许晨阳：数学会帮助人类理解发现自然界很多事情

在2017未来科学大奖颁奖典礼暨未来论坛年会上，“未来科学大奖-数学与计算机科学奖”获得者、北京大学长江特聘教授许晨阳在现场做了分享。

根据夏志宏在现场介绍，许晨阳于1981年出生于重庆，在北京大学获得了学士，硕士学位以后去美国普林斯敦大学获得的博士学位，并在MIT以及尤他大学工作了一段时间后在2012年回到了北京。在北京国际数学中心工作，许晨阳感兴趣的研究方向是代数几何。

公开资料显示，2014年许晨阳获得国家杰出青年科学基金? ，并被评为北京大学长江特聘教授。

以下内容为许晨阳在现场分享：

首先感谢各位，今天我给大家讲的是数学中语言的思考，一般来讲当一个数学家要给公众报告的时候，总是往往比较困难的事情，有一次我有一个外国同事，他给一个公众报告，我就去上网看他的公众报告怎么样，我觉得他讲得很好，讲得很有意思。我就去祝贺他，我说你这个公众报告很有意思，作为数学家来讲懂得很多，他说这没问题，他说这是一个问题，如果一个公众报告数学家懂了，别人不是太懂。所以我尽量把我的公众报告放在这个非数学家可以理解的范围内，最后我会讲一点我的工作。

今天我谈论的主题是数学中语言的思考。我们都知道语言是人类文明的基础载体。我们从小就经常思考一个问题，我们的知识里面有多少是因为我们的语言构成而影响的。当然狭义的语言之外，人类还发言出的很多的广意语言，比如说话数学和音乐，数学是帮助人类理解发现自然界很多的结构，比如说大小我们用到算术，形状上我们用到了几何，变化上还有微积分，有的时候我会想音乐是帮助我们理解什么样的现象，是不是有听众可以告诉我。虽然我们说数学是人类的一种语言，实际上我们从事数学的创造过程中，我们经常发现的一件事是人类实际上是人类发现数学而不是创造了数学，数学实际上在很多时候我们感觉它隐藏在客观的世界之内，而我们只是数学家通过思考，通过工作去发现它。

所以，因为数学是一个非常客观的，我们感觉数学是非常客观世界里面隐藏的东西，所以我们经常想有外星文明的话，他们是不是有同样的数学，如果真的有外星文明，我们比较一个外星文明和地球文明之间的文明的相似度，数学家是其中很高一部分。我们也会问是不是有相同的物理定理，这可能也有很高的相似部分，我们和外星人是不是有相同的生物知识，这个我就不确定了。

数学是一广义的语言，所以我想说数学本身的致用就是语言的发展，接下来我说一个例子，就是代数几何，讲代数之前我们先讲几何，欧几里得的几何原本是现代数学发展的基石，而且我昨天在讨论会上才知道，我以前就知道欧几里得的几何原本是除了圣经以外在世界说发行量第二大的刊物，昨天讨论会上我才知道拿坡仑打仗的时候，林肯的打仗的时候，他们包里也都有几何的原本，所以我才知道几何的学习是受教育人的基本要求。

我们知道人类不光是发现了平面几何，后来才发现了不平坦的几何，这个建筑是在巴塞罗那的米拉之家，在现代技术里面才有这种弯曲，可能因为古代建筑立面没有意识到不平坦几何，所以他们建设建筑的时候不知道用什么样的数学知识解决他们的建筑问题。

