20世纪的拓扑学简介

拓扑学的思想几乎存在于当今数学的所有领域。作为一门学科，拓扑学成形于19世纪，然后在20世纪取得了长足的进步。现如今，拓扑学本身已包含有诸多分支，如点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学，它们交相互动，融合在现代数学的蓬勃发展之中。

拓扑学的先声可以追溯到18世纪上半叶。话说在景致迷人的柯尼斯堡，城市间有普莱格尔河横贯其境，在河的中央还有一座美丽的小岛。普莱格尔河的两条支流环绕其间，把整个城区分为4个区域。著名的柯尼斯堡大学依偎在河的一边，为这一秀色宜人的城市增添了几多古雅与庄重的韵味！河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。这一别致的桥群，古往今来，吸引了众多的人来此漫步！

不知何时起，当地的居民开始热衷于这样的一个有趣问题：

能不能设计一条路线，使得它既不重复又不遗漏地走遍这七座桥？

这就是闻名遐迩的“柯尼斯堡七桥问题”。

1736年，欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）在一篇题为《关于一个位置几何学问题的解答》的论文中，十分巧妙地将具体的问题加以数学的抽象，最先给出了柯尼斯堡七桥问题的解。经由欧拉的证明思想，可以进一步得到如下的一般定理：

一个图可以通过欧拉路径完成（或者通俗地说，一笔画成），当且仅当图中度为奇数的顶点个数为0或者2。

18世纪的柯尼斯堡

七桥问题的抽象图

若干年后，欧拉又描述了如下的一个著名结论——在现代数学中，它以“多面体的欧拉定理”著称：

简单多面体的顶点数，棱数以及面数满足如下的关系式：

这里，一个多面体被称为是简单的，在直观上可以理解为，如果在这个多面体的内部吹气，它能够膨胀为一个球面。

上述定理曾出现在1750年11月欧拉写给哥德巴赫的一封信中。约在两年之后——那是1752年，欧拉在两篇论文中陈述了更多的细节。不过，他并没有给出完整的证明。

沿着欧拉开创的这条路线，紧随其后的是一位鲜为人知的瑞士数学家吕利耶（Simon Lhuilier，1750-1840）——他一生的大部分时间都在研究与欧拉公式有关的问题。1813年，吕利耶在发表的一部重要著作中说，对于一个三维欧氏空间中被钻通有 个开口的多面体的表面，他计算出其欧拉示性数（即 ）为 。用现代数学的语言来讲，这个多面体的边界是一个亏格为 的曲面。

在数学历史上，利斯廷（Johann Benedict Listing，1808-1882）或许是第一个使用拓扑学这个词的人。他的拓扑学思想主要归功于高斯，尽管高斯本人没有发表过任何有关拓扑学的著作。1847年，在一篇题为《关于拓扑学的初步研究》的论文中，利斯廷介绍了复形的思想概念。不过相比而言，他于1861年发表的那篇论文更为重要。在后一论文中，利斯廷描述了默比乌斯带，还研究了曲面的连通性。

在阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）的工作之后，黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）在1851年的博士学位论文和1857年关于阿贝尔函数的论文中发展出我们现在称为“黎曼面”的概念。此外，黎曼还考虑了闭曲面 上的情况。他描述了如何沿着若干仅相交于一点的简单闭曲线将 切开而得到一个单连通曲面的步骤。此中蕴藏有现在称之为亏格（genus）的不变量。

亏格2曲面沿四条仅交于一点的闭曲线 a,b,c,d 切开后，展开为一个单连通多边形。

迪克（Walther Dyck，1856-1934）或许是第一个对拓扑学给出明确定义的人：拓扑学是研究那些在（有连续逆映射的）连续映射下的不变性质的一门学科。他可能也是第一个将高斯-博特公式以全局性的形式加以表述的人：

对于任何一闭曲面 ，有 .

