凭啥说水星进动的广义相对论计算就能证明爱因斯坦对了？

精确的天文观测表明，行星轨道不是封闭的，它的近日点会发生进动，其中以水星进动的效应最明显。即使是对水星，这个效应从绝对值来说也是很微弱的，观测表明，每一百年，5600.73±0.41″。然而天体力学家根据牛顿引力理论计算，扣除岁差和行星摄动等因素影响后，还有约每百年43″的进动得不到解释，这已经在观测精度不容忽视的范围了。

图一、水星进动示意图

有人认为，这是在水星轨道内，可能还存在着一颗未知的行星（火神星），然而，经过多年搜索并没有找到。这是爱因斯坦发表广义相对论之前就知道的事实。

本文将分别复盘，牛顿理论、狭义相对论、广义相对论下，不同理论计算水星进动的过程，来说明为什么说水星进动的精确计算可以证明广义相对论的正确性。

一、牛顿力学中的行星轨道

学过理论力学的小伙伴可能还会对在万有引力作用下，行星的运动方程有印象，其第一积分如图二所示

图二、行星运动方程第一积分’

根据能量E守恒和动量L守恒，我们可以消去图二两个式子中的t，得到轨道方程，如图三

图三

两边对φ微商，得到式子，如图四

图四

其中u=GM/r，可以把图四中的式子化成式子，如图五

图五

图五中方程的解就是描写行星运动轨道的曲线，我们可以求出其解为图六中的两个公式

图六

行星轨道的牛顿力学计算分析总结

很显然，从图六中的行星轨道方程我们可以看出，这是一个闭合的椭圆，e为偏心率。所以，按照牛顿理论，行星运动的轨道是闭合椭圆。牛顿力学的行星轨道计算过程没有考虑天体自转的影响。即太阳对行星的引力大小只与太阳和行星的质量有关，而与它们的自转快慢无关。

二、狭义相对论的修正

现在我们把狭义相对论与万有引力定律相结合，同时考虑引力质量和惯性质量相等，可以得到新的轨道方程，见图七中的方程式。

图七

其中，u=GM/r，L为轨道角动量。从图七中公式所得到的轨道不再是封闭的椭圆；在近日点有进动，但是其理论计算值仅仅为观测值43”的16.7%，且符号相反。可见，由狭义相对论的修正并不成功。

三、广义相对论中的行星轨道

3.1、史瓦西时空中的运动方程

为了计算水星近日点的进动，我们首先来讨论一下史瓦西时空中的运动方程与守恒量。

3.1.1、零短程线的变分原理

变分原理见图八中式子a，从中我们可以得到黎曼时空中静质量不为零的质点运动方程见图八中式子b，即黎曼时空中的短程线方程，其中λ是标量。

图八

由于线元ds与固有时间dτ的关系：ds=idτ，图八中的式子可以变化成图九中的两个式子

图九

我们可以从图九式子a中写出短程线的拉格朗日方程，为图十中的式子a，其中拉氏量为图十中式子b，广义速度为图十中式子c。

图十

现在我们用一个新的拉氏量（如图十一式子a）将图九中式子a修改为图十一中式子b，图九和图十中两个拉氏量都是建立在四速缩并的基础上。

图十一

我们将新拉氏量（图十一中式子b）带入到拉格朗日短程线方程（图十式子a）中可以得到图十一中的式子c，改式子对于质点和光子均有效，也就是说，图十一中的式子c即可以描写质点运动的类时测地线，也可以描写光子运动的零测地线。我们只要把史瓦西度规带入这个式子中，就可以得到史瓦西时空中质点和光子的运动方程。

3.1.2、能量守恒和角动量守恒

在图十一式子c所表示的运动方程是二阶常微分方程组，所以在史瓦西时空中直接求解很麻烦，但我们可以利用光子来计算，即ds=idτ=0，L=0。对于质点，选λ=τ时L=1/2。我们可以定义η=0（光子）、η=1（质点），则拉氏量L=η/2。

史瓦西度规是静态球对称的，度规不随时间t和角度φ变化。我们可以把史瓦西度规带入到图十一式子a中，可以得到L/t=0，L/φ=0。所以我们可以得到能量守恒（图十二中式子a）和角动量守恒（图十二中式子b）

