课堂上争论“百分数是分数吗？”，一个说是，“百分数就是分母为100的分数”；一个说不是，“是分数但不是百分数”；分歧在“是”的多种含义)

●关于取值范围：应该既充分又必要，防止以必要代替充要．

●关于试题的高等数学背景：首先应该认识到，这是高校教师命制高考题的一个基本途径，中学老师要洞察、要研究；同时要看到，虽然题目有高等数学背景，但解法一定是初等的，高考辅导的重点不是补充高等数学(讲中值定理、讲洛必达法则、讲不动点、讲牛顿切线法、讲级数展开、讲递推数列，……高等数学讲得完吗？)，而是结合高等数学背景从教材中找生长点；当然，学有余力的优秀学生可以超前学习高等数学，但在考试中要慎重直接用“课本外的定理”，讲不清定理的条件和思路会面临扣分危险，我更赞成用证定理方法来解题．

●关于图形解法：当然，数形结合是一种解题途径，教材也常常用图形来说明数学对象的性质，但是，图形主要是合理性的说明，和证明思路的启发，一般情况下不能代替严格的逻辑证明．有的题目，本意正是图形直观的严格证明，你画个图反成了逻辑循环了.

还要指出，“数形结合”应该是双流向的信息沟通，单一的“由数到形”或单一的“由形到数”都是对“数形结合”的天真误解．我们说，几何方法能使我们摆脱“时间顺序”、“逻辑顺序”等的束缚，对图形的性质进行一览无遗的直观呈现，具有形象性、整体性、共时性的特征，但有时会产生直观错觉或难以接近深层结构；而代数方法具有一般性、逻辑性和程序化的优势，可以弥补粗糙直观的局限，进行深刻的实质揭示，当然，也有抽象——不直观，深入——不全貌等局限，应该是把代数方法与几何方法中的优势都集中起来，形成“数形结合”的双流向信息沟通．

●关于解析几何学科思想：首先创建坐标系，用平面上的一点到两坐标轴的坐标来确定点的位置,构成“点”与“有序实数对”的对应；接着用运动的观点,把曲线看成点的运动轨迹,建立起曲线与方程的对应．从而，几何问题不仅可以转变为代数形式,而且可以通过代数运算来发现几何性质,证明几何性质,这就改变了自古希腊以来代数与几何的千年分家,把“数”与“形”统一了起来,把几何曲线与代数方程结合了起来．这种对应关系的建立,不仅创立了解析几何学，而且标志着变数进入数学, 为函数概念和微积分的创立奠定了基础,使数学在思想方法上发生伟大的转折——由常量数学进入变量数学．

解析几何运用坐标法(也叫解析法)可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质．由此引出“解析几何”的核心概念：曲线与方程．

——要明确解析几何的基本方法：坐标法(或解析法)，体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系(学科方法)．

——要明确用代数的方法解决几何问题的基本思想，突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质(学科思想)．

——要掌握求曲线方程的基本步骤，能求给定几何特征的曲线方程，会用代数方法确定曲线之间的关系，强调解析几何解决问题的程序性和普适性(学科方法)．

学生的难点：

难点表现1：映射是曲线与方程概念中的主要思想，一部分同学没能从映射的观点来理解曲线与方程．或者说学生对曲线与方程的理解，还只是靠做题、靠感知、靠模仿、靠记忆，获得初步经验，没有从集合与对应的数学思想上去理解．

难点表现2：通过坐标系用代数方程去解决几何图形问题，是实现学科思想的主要方法．一部分同学没能从思想实现的角度来理解解析法．或者说学生对解析法的理解，还只是靠做题、靠感知、靠模仿、靠记忆，获得初步经验，没有从数形结合的数学思想上去理解，数形结合的思想没能很好树立起来．

