虚数为何要等待漫长的两个世纪才被数学界接受？

【编者按】
在史前时代，数学是为了实际应用而出现的。数字被用来计算羊群的数量，几何图形被用来测量田地 并绘制道路。自那时以来，很多艺术家、创作者、匠人或者单纯的梦想家和好奇者，在无意中踏入了 数学的领地。他们是不自觉的数学家，是人类历史上最早的提问者、最早的研究者、最早的头脑风暴践行者。
法国概率学博士米卡埃尔· 洛奈在他的《万物皆数》一书中讲述数学发展历史中很多有趣的故事，试图解决“大部分人是喜欢数学的，但很多人并不了解这门学科”这个问题。澎湃新闻经授权摘发其中涉及虚数的部分。
公元16世纪初期，斐波那契播撒下的种子终于开花结果， 意大利涌现出了一批新一代的数学家。这一代数学家将继续由古代阿拉伯学者们开创的代数学研究，也正是他们最终征服了三次方程——却是作为一场数学史上最荒诞、最离奇的闹剧的结局。
故事开始于16世纪初期，第一个登场的人物是一位商人兼博洛尼亚大学的算术学教授，名叫希皮奥内·德尔·费罗。德尔·费罗对代数学很感兴趣，他是第一个发现三次方程解析式的人。可惜在那个时代，古代阿拉伯世界中普遍存在的传播知识的精神在欧洲还是天方夜谭。博洛尼亚大学会定期地给教授们安排不同的职位。为了成为最优秀的教授，并且留在最好的教职位置，德尔·费罗费尽九牛二虎之力，试图让他的竞争者们不要窥探到三次方程解法的秘密。他撰写了自己的新发现，但是没有发表，只是把研究结论向一小撮弟子公开了，这些虔诚的弟子也和他一样，保守着三次方程的秘密。
这位博洛尼亚的数学家去世于1526年，于是，整个意大利数学界依然不知道三次方程其实已经被解开了。当时很多的数学家甚至还是认为三次方程根本不可解。然而，德尔·费罗有一位弟子，名叫安东尼奥·玛利亚·德尔·费奥雷，因为对老师的研究很有信心，所以他压抑不住自己的天性，决定站出来卖弄。他向意大利境内的数学家发出挑战书，挑战的内容当然主要是和解三次方程有关。毫无意外地，他每一次都赢了。于是，“三次方程可解”的传闻渐渐地在学术圈中散播开来。
1535年，一位威尼斯的数学家尼科洛·塔尔塔利亚接到了德尔·费奥雷的“战书”。塔尔塔利亚时年35岁，在学术界籍籍无名，尚未发表过任何重要的科学著作。所以，德尔·弗奥雷当然也不会知道，他挑战的这个人，将会成为他这一代数学家中杰出的人物之一。“打擂”的两位学者，互相给对方一张“难题清单”，上面各有30 道难题，输了的人要支付30 桌酒宴的钱！在接下来的几周时间内，塔尔塔利亚面对德尔·费奥雷提出的三次方程问题绞尽了脑汁，然而，在最终期限到来之前的几天，他福至心灵，终于发现了三次方程的解析式！于是，他花了几个小时的时间，把30个三次方程都解开了，赢得了胜利。
然而，故事并没有结束，因为塔尔塔利亚拒绝向公众公布他发现的方法。于是事情又回到了原点，一晃过去了4年。