那么，刻画弯曲程度的数学概念，我们称为曲率，这是最早发现是伟大的数学家高斯，然后一般的情况下是由黎曼提出来的，他们俩都是伟大的数学家，高斯的图像是德国的10马克，现在已经不再用的，我想说的是在德国我们可以看到科学和商业的结合，作为十马克的钞票为例子。当然我们可以想象我们的曲面，如果有这样的曲率的话，我们可以想一个同样的空间，他可能在有一些地方是曲率是正的，有的地方曲率是平的，有的地方曲率是负的，这个庞加莱定理告诉你我们给定一个曲率可以进行度量，使得这个曲率一定是正的，出出为正1，要么一定是平的，要么是负的。我们怎么想象这个曲率是正的，平的，负的区别呢？我们小时候学过平面几何，我们知道三角形内角和是180度！那是欧式几何的特点，如果考虑正曲率的话，有一个三角形，那个和是大于180度的，如果考虑负曲率图形的话，三角形内角和是小180度的，这是一个典型的非欧几何。

下面我把几何讲到这里，我再回过头讲，我讲这个素论，这是我们最有名的定理费马大定理，我们读书的时候还是猜想，上中学的时候还尝试着解决，当然后来因为我中学还没有读完就已经被解决了，他的工作是建立在三百多页的，他自己两篇论文有三百多页和千人的工作基础之上的，费马大定理说有这么一个方程，它没有任何的整数解，现在我们看一下这个方程，X方加Y的方等于Z的方，为什么大于等于3的时候会没有解，为什么等于2的时候我们知道它有无穷多的解，现在我们知道要去解一个方程的整数解往往很困难的一件事，所以现在我们首先退而求其次，我们看复数解，我们知道N等于2的时候，解构是球面，是正曲的东西，N等于3的时候是环面，零曲率东西，大于3的时候，是负曲率的东西。所以我们知道这个N等于3为什么这么关键，因为正好是正曲率和负曲率之间的区别。

当然，我想证明费马大定理很困难，但是说这个方程完全没有解是很困难的，但是这个定理说，如果一个方程有复数解对应的是负曲率，那么对于方程的解的个数是有线的，我们N大于3的时候，对应负数解的曲率一定是负的曲率。这个告诉你N大于3的时候，这个方程的解是有限多的解，再到没有解，这还是一个很困难的过程。但是这个定理他说的，不光是针对这个方程，而是对任何一个方程，只要对应这个曲率是负曲率，方程都是有限的。

所以从这个定理中可以看出这个对应解的方程，上面有一个负曲率和它在整数解之间的关系有非常深刻的关系，我们需要有一种语言，把这种关系给统一起来，所以这个就是怎么样代数几何。代数几何从几何角度研究方程或者是方程组的解。我们要研究什么样的方程呢？我们一般叫做多项式方程，左面和右边各写了一个多项式，所谓的多项式是我们有变源，把变源可以加也可以减，得到这样的方程，我们称之为多项式方程，第一个是有四个变源，三次的方程，是Cayley曲面，右边是费马方程获得了丘三维族，为什么我们用代数方法来解方程呢？这里有一句话，他说代数是魔鬼给数学家的东西，魔鬼说我给你一个非常有效的工具，可以对你任何一个问题给出回答，但是你作为交换要把灵魂给我，这个灵魂是什么呢？就是几何。所以代数几何，就是说我们想用一个代数的办法来看几何，我们拿代数这个工具来交换几何的灵魂。就是代数几何。当然我查这句话的时候，我看到了另外一句话，他怎么成为数学家的呢？他很小的时候到处去全世界旅行，不停的换外币，换完了以后发现赚钱了，这个时候他爸妈就意识到了他可能会成为一个数学家。