难点表现3：还有部分同学将几何问题转化为代数方程后，再进行代数运算时总是得不出结论．事实上，几何问题转化为代数问题后，求解时可运用代数的全部方法，几何命题的证明就归结为一系列的代数运算，而这种运算有程序性和机械化的好处，这就是解析几何的优点．但它也可能会给我们带来复杂的运算，如何简化运算就是我们面临的难题．通过一些典型的练习题，加强数学思想方法的教学，从数学本质出发，通过：建立合适的坐标系、选取恰当的方程、代数方程知识的自觉应用，几何结构的深刻分析，使用曲线系，回到定义，利用对称，利用唯一性，设而不求，巧设参数、整体代换、引进向量等，可以简化计算过程．

2、高考数学压轴题的认识

高考数学压轴题是高考的创新重点和难点高潮，思维密度最大的内容，综合性、灵活性最强的设计，一定是放在压轴题上．压轴题的瓶颈突破是高考高分突破乃至满分实现的核心、关键和必由之路．

高考数学压轴题首先是数学题，同时也是数学试题和高考数学题．下面将在界定数学试题相关概念的基础上，探讨高考数学压轴题的特征。

2-1 数学试题与数学解题的概念

(1)数学试题．为了实现诊断、预测、甄别、选拔等特定目的，而系统化、标准化的数学问题组织形式，称为数学试题．如单元测验题、期末或升学考试题、各级各类数学竞赛题等．数学试题是数学题，数学试卷是数学试题的一种呈现方式，主要指印有试题的纸张．

(2)高考数学题．用于高等院校招收新生入学考试的数学试题称为高考数学题．详细说，高考数学题是高等学校为了诊断、预测、甄别考生数学思维水平而组织起来的一套具有选拔功能的数学问题．

(3)数学解题．解题就是寻找问题的答案，亦即寻找题目条件与题目结论之间的数学联系，它表现为沟通条件与结论的一系列演算或推理．如果说标准的数学题有条件、结论两个基本要素的话，那么数学解题就有条件、结论、解、解题依据共四个要素．

(4)高考数学解题．高考数学解题就是将课堂上获得的数学知识、数学方法和数学经验用于解决高等学校招生考试的数学试题．这是一个从记忆模仿到探索发现的过程，关键在探索发现，核心是通过演算或推理得出一个符合数学事实的结论．一个基本的建议是：化归为课堂上已经解决的问题(包括往年的高考题及其变形)．

(5)高考解题与平时解题的区别．虽然平时解题与高考解题的主体、内容和形式都有相同之处，但两者的物理环境和心理环境、解题性质与解题要求等都有不同：

①解题环境不同：平时解题是在宽松和开放的环境下进行的，主要体现知识与能力，而高考解题是在考场封闭、时间限定和竞争选拔的条件下进行的；虽然平时解题也存在心理因素，但与高考解题的心理压力不可同日而语，高考解题既是数学知识、数学能力的较量又是心理素质的较量．

②解题性质不同：课堂练习、课后作业、测验考试等都涉及平时解题，这是基础教育的一种认识活动，是对知识(概念、定理等)的学习或继续学习，是对方法的熟练或继续熟练，是在发生数学和掌握数学；而高考解题则是高等教育招生的一种评估活动，是通过解题水平来看数学思维水平、数学素养程度的考核，它以解题能力的高低为评估标准，以一次性笔试为基本方式．

③解题要求不同：作为认识活动的平时解题总是希望大家“全做全对”，而高考则要拉开考生距离、加总分录取，“全做全对”的人是极少数．

(6)高考解题的特殊性．一道数学题选作高考题后，就成了“诊断、预测、甄别、选拔”的一把尺子或一杆秤(量表)，已具有不同于平时作业题的诸多特性，如：

①能力的代表性：如上所说，高考解题具有评估性质而非学习本身，高考分数已成为“数学水平”的一个突出代表．

②分数的选拔性；平时，教师对学生数学水平的评价除了课后作业、测验考试等解题方式外，还可以有课堂提问、小组交流、师生互动等多个渠道全面了解，但高考做不到．高考用一套试卷的分数代表一个人的能力水平会有局限性，分数的公平性也可能会损害人才的创造性，问题是目前还没有更好的替代办法，高考不是最坏的选择．既然是考试，就得由成绩来说话，分数成了选拔的一个刚性依据．