其中的 是欧拉-庞加莱示性类， 是高斯曲率。这个定理为以后几何与拓扑学的相关研究提供了诸多的启迪。

庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）

庞加莱无疑是现代拓扑学的创立者。在1881-1907年撰写的有关位置分析（Analysis situs）的一系列论文中，庞加莱勾勒出同调论的雏形，给出了贝蒂数的精确定义，描述了庞加莱对偶定理。此外，他还引入同伦的概念，定义了基本群以及与之相关联的覆盖空间的概念。庞加莱对黎曼曲面的单值化定理的描述对曲面的研究尤为重要。尽管其中还有不少细节有待完善，但是他已经给出了这一理论的基本概要。

这里是单值化定理的现代叙述：

任何黎曼曲面 的覆盖空间都共形等价于以下的三种情形之一：

1. 黎曼球面

2. 复平面

3. 开单位圆盘

作为这个定理的一个简单推论是：

任何黎曼曲面都具备一个常曲率度量：在上述的情形(1) ，情形(2) ，情形(3) .

尽管对三维流形的描述早于15世纪，可是对这类对象的数学研究仅开始于20世纪前夕。1898年，丹麦数学家希嘉德（Poul Heegaard，1871-1948）证明了如下的结论：

任何可定向的三维闭流形都可以被分解为两个具有相同亏格且沿着边界相交的环柄体的并。

这一定理为研究一般的三维流形提供了一个重要工具。

1904年，庞加莱提出一个著名的问题——它将困扰数学家100年：

一个基本群平凡的三维闭流形是否一定同胚于三维球面 ?

问题的肯定回答就是著名的庞加莱猜想。

实际上，早在1900年，庞加莱就提出了如下的猜想：任意与球面有着相同同调群的流形都同胚于一个标准球面。但在1904年，他用希嘉德的方法发现了一个反例——后被命名为庞加莱十二面体空间（Poincaré's dodecahedral space），它与三维球面有着相同的贝蒂数和挠系数，但是它却不同胚于三维球面。

庞加莱同调球面是将立体十二面体中的每个面与对面面以π/5扭转相位的结果，如图所示，投影平面为十二面体的边界，对面颜色相同。

在1910年由德恩和希嘉德合著的一篇论文中，他们用一种现在被称为德恩手术（Dehn surgery）的方法构造了无穷多类三维流形，它们都是同调球面，即与球面有着相同同调群、但是却不同胚于球面的流形。数学家们因此认识到庞加莱猜想将会是一个难题。

1919年，亚历山大（James Alexander，1888-1971）证明了，存在有两个三维流形，它们具有相同的基本群以及相同的同调群，可是它们却不同胚。这一结果极大地提高了庞加莱猜想的门槛，同时也使得“庞加莱先生的这一猜想是对还是错”变得有点扑朔迷离。

1929年，德国数学家克内泽尔（Hellmuth Kneser，1898-1973）证明了，对紧致的三维流形来说，其素分解是存在的。他的著名定理可表述如下：

任何紧致的三维流形 都同胚于一个由若干素三维流形构成的连通和 .

这里，一个三维流形 称为是素的，如果它不同胚于 ，且若 中的一个二维球面将它分为两块的话，则其中必有一块同胚于 。

30多年之后，米尔诺（John Milnor，1931- ）完备了克内泽尔的这一结果，他于1962年证明了素流形的分解在不计次序且模掉同胚类的情形下是唯一的。

在已被了解的三维流形中，塞弗特纤维空间构成很重要的一类，它们是曲面上以圆为纤维空间的可纤维化流形，其中允许有限个被特殊限定的奇异纤维存在。相关的研究源自塞弗特（Herbert Seifert，1907-1996）完成于1932年的博士论文《三维可纤维化空间的拓扑学》(Topology of 3-dimensional fibred spaces)。

至1936年，庞加莱猜想成为数学世界中最著名的问题之一。此前已有两部非常出色的拓扑学教材出版：一部是塞弗特和思雷福尔（William Threlfall，1888-1949）所著《拓扑学教程》(1934年)，另一部是亚历山德罗夫和霍普夫（Heinz Hopf，1894-1971）所著《拓扑学》(1935年)。这两部书都因为将庞加莱的工作做了重要推广而声名卓著，且都特别强调了庞加莱猜想的重要性。

20世纪50年代，可以列举两项有关三维流形的重要成果：一是莫伊兹（Edwin Moise，1918-1998）证明了任何一个紧致的三维流形都可以被三角剖分，且这一三角剖分在PL-同胚的意义下是唯一的；二是帕帕基里亚科普洛斯（Christos Papakyriakopoulos，1914-1976）运用一种巧妙的“塔式”构造的方法证明了著名的德恩引理。作为引理的重要推论之一，我们有:

若 是一个简单闭PL-曲线，则纽结 是平凡的当且仅当 .

