基本图形分析法：弦切角问题怎样思考（三）

例35 如图4-97，已知:AB是⊙O的直径，DC⊥AB，垂足是C，DE与⊙O相切于E，AE交CD于F。求证:DF=DE。

图4-97

分析:本题要证明DF=DE，这就是两条具有公共端点的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，所以问题就是应证∠DEF=∠DFE。

由条件DE与⊙O相切于E，所以就可应用弦切角的基本图形的性质进行证明。由于EA是过切点的弦，而弦切角即∠DEA所夹的弧AE所对的圆周角尚未出现，所以应先将这个圆周角添出，于是联结BE（如图4-98），就可得∠DEA=∠B，问题也就成为要证∠DFE=∠B。

图4-98

由条件C、F、D成一直线，∠DFE就成为四边形CFEB的一个外角，所以∠DFE=∠B这个性质一出现，就使这个四边形必定成为一个圆内接四边形，这样问题就成为应证C、F、E、B四点共圆。由条件CD⊥AB，即有∠FCA=90°，而条件中还给出AB是⊙O的直径，所以又可应用半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，于是由E是半圆上的一点，即可得∠AEB=90°，所以C、F、E、B四点共圆就可以证明。

本题在分析证∠DEF=∠DFE时，由于∠DEF是弦切角，所以也可以直接应用弦切角的性质得∠DEF的度数等于弧AE的度数的一半，这样问题就成为要证∠DFE的度数也等于弧AE的度数的一半。而现在∠DFE是一个圆内角，所以就要应用圆内角的性质，于是应先将∠DFE的对顶角的边延长到与⊙O相交，也就是延长DC交⊙O于H（如图4-99），就可得∠DFE的度数应等于弧EG+弧AH的度数的一半，也就得问题应证弧AE=弧EG+弧AH，弧AH=弧AG。由条件AB是⊙O的直径，且AB⊥GH，所以直接应用垂径定理就可证明上述性质。

图4-99

本题在分析证∠DEF=∠DFE时，由于条件中出现是AB是⊙O的直径和DC⊥AB是直径的垂线，所以也可添加过直径的端点所作的直径的垂线来进行证明。于是过A作AB的垂线AG，即可得AG与⊙O相切于A（如图4-100），而AE是过切点的弦，所以有∠DEF=∠GAE。而在作出了GA⊥AB后，由条件DC⊥AB，就可得CD∥AG，而这一组平行线又可以看作是被AE所截，所以又有∠GAE=∠DFE，从而也可以完成分析。

图4-100

例36 如图4-101，已知:△ABC的内切圆⊙I与三边分别相切于D、E、F，DG⊥EF，垂足是G。求证:FG·CD=EG·BD。

图4-101

分析:本题条件中出现了BC与⊙I相切于D，所以可应用弦切角的基本图形的性质进行证明。于是联结DI（如图4-102），可得∠IDC=90°。又因为条件中给出了∠DGF=90°，这样结论中所出现的FG和CD就可以分别看作是两个直角三角形的直角边，而从图形中可以发现这时三角形的斜边尚未出现，所以可先将斜边添上，也就是联结DF、CI（如图4-103），这样就出现了两个直角三角形，即△DGF和△CDI。由于△DGF中的∠DFG是⊙I的一个圆周角，而△CD中的∠CID是⊙I的一个圆心角，而由CD、CE与⊙I分别相切于D、E，可知应用切线长定理及其推论可得∠CID=1/2∠EID=1/2弧DE的度数，这样就有∠DFG=∠CID，而∠DGF=∠CDI=90°，从而就可发现和证明△DGF∽△CDI，FG/ID=DG/CD，FG·CD=ID·DG，这样问题就转化成要证明EG·BD也等于ID·DG，显然，用同样的方法，联结BI、DE后（如图4-103），通过证明△DGE∽△BDI，就可以证明上述性质，分析也就可以完成。

图4-102

图4-103