③时间的限定性；高考一般是120分钟对应150分，解题有速度要求，需要迅速解决“从何处下手、向何方前进”这两个基本问题．

④评分的阶段性．为了拉开考生距离，高考阅卷实行分段评分，既分段给分、又分段扣分，会做的题目存在“潜在丢分”或“隐性失分”，而不会做的题目又可以得分不少．

(7)高考数学压轴题．

“压轴”一词来源于戏剧，指一场折子戏演出的倒数第二个剧目，因为最末一个剧目称为大轴，而倒数第二个剧目紧压大轴，故得名压轴戏．但“压轴”这个词移植到试题时，无论是内容(把关)还是位置(最后)都稍有变化，高考压轴题有两种观点，一种观点认为，压轴题是指位置在高考试卷末尾的最后一二道解答题(选做题除外)，这些题目分值高、难度大、知识面广，具有综合性、探究性和灵活性．另一种观点认为，高考试卷有“两个从易到难、三个小高潮”，压轴题是位于各类题型高潮的把关题，即还包括选择、填空的最后难题，因而，一套高考试卷会有三四道压轴题．

高考命题曾经有过易、中、难比例3:5:2的提法，后来，各省命题时难易掌握有差异，出现4:4:2等情况，但中低档题占80%、难题占20%还是比较一致并延续至今的，这里，占20%的难题其实就是三类压轴题型的总和．为了更好应对高考难题，笔者对压轴题的探讨宁愿包括三类题型(本次会议也包括三类题型)，把高考数学压轴题理解为：高考试卷中位于试卷或题型末尾的把关题．

2-2 高考数学压轴题的基本特征

高考数学压轴题有五个特征．

(1)位置特征：位于高考试卷或题型的末尾．

(2)难度特征：难度系数不超过0.4．其中最后一道压轴解答题的难度系数多在0.2与0.3附近，当然，也会出现0.2以下的低效题，有时是因为前面的题目较难，增大了压轴题的位置难度；有时是因为压轴题本身的绝对难度较大，超越多数考生的认知负荷．压轴题难度过大、考生普遍不得分，就形同虚设了．

(3)功能特征：压轴题具有拉开考生距离的设计意图和基本功能．而拉开考生的距离的具体操作是：突出创新能力的考查，主要是体现探索性、开放性、综合性、应用性、原创性．

(4)创新特征：本文中的压轴题包括选择题、填空题和解答题，重点是解答题，为了落实高考压轴题考查创新能力的意图，这三类题型要设计创新试题．数学创新试题是指在试题背景、试题形式、试题内容、解答方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学试题，其目的既诊断考生的数学创新意识、又提供培养创新能力的教学导向．主要形式有五类：

①开放探索题：高考中的开放探索题是指条件完备，但结论不确定、需要探索的数学问题．有时候结论是开放的，常常叙述为“是否存在？”“请说明理由”，需要考生自己去探索出结论并加以证明．把开放性与探索性结合起来是这类题目的显著特点．

②信息迁移题：高考中的信息迁移题是在题目中即时提供一个新的数学情景(信息)：让考生学习后立即解答相关问题(迁移)．情况有点像英语中的“阅读理解”，或语文高考中的“材料作文”．这里所说的陌生“数学情景”，通常指：定义一个名词概念、或规定一种规则运算、或给出一个数学模型等．

③情景应用题：这是一类有现实背景、重视应用、追求创新的题目．要求考生通过文字语言、符号语言、图形语言等的转换，揭示题目的本质属性，构建解决问题的数学模型．函数、方程、数列、不等式、概率统计等主体内容是高考应用题建模的主要载体．