图十二

由于拉氏量（图十一中的式子b）不含引力相互作用，所以这里描述的质点一定沿着测地线运动。因此能量和角动量是史瓦西时空中沿测地线运动的单位质量质点的两个守恒量。但能量和角动量并不是在弯曲的史瓦西时空中静止的观测者直接测得的量，而是在无穷远处才是静止观测者测得的量。

3.1.3、四速归一化条件

史瓦西时空中的四速归一化条件为图十三

图十三

当粒子为质点时，我们取λ为τ，η=1，当粒子为光子时，仿射参量λ不能取τ，η=0。我们可以把四速归一化条件带入能量守恒和质量守恒公式，整理后得到图十四中三个式子，这三个方程式是接下来讨论水星轨道近日点进动的基础。

图十四

3.2、广义相对论中的行星轨道

我们现在用图十四中的三个式子来讨论行星近日点的进动，对于行星图十四中的公式可以写成图十五中三个式子的形式。

图十五

当τ为固有时，可以消去图十五中b、c两式子中的dτ，可以求出轨道方程，见图十六

图十六

这里采用自然单位制，两边对φ微商，得到（图十七）

图十七

将u=GM/r代入图十七的式子中，可以化成式子（图十八），即广义相对论的行星轨道方程

图 十八

对比广义相对论行星轨道方程（图十八）与牛顿力学行星轨道方程（图五），可以看出只是多了一项3u^2。这一项正是广义相对论效应的体现，也可以说是牛顿理论的广义相对论修正项。

我们代入太阳质量和水星轨道的平均半径，GM=1.5×10^3m，r=5×10^10m，可以计算出u=GM/r≈10^-7

由牛顿力学行星运动轨道曲线方程（图六）可以知道(GM/L)^2与u数量级相同，故此，方程修正项的数量级为3u^2的数量级为10^-14

太阳系中，水星的修正项最大。我们看到，广义相对论的修正项的数量级如此小，所以我们可以把牛顿方程的解看做广义方程解的零级近似。

这里我们略去水星轨道方程的推导步骤，直接给出广义相对论的水星轨道方程，见图十九

图十九

从广义相对论水星轨道方程可知，行星轨道上的任一点在转动φ=2π之后，都回不到相应的“原位置”上，而必须再转过一个小角度。这是因为u的周期T不是2π，而是下式（图二十）

图二十

即，在水星的周日运动中，轨道上任何一点要转过φn=nT才能回到相应的“原位置”，这就是水星的进动。从观测的角度来说，只有水星的近日点和远日点这两个特殊点才便于观测，尤其是近日点要更方便；所以天文学家在研究水星轨道进动时，只讨论它的近日点进动。

我们从φn=nT，即（图二十一）

图二十一

可以得出水星近日点的进动为，图二十二

图二十二

恢复到通常的单位制，上式（图二十二）为下式（图二十三）

图二十三

对于水星，Δφ=0.1″，这意味着，水星周日运动一周 ，轨道近日点进动0.1”，经过百年有约等于43″，这与天文观测中得到的测量值与牛顿理论的差值43.11±0.45″相符合 。后来观测到的地球、金星等行星近日点的进动值也与广义相对论的计算值吻合得相当好。

行星轨道的广义相对论计算分析总结

从前面的计算过程可以看出，在广义相对论里，引力不仅与物体的质量因子有关，而且也与物体的自转快慢有关。两个没有自转的物体之间的引力与它们自转起来之后的引力是不同的。这一效应会引起自转轴的进动，行星在运动过程中，它的自转轴会慢慢变化。对于太阳系的行星来说这个效应太小了，不易被察觉，更何况还有其他的因素也会造成行星自转轴的变化。

图二十四、时空弯曲示意图

结束语

本文从牛顿力学、狭义相对论和广义相对论三个理论分别计算了水星进动的理论值，对比计算结果表明，广义相对论的理论计算结果最接近天文观测的实际值，并且在误差允许范围之内。这充分证明了，水星进动足以证明广义相对论的正确性，同时也说明了牛顿力学是广义相对论的一阶近似。