考研数学必考重难点：二重积分计算考点整理

二重积分作为每年考研数学必考的重点，则是是数一、数二、数三均要考的内容，而二重积分的性质是我们在考研过程中务必要牢牢掌握的基本知识。二重积分的性质是考研中常考的内容，它的出题形式多样化，既有独立的题目，也有融入计算的题目，题目中既有书本中所列出的二重积分的性质的考察，也有书本中没有列出的二重积分轮换对称性的等知识点的考察。

对于二重积分的相关性质和结论是我们务必要熟练掌握的知识，这方面出题大都以选择或者解答题的形式出现，多为中等难度题型。今天老师就着重说下二重积分。

二重积分性质

首先，我们看二重积分的不等式性质。此性质在05年数三的真题中就出现过，当时是以选择题的形式出现的。对于积分区域相同的二重积分，它们的大小就完全由在区域上被积函数的大小来决定，函数越大，积分值就越大。

二重积分的对称性质，可分为普通对称和轮换对称。

关于普通对称：当积分区域D关于x对称，我们往往要考虑其被积函数是否为y的奇偶函数，当积分区域D关于y轴对称时，我们往往也要考虑其被积函数是否为x的奇偶函数，这样来简化二重积分的计算，当积分区域D关于原点对称，我们往往要考虑其被积函数是否是为x，y的奇偶函数。有些题目中可能积分区域对称性不是那么明显，需要我们稍微分割下来看其是否关于坐标轴对称。这种题目在09年数一，12年数二等都出现过。

关于轮换对称：对于二重积分的轮换对称时教科书上没有的知识点，但是考研中也是有此类题出现的，比如，05年的数二，就出现过用轮换对称来做的选择题。当积分区域D关于y=x对称时或者当x,y互换后，积分区域D不变时我们往往就要往轮换对称上考虑了。对于这种利用轮换对称性质来简化运算的，我们一定要掌握住，特别是数一的同学，因为在后面的三重积分、曲面积分和曲线积分中也都有坐标轮换对称性质。

另外，我们在学习二重积分的性质时，应将定积分与二重积分的概念、性质加以对比学习，比较它们的相同点与不同点，使复习更有成效。对于二重积分这一部分的内容，我们不但要会计算它，关于二重积分的有关性质我们也要很熟练的掌握。这样我们在做有关二重积分时，包括计算二重积分时，也是常常要先化简后再计算的。对于这些性质，同学们可以对做一些题目来记忆巩固。

定积分中还有定积分的几何意义，而二重积分中也有，可以参照定积分的几何意义来理解。而二重积分的比较性质，可加性质,包括被积函数的可加性和积分区域的可加性，这些性质与定积分中的可加性相仿，也可以对比学习理解。

二重积分解题思路

计算二重积分的基本思路是将其化作累次积分(也即两次定积分)，要把二重积分化为累次积分，有两个主要的方式：一是直接使用直角坐标，二是使用极坐标。这是我们计算二重积分的两个主要的武器。

首先，对直角坐标来说，主要考点有两个：

一是积分次序的选择，基本原则有两个：一是看区域，选择的积分次序一定要便于定限，说得更具体一点，也就是要尽量避免分类讨论;二是看函数，要尽量使第一步的积分简单，选择积分次序的最终目的肯定是希望是积分尽可能地好算一些，实践表明，大多数时候，只要让二重积分第一步的积分尽可能简单，那整个积分过程也会比较简洁，所以我们在拿到一个二重积分之后，可以根据它的被积函数考虑一下第一步把哪个变量看成常数更有利于计算，从而确定积分次序。

二是定限，完成定限之后，二重积分就被化为了两次定积分，就可以直接计算了。

以上是我们计算二重积分的主体思路，在此基础之上，我们还可以利用对称性，它在二重积分的计算中虽然属于辅助性的技能，但如果恰当使用的话，还是可以明显地简化计算。

考研数学

二重积分中的对称性分为两种： 一是奇偶性，二是轮换对称性 。一般来说，对称性应该使用在拿到一个二重积分之后的第一步，只要积分区域关于某坐标轴是对称的，就要先检验被积函数是否具有相应的对称性，尤其要注意有没有奇函数，以尽可能地简化计算。
◆◆ 二重积分的计算问题 ◆◆

习题

◆◆ 答案解析 ◆◆

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答案解析

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