数学高考中的“情景应用题”是传统“应用题”发展的一个新鲜形式和高级阶段．它的外表形式是有一定的情景材料(阅读理解)，内在特征是要进行数学建模，核心是考查应用与创新能力．

这类题目背景公平，体现综合性与应用性，能有效考查学生真实的数学素养．由于高考的选拔性质，即时提供的新信息常常有一定的高等数学背景，但不是考高等数学知识．即时接收信息、并立即加以迁移是两个相关的要点．

④过程操作题：这是一类通过具体操作过程，从中获得有关数学结论的题目，可以用来考查三维目标中的“过程与方法”．由于高考条件的限制，“经历过程”无法“动手实践”，只能是一些“语言描述的操作过程”，但有的描述和操作会有现实情境、而不完全是数学内部的过程与操作．

⑤归纳(类比)猜想题：这是在观察相关数学情境的基础上，通过归纳或类比作出数学猜想的一类题目．可以体现探索性、开放性和综合性等特征．本来，由归纳或类比作出的猜想可能对也可能错，但考试总是要求考生写出正确的猜想(考生中“有一定道理”的猜想可能会被判错)，这是否恰当值得探讨．应该说，这是一类探索中的题型．

(5)内容特征：统计表明，选择、填空压轴题的内容比较灵活分散，而压轴解答题的重点内容可以归结为四类：函数与导数应用型;解析几何(+平面向量)型;数列(+恒等式或不等式)型;其他型(概率)．

①函数与导数应用型．涉及5个方面的内容：导数的几何意义；单调性；极值或最值；不等式恒成立；导数法证明不等式．

②解析几何(+平面向量)型．涉及6个方面的内容：基本量和轨迹方程；直线与圆锥曲线的位置关系(弦长)；定值、定点、定直线；讨论参数的取值范围；最值；与平面向量交汇．

③数列(+恒等式或不等式)型．涉及6个方面的内容：等差数列与等比数列；通项；求和；递推数列；由函数生成数列；数列恒等式(或数列不等式)与数学归纳法．

④其他型．前几年全国卷主要采用前两类，未把数列作为压轴解答题，自主命题卷不仅会把数列作压轴解答题，还会把概率、集合、空间图形等内容作压轴解答题．2019年全国卷也有概率压轴题．

(6)背景特征：数学高考压轴题命题的六大背景：课本背景，高等背景，生活背景，名题背景，竞赛背景，往年背景．

3、把握高考数学改革的方向与动向

将从核心素养到命题原则、再到命题动向逐层展开.

3-1 从立德树人到数学核心素养

(1)2012年11月，党的十八大报告指出：“把立德树人作为教育的根本任务，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人．” 2017年10月党的十九大报告再次强调，“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务”．

可见，“立德树人”体现了国家的顶层设计．笔者理解，“德”是指以社会主义核心价值观为引领，自然包括中华民族优秀传统美德、社会主义道德等；“立德树人”是指教育事业不仅要注重传授知识、培养能力，还要把社会主义核心价值体系融入国民教育体系之中，引导学生树立正确的世界观、人生观、价值观、荣辱观．

(2)2014年3月，教育部发布《关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》，要求“把核心素养落实到学科教学中，促进学生全面而有个性的发展．”自此以后，核心素养就成为教育改革中的一个热门话题．但从国家层面的“立德树人”设计到课堂层面的“核心素养”落实之间，有一个如何操作的现实问题．

(3)2016年9月，教育部正式发布《中国学生发展核心素养》研究成果(经过3年的研究)，明确了核心素养的含义和内容(包括一个核心、三大领域、六种素养和十八个要点等，参见图5)，从中观层面回答了“立什么德、树什么人”的根本问题．

中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为六大素养、具体细化为18个基本要点，每一要点都有主要表现的描述．