吉罗拉莫·卡尔达诺
这天，这场“三次方程解法大混战”传到了一位米兰数学家、工程师吉罗拉莫·卡尔达诺的耳朵里。他的名字在法语里写作Jérme Cardan，汽车爱好者们一定不会陌生：他是万向接头（Joint de Cardan）的发明者之一。在我们的汽车中，万向接头能够保证将发动机的转向传递给轮胎。在此之前，卡尔达诺也是那些认为三次方程不可解的数学家之一。因为塔尔塔利亚赢了德尔·费奥雷的挑战，卡尔达诺感到很好奇，所以他试着联系塔尔塔利亚。1539年，卡尔达诺给塔尔塔利亚寄了8道三次方程的题，希望塔尔塔利亚能告诉他解法。塔尔塔利亚断然拒绝。这位米兰的学者于是非常气愤，随后尝试了恐吓的手段，通过发动全意大利的代数学家来声讨塔尔塔利亚，谴责他的狂妄无理、嚣张跋扈，但是塔尔塔利亚并没有屈服。
最终，卡尔达诺还是通过阴谋诡计“套取”了答案。他告知塔尔塔利亚，米兰的统治者德·阿瓦洛斯侯爵想要见他一面。恰好，塔尔塔利亚在威尼斯的情况也不太妙，因此他希望能够找到一位保护人。于是，塔尔塔利亚同意前往米兰，1539年3月15日，他终于抵达了卡尔达诺的宅邸，见到了卡尔达诺，并在那里空等了侯爵三天。在这三天的时间内，卡尔达诺使出浑身解数，让塔尔塔利亚消除了对他的不信任。在双方不知疲倦的无数次谈判之后，塔尔塔利亚最终答应有条件地教给卡尔达诺三次方程的解法，前提是卡尔达诺发誓永远不能发表这种方法。卡尔达诺发了誓，塔尔塔利亚也将三次方程的解析式告诉了卡尔达诺。回到米兰城内之后，卡尔达诺开始仔细分析这些解析式。解析式当然很好用，但是卡尔达诺却缺少了一样东西，那就是证明过程。到当时为止， 发现了三次方程解析式的数学家中，没有任何一位能够使用严格的方式来证明他们的解析式是永远正确的。于是在接下来的几年时间内，卡尔达诺专心致志地“攻坚”这个问题。最终，卡尔达诺成功了，而且他的学生之一卢多维科·费拉里甚至归纳出了四次方程的解法！但是，因为当年在米兰发过的誓言，这两位数学家都不能发表他们的成果。
卡尔达诺不肯放弃。1542年，他和费拉里一同前往博洛尼亚， 拜访了汉尼拔·德拉·纳菲——另一位曾经受教于德尔·费罗的学生。三人一同整理了德尔·费罗留下来的手稿， 并且发现，德尔·费罗才是第一个解出三次方程的人。于是， 卡尔达诺认为，自己在米兰的誓言应该是无效的。他在1547 年发表了《大术》（A rs Mag na ），三次方程的解法终于大白于天下。另一方面，塔尔塔利亚震怒，他猛烈抨击和羞辱了卡尔达诺，认为他剽窃了自己的研究成果。太晚了。卡尔达诺已经成为世人眼中的焦点，他被认为第一个征服了三次方程，直到今天为止，三次方程的解析式依然以卡尔达诺命名，被称为“卡当公式”。
然而，《大术》中的一些细节，却在当代的代数学家中引了发某种怀疑论的思想。在很多情况下，卡当公式似乎需要计算负数的平方根。比如，在求解某个方程式的时候，我们会看到诸如“–15的平方根”的情况，也就是说，按照平方数的定义，需要找到平方为–15的数，这在婆罗摩笈多发明的十进制数字符号下是绝对不可能实现的。正数的平方是正数，但是负数的平方也是正数！比如，(–2)2=(–2)×(–2)=4。没有任何一个数乘以自身，结果等于–15。总之，在这些结果的计算中出现的平方根看上去根本不存在。没错，但是，即使是中间过程出现了这些“不存在”的数字，卡当公式却依然能够得出正确的结果！这可真是奇怪，而且耐人寻味。
另一位来自博洛尼亚的数学家拉斐尔·邦贝利对负数的平方根问题很感兴趣，也正是他提出，负数的平方根很有可能是一种全新类型的数字。这种数字，既不是正数，也不是负数！这是一种具有奇怪性质的、从未出现过的数字，在此之前，人们甚至并不认为它存在。于是，在零和负数之后，数字大家庭再一次迎来扩大规模的时刻。
在生命的最后时刻，邦贝利写出了一生中最重要的著作——《代数学》，这本书发表于1572年，同年，邦贝利去世。在这本书中，邦贝利总结整理了《大术》中的发现，并且介绍了这些新型的数字，他称之为“复杂的数”。邦贝利所做的事情，和婆罗摩笈多当年“创造”出负数时的情况一样。他在书中详细介绍了“复杂的数”的所有计算规则，尤其指出， “复杂的数”的平方是负数。
邦贝利的“复杂的数”面对的，是和当年婆罗摩笈多的负数一样的命运。它们同样也引发了大量的怀疑和质疑；它们同样也终将被人们所接受，它们的“力量”，将在数学世界引爆一场革命。在所有那些最终改变了想法的怀疑者中， 我们发现了17 世纪初期法国数学家、哲学家笛卡尔的名字。正是他给这些新型数字赋予了一个名字，而我们今天依然在使用这个名字：虚数。
虚数还要再等上漫长的两个世纪，才会最终被数学界所接受。随后，它们就成了现代科学中无法规避的存在。除了在方程之中，虚数还被发现存在于许多物理学应用之中，尤其是在所有的波现象的研究中，比如电子学或者量子物理。如果没有虚数，许多现代的技术创新就不会成为可能。
然而，与负数不同的是，在科学界以外，虚数依然几乎不为人们所知。它们与我们的直觉相悖，令人很难接受，而且并不能被用在简单的物理现象中。如果说负数还算是能够被理解和接受——因为它们至少能代表债务或者赤字，那么为了理解虚数的概念，我们必须放弃将它们看作代表“数量”的数字。我们无法给虚数赋予一个可以应用在日常生活中的意义，甚至睡不着的时候也不能拿它们来数羊。
虚数最终慢慢地将数学家从它们的复杂程度中解脱了出来。毕竟，如果说，只需要“接受负数的平方根的存在”就能创造出一种新型的数字，那么我们为什么不能走得更远一些呢？我们为什么不能人为地补充一些新的“数字”，并且定义它们的运算性质呢？甚至，我们为什么不能创造出一些新的代数结构，使其与过去经典的数字完全没有任何关系呢？
在19世纪，先验的认为“经典意义上的数字才是数字”的想法被摒弃了。从此，一个代数结构变成了一个简单的、由若干元素（在某些情况下，我们称这些元素为“数字”，但它们并不总是数字）构成的数学结构，而且我们能够对这些元素进行运算（有的时候，这种运算可能是加减乘除等，但也并不总是如此）。
这种新的自由将会带来一场巨大的“创造大爆炸”。新的代数结构——它们或多或少总是有些抽象——被发现、研究和归类，鉴于任务的艰巨性，先是欧洲的数学家们，然后是全世界的数学家们组织起来，分享、协作。即使在今天，在全球范围内，依然还有大量的代数研究正在进行，还有许多的猜测仍未经证实。

本文摘自《万物皆数：从史前时期到人工智能，跨越千年的数学之旅》，[法]米卡埃尔·洛奈/著 孙佳雯/译，北京联合出版公司，2018年9月