欧拉神著《无穷小分析引论》，让数学开始摆脱了几何统治

在数学史上，代数是数学非常重要的分支，而代数能够发展成为一门独立的学科，离不开这几个人，他们分别是古希腊的丢番图，古阿拉伯时期的花拉子米，以及法国的韦达。

丢番图我们都非常熟悉，他是第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。 希腊数学自毕达哥拉斯学派后,研究的主流在于几何论证,甚至一切代数问题都被纳入了几何的模式之中。直到丢番图,才把代数真正从几何的羁绊中解放出来，但是他并没有给代数一个明确的称谓。

直到花拉子米，他曾经写了一本著作《移项和集项的科学》，但通常习惯译作《积分和方程计算法》。这本书转成欧文，书名逐渐简化后，就被直接译成了《代数学》，代数学(Algebra)一词即由此书而来。这本书另外一个非常重要的贡献就是把阿拉伯数字传入了欧洲。

这本书书阐述了解一次和二次方程的基本方法及二次方根的计算公式。明确提出了代数、已知数、未知数、根、移项、集项、无理数等一系列概念，提供了代数计算方法，把代数学发展成为一门独立学科。

但是花拉子米是有些对代数方法不自信的，在解二次方程时，他曾尝试过用“配方法”求证，但是不太自信，所以他特意从几何的角度给予了“严格证明”。

而韦达的《分析方法入门》是最早的符号代数专著，他尝试引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后来用过N）等表示未知量x，而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3 ，并将这种代数称为本“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达也被西方称为"代数学之父"。

但是韦达并没有把代数看作一个独立的学科体系，他研究代数的目的仅仅是为了解决几何问题。

事实上，人们对于几何的依赖，直到牛顿时期都是很明显的。我们曾讲过，自从柏拉图提出以几何为基础建设宇宙模型的构想。后来欧几里得发表了《几何原本》，这本书在 2000 多年里一直被称为数学界的圣经，任何数学问题的解决都是建立在几何论证的基础上的，即使到了后来非欧几何的的诞生，也是在与欧氏几何无矛盾性的基础上诞生的。

牛顿的《自然哲学的数学原理》同样也是建立在几何论证的基础上。1687年牛顿发表了它的划时代的科学名著《自然哲学的数学原理》，流数术(即微积分)是其中三大发现之一。十六、十七世纪,除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外,还产生了许多新问题,如求速度、求切线,以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力,终于在十七世纪晚期,形成了无穷小演算———微积分这门学科,这也就是数学分析的开端。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者,他们的功绩主要在于:把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法;有明确的计算步骤;微分法和积分法互为逆运算。由此诞生了一门新的学科—数学分析。

牛顿的流数术就是建立在几何论证之上，牛顿创立流数术也是从笛卡尔《几何学》获取的灵感，当时他对笛卡尔求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。最终，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。牛顿就借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。

就连牛顿自己都认为微积分是对纯几何的延伸，可以说，当时欧洲的数学处于欧氏几何的笼罩之下，无论是数学分析还是代数都急于从几何的阴霾中独立。但是无论是代数还是数学分析的进一步发展需要进一步有逻辑严谨的实数理论作为其基础，再加上当时微积分已经诞生，微积分计算必须根植于实数园地，而这必须摆脱欧氏几何的统治地位。

这项独立运动开始于欧拉的《无穷小分析引论》。这是第一本现代数学分析学著作，1748 年出版，这是数学七大名著之一，和高斯的《算术研究》齐名。此书是在数学史上具有划时代意义的代表作，当时数学家们称欧拉为"分析学的化身”。

欧拉的《无穷小分析引论》首次把对数作为指数、把三角函数作为数值之比而不是作为一些线段的系统论述，次用函数概念作为中心和主线，把函数而不是曲线作为主要研究对象，使无穷小分析不再依赖几何性质。

在欧拉的《无穷小分析引论》中，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。

欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，而在他以前是一直以线段的长作为定义的。研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60;印度人阿耶波多(约476-550)定半径为3438;德国数学家里基奥蒙特纳斯(1436-1476) 为了精密地计算三角函数值曾定半径600, 000;后来为制订更精密的正弦表又定半径为10'。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。

欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性的研究。在这以前，每个公式仅从图中推出，大部分以叙述表达。欧拉却从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式，还获得了许多新的公式。欧拉用a 、b 、c 表示三角形的三条边，用A、B、C表示第个边所对的角，从而使叙述大大地简化。欧拉得到的著名的公式：

又把三角函数与指数函联结起来。《无穷小分析引论》除了是三角学研究的开端， 还对微积分进行了进一步的完善。

《无穷小分析引论》标志着微积分历史上的一个转折：以往的数学家们都以曲线作为微积分的主要研究对象，而欧拉则第一次把函数放到了中心的地位，并且是建立在函数的微分的基础之上。他在这本书里给出的函数定义是:“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”。函数概念本身正是由于欧拉等人的研究而大大丰富了。

数学家们开始明确区分代数函数与超越函数、隐函数与显函数、单值函数与多值函数等；通过一些困难积分问题的求解，诸如B函数、椭圆不定积分等一系列新的超越函数被纳入函数的范畴；已有的对数、指数和三角函数的研究不仅进一步系统化，而且被推广到复数领域。

可以说，从欧拉开始，在极大程度上摆脱了对几何直观的依赖,在逻辑上更为严瑾和便于分析。 数学开始逐渐摆脱对几何的依赖。欧拉冲破了古希腊人的思想框架，进一步向符号代数转化，几何问题常常反过来用代数方法解决，而欧拉对微积分的完善，实现了数学研究的基本方法由古希腊的几何演绎向以算术和代数的分析方法的转变。

可以说《无穷小分析引论》这本书确立了欧拉在数学界的地位，将大家从欧氏几何的桎梏中解救出来。这本书涉及了此书涉及了当时数学的各个领域和分支，包括分析学，几何学，代数学，微分方程，变分学， 数论等等。极大地促进了数学的发展。

而到了19世纪，维尔斯特拉斯等人发起了“分析算术化”运动，认为实数是全部分析的本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数(有理数)。这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补。这就是所谓“分析算术化”纲领。

戴德金提出了序完备化方法，康托尔方法提出了度量完备化方法，维尔斯特拉斯发表了有界单调序列理论。实数的这三大派理论，从不同方面证明了实数系的完备性。实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。这样长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除。 使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，欧洲数学终于从几何学中彻底解放。