①人文底蕴：人文积淀、人文情怀、审美情趣；

②科学精神：理性思维、批判质疑、勇于探究；

③学会学习：乐学善学、勤于反思、信息意识；

④健康生活：珍爱生命、健全人格、自我管理；

⑤责任担当：社会责任、国家认同、国际理解；

⑥实践创新：劳动意识、问题解决、技术运用．

《中国学生发展核心素养》成果是对社会主义核心价值观和党的教育方针中所确定的教育培养目标的具体化和细化，是连接宏观教育理念、培养目标与具体教育教学实践的中间环节．社会主义核心价值观和党的教育方针可以通过核心素养这一桥梁，转化为教育教学可运用的、教育工作者易于理解的具体要求，进而贯彻到各个学段，体现到各个学科，最终落实到学生身上．

接着是，各学科根据“中国学生发展核心素养”的中观设计，研究“学科核心素养”，修订“课程标准”，进行微观落实．

(4)2018年1月，《普通高中数学课程标准(2017年版)》正式发布，界定了数学核心素养的含义，提出了六个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，并阐述了每个数学核心素养的内涵、价值、表现和目标．

数学核心素养是人才培养所应达到的质量标准在数学学科层面的表达，它是数学学科本质的提取和凝练，旨在使学生通过数学知识、数学方法的学习，数学思想、数学价值的领悟，以及态度、情感的熏陶，形成正确价值观念、必备品格和关键能力．数学核心素养是“数学思想”中的DNA，是教育目的与学习结果的重要中介，是核心素养(从而是立德树人)进入数学课堂的一个实施通道．

(5)再下来是，根据《课标(2017)》修订高中数学教材，为“教”与“学”活动提供学习主题、基本线索和具体内容，为实现数学课程目标提供发展学生数学核心素养的教学资源，并通过课堂教学和评价体系等方式落实为学生核心素养的发展．

由这个简要的回顾可以看到，从立德树人的顶层设计到核心素养的过渡桥梁、再到学科核心素养的底层落实，有一个由上到下、由宏观到微观、由共性到个性，由理论到实践的清晰线路，现在已经到了接近终点的冲线时刻——由一线教师落实到课堂和学生．

3-2 高考数学的命题原则

《课标(2017)》对高中毕业的数学学业水平考试、数学高考的命题提出以下建议．

(1)命题原则．

①命题应依据学业质量标准和课程内容，注重对学生数学学科核心素养的考查．处理好数学学科核心素养与知识技能的关系．要充分考虑对教学的积极引导作用．在传统评分的基础上，可以根据解题情况对学生的数学学科核心素养水平的达成进行评价．

②考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧；融入数学文化．

③命题时，应有一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探究性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识，问题情境的设计应自然、合理．开放性问题和探究性问题的评分应遵循满意原则和加分原则，达到测试的基本要求视为满意，有所拓展或创新可以根据实际情况加分．在命制应用问题、开放性问题和探究性问题时，要注意公平性和阅卷的可操作性．(史宁中教授举了个小学的例子：这个例子是设立在北京师范大学的国家基础教育质量检测中心针对小学四年级设计的开放题，题目是：有一条道路连接了两个居民小区，现在要在路边为小区居民修建一个超市，你认为应当修建在哪里，并说明理由．有的学生回答说：超市应该修建在路的中间，因为大家距离一样远．这样的回答有道理，结论与道理一致，可以给满分，这就是满意原则．而有的学生回答说：应当事先调查小区居民的多少，按照居民人数的比例进行设计．这样的思考深刻，可以加2分．还有的学生回答：应当事先调查小区常去超市的人数比例，按这个比例进行设计．这样的回答更为深刻，再加2分．可以看到，开放题的答案是不确定的，因此不可能有标准答案，答案正确与否需要根据学生的解答进行判断，判断的基本准则就是学生的思维过程与得到的结论是否一致．这个一致性就体现了思维过程的传递性，传递性是逻辑推理的基本要求．当然，这样的试题也给教师的评卷增加了一定的难度，但是为了培养学生的思维能力，为了发展学生的核心素养，应当设计这样的开放题．为了更好地说明什么是开放题，什么是满意原则，正在修订的普通高中数学课程标准的附录中给出了一定数量的例题，供教材编写、教师教学、命题设计参考．最后需要特别强调的是，这样的试题应当有，但不能多，一张试卷最多设计一道这样的开放题．)

