圆锥曲线中简化计算量技巧---点乘双根法

最近有学生问到点乘双根法，也借此机会把圆锥曲线中简化计算量的技巧做一个总结。

点乘双根满足两个限定条件，第一是乘积的形式，第二是对称型的与两根有关的形式，方法的理论来源其实就是二次函数的两种不同的表示方法，用点乘双根法有时候可以简化一些相对复杂的计算量。

二次函数可以表示成y=ax+bx+c的形式，若函数有两个零点也可以表示成y=a(x-x1)(x-x2)的形式,由于在圆锥曲线计算中常把根写在前面，所以两点式也能写成y=a(x1-x)(x2-x)的形式，联立两函数可得a(x1-x)(x2-x)=ax+bx+c，若对等式中的x进行赋值，我们就可以很容易的得到关于(x1-k)(x2-k)的表示形式，而这种表示形式正是在圆锥曲线中经常遇到的对称型与两根有关的乘积形式。

举个例子，若要表示出(x1-2)(x2-2)的形式，常规步骤是化简成x1x2-2(x1+x2)+4，然后用韦达定理带入两次，如果用点乘双根法，可令方程a(x1-x)(x2-x)=ax+bx+c中的x=2，即可得到所需等式(x1-2)(x2-2)=(4a+2b+c)/a，若x1,x2前面有系数可把系数提前，做法依旧相同，只不过最后再乘系数即可，由此可见，点乘双根法可以某种程度上简化计算量，但也有局限性，多形式不对称，就没办法用了，关于这种方法以下面的例题作展示：

这种方法很好理解，也很好用，多余的例子不用多举，下面把圆锥曲线中可以简化计算量的技巧做一个总结：

圆锥曲线大题不是难题，如果能找到题目中所需的表达式，剩余的就是计算了，因此简化圆锥曲线计算量有两个途径，第一是解题方法上，第二是计算方法上。

在解题方法上建议可使用设而不求整体代换法，这种方法以后会专门整理出一个专题，另外曲线系方法不只是适用于圆中，在椭圆中依旧适用，而且在处理某些题目时会更简单，之前整理过一期关于二次曲线系的解题方法示范，链接为：二次曲线系解题示范

另外还有椭圆化圆法等超出考纲范围之内的做法，链接为：【高中数学的“术”与“道”】之不常用的椭圆化圆法解题原理，这种做法了解即可，不建议使用，在处理与斜率有关的定值时也可以采用齐次化思想，这是必须要掌握的解题方法，链接为：思维训练21.圆锥曲线中与斜率有关的齐次化思想

在计算上除了掌握常用的二级结论之外，建议掌握更加简单的无需联立求判别式和弦长的方法，链接为：思维训练17.圆锥曲线相对简化计算中常用的计算结论，加上本次内容的点乘双根法。

以上种种方法都需要经过多次重复训练才可以运用自如，现在高考中已经降低了圆锥曲线的难度，所以圆锥曲线对于各个成绩段的学生来说都是可争取的题目，不要轻易放弃。

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天气热了，高三学生有些会心里比较浮躁，再坚持两个月吧。