能被4，8，9整除的数的特征
我们在三年级已经进修了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将会谈整除的性子，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性子：
性子1 ：若是甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数必定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48必定能被8整除。
性子2 ：若是两个数都能被一个天然数整除，那么这两个数的和与差也必定能被这个天然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性子3 ：若是一个数能分袂被两个互质的天然数整除，那么这个数必定能被这两个互质的天然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
把持上面关于整除的性子，我们可以处理良多与整除有关的问题。为了进一步进修数的整除性，我们把学过的和将要进修的一些整除的数字特征列出来：
（1）一个数的个位数字若是是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字若是是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和若是能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数若是能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数若是能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和若是能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要进修的内容。
由于100能被4（或25）整除，所以由整除的性子1知，整百的数都能被4（或25）整除。由于任何天然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性子2知，只需这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证了然（4）。
近似地可以证明（5）。
（6）的精确性，我们用一个详细的数来声名一样平常性的证明编制。
837＝800＋30＋7
＝8×100＋3×10＋7
＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7
＝8×99＋8＋3×9＋3＋7
＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
由于99和9都能被9整除，所以按照整除的性子1和性子2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再按照整除的性子2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能断定837能被9整除。
把持（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：
（4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数不异。
（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数不异。
（6＇）一个数除以9的余数，与它的列位数字之和除以9的余数不异。
例1 不才面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？
234，789，7756，8865，3728.8064。
解：能被4整除的数有7756，3728，8064；
能被8整除的数有3728，8064；
能被9整除的数有234，8865，8064。
例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分袂便是几时，这个四位数分袂能被9，8，4整除？
解：若是56□2能被9整除，那么
5＋6＋□＋2＝13＋□
应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；
若是56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；
若是56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
到如今为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。按照整除的性子3，我们可以把断定整除的规模进一步扩大。例如，断定一个数能否被6整除，由于6＝2×3，2与3互质，所以若是这个数既能被2整除又能被3整除，那么按照整除的性子3，可剖断这个数能被6整除。同理，断定一个数能否被12整除，只需断定这个数能否同时被3和4整除；断定一个数能否被72整除，只需断定这个数能否同时被8和9整除；如斯等等。
例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，构成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到猛停止枚举。
解：由于构成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。按照三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，是以所求的这些数为270，570，720，750。
例4 五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
分析与解：已知能被72整除。由于72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。按照能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。再按照能被9整除的数的特征，的列位数字之和为
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
由于l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个规模内只需27能被9整除，所以A＝7。
解答例4的关头是把72分化成8×9，再分袂按照能被8和9整除的数的特征去会谈B和A所代表的数字。在解题挨次上，应先确定B所代表的数字，由于B代表的数字不受A的取值巨细的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就随意确定了。
例5六位数是6的倍数，如许的六位数有若干好多个？
分析与解：由于6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B
能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4个值。由于B可以取4个值，A可以取5个值，问题问题没有要求A≠B，所以适宜前提的六位数共有5×4＝20（个）。
例6 要使六位数能被36整除，并且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？
分析与解：由于36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要能被4整除，是以C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。是以首先是A尽量小，其次是B尽量小，末了是C尽量小。先试取A=0。六位数的列位数字之和为12＋B＋C。它应能被9整除，是以B＋C＝6或B＋C＝15。由于B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5。
当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，并且所得商最小，为150156÷36＝4171。
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