④在高中毕业的数学学业水平考试与数学高考的考试命题中，要关注试卷的整体性．处理好考试时间和题量的关系，合理设置题量，给学生充足的思考时间，逐步减少选择题,填空题的量，适度增加试题的思维量；关注内容与难度的分布、数学学科核心素养的比重与水平的分布、努力提高试卷的信度、效度和公平性．

⑤除了上述要求外，数学高考命题还应依据人才选拔要求，发挥数学高考的选拔功能．

(2)考试命题路径．

基于数学学科核心素养的考试命题，应注意以下几个重要环节．

①构建数学学科核心素养的评价框架．依据数学学科核心素养的内涵、价值和行为表现的描述，参照学业质量的三个水平，构建基于数学学科核心素养测试的评价框架．评价框架包括三个维度：

第一个维度是反映数学学科核心素养的四个方面，它们分别为情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思；

第二个维度是四条内容主线，它们分别为函数、几何与代数、概率与統计、数学活动与数学探究活动；

第三个维度是数学学科核心素养的三个水平．

②依据评价框架，统筹考虑上述三个维度．编制基于数学学科核心素养的试题，每道试题都有针对性的考查重点．

③对于每道试题，除了给出传统评分标准外，还需要给出反映相关数学学科核心素养的水平划分依据．

(3)说明

在命题中，选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体．情境包括：现实情境、数学情境、科学情境，每种情境可以分为熟悉的、关联的、综合的；数学问题是指在情境中提出的问题，从学生认识的角度分为：简单问题、较复杂问题、复杂问题．这些层次是构成数学学科核心素养水平划分的基础，也是数学学科核心素养评价等级划分的基础．

对于知识与技能，要关注能够承载相应数学学科核心素养的知识、技能，层次可以分为了解、理解、掌握、运用以及经历、体验、探索．在命题中，需要突出内容主线和反映数学本质的核心概念、主要结论、通性通法、数学应用和实际应用．

在命题中，应特别关注数学学习过程中思维品质的形成，关注学生会学数学的能力．

3-3 高考数学改革的动向

(1)高考改革过程.

1977年恢复高考，头几年重在“考知识”，曾有“高分低能”的议论；1984年“出活题、考能力”，学生成绩低、教师有看法；1985年开始“出活题、考基础、考能力”，逐渐趋于平稳．但高考命题“稳中求变、稳中求新、稳中求进”从未停步，单项选择题(1985)、开放探索题(1993)、应用题(1993)、信息迁移题(1994)、开放题(1998)等题型纷纷出现；1996年提出“数学思想方法”的考查；1999年提出“能力立意”；2007年开始新课程高考命题；近年又提出“分类考试、综合评价、多元录取”的基本模式；最近又提出考数学文化和核心素养，有“一体四层四翼”高考评价体系的提法，从“能力立意”转变为“核心素养立意”．

(2)高考评价体系“一体四层四翼”的解释.

①一体：体现“立德树人、服务选拔、导向教学”的高考评价体系．其根本目标是立德树人，基本目的是两个有利.