那么，代数几何的革命，是大概在上个世纪的50年代，在这里之前代数几何是数学中的一个重要的领域，但是Grothendieck把代数几何发展成了数学领域的核心，他是一个非常传奇的人，他大概研究数学研究了二十年左右，第一张照片是他研究数学的时候，到80年代的时候到山上隐居，研究了三十年，2014年的时候，刚刚去世，第二张照片是隐居的时候给他拍的，第三张照片是我办公室里面的照片。前面我说他对代数几何有非常深刻的影响，他的影响在什么地方呢？首先是发展了概型语言，我们用代数的办法来研究解的空间，但是他说你这么看问题的角度太小了，我们要用更大，更抽象的办法来看，这个更大更抽象的办法就是概型语言，这是我想数学里面语言的一次重要的发展。利用我们抽象的方式去求各种方程的解，像前面我们写的费马的方程，关心它的整数解和负数解，纳入统一的框架下考虑，你最后考虑之后，可能还是要回到整数和负数特殊性质研究问题。但是这里之前应该用一种很统一，很庞大的框架来考虑这个问题，这个是他的思想。正是因为他从最一般的，最抽象的角度去理解问题，他反而变得最有用。所以这就是在这个体系下，代数几何就可以在很多的广泛的意义下使用，因为你知道这个广泛的印象有几何的结构或者是代数结构都可以想象尝试把代数几何用进去，所以就联系了很多的学科比如说数论，前面的方程，X方加Y方等于Z方，这是数学，还有复几何，解复算的解释，等等。因此代数几何成为数学里面最庞大的学科之一。经过了他的革命之后，我们应该对代数几何思考什么问题呢，他给我们提供了非常庞大，非常抽象的语言，我们可以拿这些语言重新思考这个以前的数学问题。包括了一些很多很经典的，我们解决不了的问题，他的想法是有了这个庞大的语言之后我们可以重新的尝试去思考解决新问题。其中一个经典的问题是在代数几何刚刚开始的时候，就是按照这个几何上的弯曲来分类所有代数方程的几何空间，我们前面想过，我们在曲面的时候有三种弯曲，是正的弯曲，平坦的，负的弯曲。那么当然了，曲面是代数几何里面为数最低的情况，因为代数都是偶数维，我们要考虑更高的情况下的分类空间，我们希望分类空间是按照他有多么弯曲来分类。

现在回到我研究的双有理几何，就是这么一种分类的思想，你给我任意一种解的空间，我尝试去分解成基本的模块，每一个模块上要么是正的，要么是负的，要么是平坦的。所以换句话说你给我一个很随机的，任意的解的空间，我希望有一种办法去理解，这种理解办法是说我希望首先据理解哪些是只有正的，哪些是负的，哪些是0的，我理解这三种非常特殊的类型，我理解这三种类型之后，我再去理解对于一般的解的空间，我怎么样可以用三种基本类型把这一种的平搭起来，像玩乐高积木一样，这三种空间像三种基本的模块，这个几何就是说我们希望理解大的空间怎么样被模块搭起来的，每个模块会成为这个极小模型。

这个极小模型又被称为森纲领，右边是日本的数学家，他用这个复数三维的时候获得了菲尔兹奖，我刚刚说代数几何的围数是偶数，是10的维数，所以复数围数等于2的时候，这个等于4，这是现实的空间，即便是复数等于2的时候是非常有趣，非常难，非常深刻的问题了。这个双维几何可以想象成一种比较粗糙，比较基本的分类，这种特别粗糙，特别基本的分类意义上，对我们的四维空间，在二维的时候，这个被意大利科学家一百多前年完成的，当负的维数大于等于3的时候，我们不大理解大于等于2的时候情况，在大于等于3的时候在四十年前有了突破性的想法，那个时候开始，我们就建立了所谓的极小模型，一般在数学里面有一个东西，被称为是什么纲领的话，往往是一个很庞大的数学领域。比如说昨天我们知道的纲领，这个极小模型纲领也是其中一个纲领，没有完全的解决，我们做出了很多的进展，所以大于等于3的时候，40年前的双维几何发展了四十年，中间还有很多的问题，你可以问为什么这个东西等到日本人等到十多年前的时候才发现了，因为他有一个很重要的想法，这个想法我认为是数学里最天才的想法之一，他解决这个分类的问题，他说我不能只看辅助上的解释是不够的，我要看这个之后的解。就是说，我们解方程，我们当然希望去解这个整数方程。