②“四层”：“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查目标．

第一层：必备知识．指学生学习中的基础性、通用性知识，是学生今后进入大学学习以及终身学习所必须掌握的(高中数学约有二百个知识点)．

第二层：关键能力．突出体现数学学科特点的7个能力：空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据处理能力，应用意识，创新意识．

第三层：学科素养．新颁布的《课标(2017)》指出：学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力．数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的綜合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的．数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体．

第四层：核心价值．要求学生在知识积累、能力提升和素质养成的过程中，逐步形成正确的核心价值观．体现高考所承载的“坚持立德树人，加强社会主义核心价值体系教育”和“增强学生社会责任感”的育人功能与政治使命．

③四翼：指高考考查的四个方面:基础性、综合性、应用性、创新性．

基础性．要求学生要具备适应大学学习或社会发展的基础知识、基本能力和基本素养，包括全面合理的知识结构、扎实灵活的能力要求和健康健全的人格素养．

综合性．要求学生能够综合运用不同学科知识、思想方法，多角度观察、思考，发现、分析和解决问题．目前主要是知识单元内部的综合，单元之间的综合也有，学科之间的综合较少．

应用性．要求学生善于观察现象、主动灵活地应用所学知识分析和解决实际问题，学以致用，理论联系实际能力．

创新性．要求学生具有独立思考能力，具备批判性和创新性思维．

(3)近年高考数学卷值得关注的动向.

动向1：近年高考，肩负着构建高考评价体系“一体四层四翼”的重任．

动向2：近年高考体现出四个注重.

一是弘扬社会主义核心价值观，试题渗透中国古代数学文化，强调中国古代数学文化的传统特色．

二是加强逻辑内容的考查．

三是加强应用能力的考查．

四是加强对数学本质的考查．

(4)数学核心素养怎么考.

①通过由具体的实例概括一般性结论，看学生能否在综合的情境中学会抽象出数学问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养．

②通过提出问题和论证命题的过程，看学生能否选择合适的论证方法和途径予以证明，并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程，以此考查逻辑推理素养．

③通过实际应用问题的处理，看学生是否能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，以此考查数学建模素养．

④通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，看学生能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养．

⑤通过各类数学问题特别是综合性问题的处理，看学生能否做到明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果，以此考查数学运算素养．

⑥通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看学生能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，以此考查数据分析素养．

4、最后，谈谈“讲题”建议

随着会议的成功举办，关于“讲题”的理论思考应该提到议事日程上来，我提议：

(1)明确讲题讲什么，讲题怎么讲，讲题对谁讲．

为了发挥“讲题”的引领作用，提高“讲题”的学术水平，讲题的内容应该明确．我个人认为，可否按照数学解题的基本过程提出讲题意、讲思路、讲解法、讲反思，以及讲解题感悟、讲命题背景、讲内容推广等等．前者(题意、思路、解法、反思)可以重在学生，后者(感悟、背景、推广等)可以重在教师．

(2)明确讲题的目标重在“解题研究”还是“解题教学”．

前者偏重于“教育数学”，后者偏重于“数学教育”；也可以两者兼而有之．一般说来，“解题研究无禁区，解题教学有范围”，对于教师来说，繁简解法、对错解法、优劣解法以及超不超纲的解法等，都应该兼收并蓄；至于将哪一个解法用于课堂，则取决于教学要求和学生实际，有时候首推的不是“巧思妙解”，而是通性通法．

(3)明确讲题的对象重在“教师”还是重在“学生”．

前者偏重于“教”，后者偏重于“学”；也可以两者兼而有之．

(4)明确讲题的时间、切磋的要求等技术细节．

不要“先讲的时间占用长、后讲的占用时间短”“胆大的占用时间长、胆小的占用时间短”，应该时间大体相等(公平)．比如每个队都控制在“一节课或一小时”内；交流也应该有一个时间界限，定出比例．我更希望有答辩和交锋，并且比现在激烈一点．

几句口号：

●|x|0)等价于-a

●|x|>a(a>0)等价于x>a或x<-a：一个勇于突破封闭的人，既能超过强者，又能谦让弱者.

●数学上负数比零更小，解题中没有想法比想错了更糟(解题就是在正确的方向上不断的犯错误).

●数学上实数和虚数都是真实的数，奋斗中成功与失败都是生命的歌．

●我只能为祖国的数学教育而自豪了，愿祖国为你们的数学教育而自豪．

谢谢大家！

【注】转自：奇趣数学苑。

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