拓扑学的源起亦与分析学的严密化相关。早在19世纪70年代，源自对实数的严格定义，康托尔（Georg Cantor，1845-1918）系统地展开了对欧氏空间中的点集的研究，并描述了许多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函（即函数的函数）的观念，这终于导致抽象空间的诞生。

1906年，弗雷歇（Maurice Fréchet，1878-1973）引进了度量空间的概念。在此基础上，豪斯多夫（Felix Hausdorff，1868-1942）于1914年前后用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质做了系统的研究，再经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为现代数学研究的共同基础。

对于欧氏空间中的点集的研究一直是拓扑学的重要部分，如今已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域。荷兰数学家布劳威尔（L. E. J. Brouwer，1881-1966）于1910—1912年提出了用单纯映射逼近连续映射的方法来研究一些重要的几何现象，并证明了不同维数的欧氏空间之间是不同胚的。通过引入映射度的概念以研究流形的同伦分类，他开创了不动点理论。随后亚历山大在1915年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。

20世纪20年代，随着抽象代数学的兴起，埃米·诺特（Emmy Noether，1882-1935）提议将组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下，霍普夫定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。1945年前后，艾伦伯格（Samuel Eilenberg，1913-1998）与斯廷罗德（Norman Steenrod，1910-1971）以公理化的方式总结了当时的同调论，并于1952年完成《代数拓扑学基础》一书，对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨大的推动作用。

同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡，它是由胡尔维茨（Witold Hurewicz，1904-1956）于1935—1936年引入的，用以研究拓扑空间的同伦分类。尽管同伦群的几何意义比同调群更明显，但是却极难计算。同伦群的计算，特别是相关球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。20世纪50年代，法国数学家塞尔（Jean-Pierre Serre，1926- ）利用勒雷（Jean Leray，1906-1998）所发明的谱序列这一代数工具，在同伦群的计算上取得了重要突破。

随着代数拓扑和微分几何的进一步发展，微分拓扑学亦在20世纪30年代重新兴起。1935年，惠特尼（H. Whitney，1907-1989）给出了微分流形的一般定义，并证明任何（紧致）微分流形总能嵌入到某一高维的欧氏空间中。为了研究微分流形上的向量场，惠特尼还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与同调与同伦问题联系在一起。

法国数学家托姆（René Thom，1923-2002）于1953年提出了配边理论，由此开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化为代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。在配边理论的基础上，德国数学家希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch，1927-2012）

证明了高维代数簇的黎曼-洛赫定理，米尔诺证明了七维球面上除了通常的微分结构，还有不同寻常的多种微分结构，阿蒂亚（Michael Atiyah，1929-2019）和辛格（I. M. Singer，1924-2021）给出了指标定理的最早证明。

米尔诺（John Milnor）

米尔诺于1956年获得的结果——在七维流形上存在着28种本质上不同的微分结构开辟了一个全新的世界。他以一种出人意料之外的方法将拓扑学和分析学融合在一起，并因此开创了微分拓扑学的新纪元。数年之后，斯梅尔（Stephen Smale，1930- ）利用庞加莱首创、却由莫尔斯、米尔诺和庞特里亚金完善的论证方法，证明了五维及五维以上的庞加莱猜想。

1982年，弗里德曼（Michael Freedman，1951- ）经过多年的努力，证明了四维情形的庞加莱猜想，而且完成了对所有闭的单连通四维流形的拓扑分类。他的工作直接影响唐纳森进一步的结果。弗里德曼的定理可部分地表述如下：

两个闭的单连通四维流形是同胚的当且仅当它们具有相同的双线性形式 和相同的Kirby-Siebenmann不变量 .

这就是说，上述的这种流形由下列不变量唯一决定：

(1) 杯积 的同构类，其中 ;

(2) Kirby-Siebenmann不变量 .

特别地，如果 是一个同伦球面，则 ，从而 同胚于 。不过，由于弗里德曼是运用极其不可微的方法证明了上述定理，因此还不知道是否每个光滑同伦四维球面一定与 微分同胚，也不知道 时，什么样的四维流形会有微分结构以及微分结构何时在本质上是唯一的。

唐纳森（Simon Donaldson，1957- ）的数学工作紧随弗里德曼。他于1983年用规范理论证明了出现在上述定理中的这些拓扑流形里很多都没有任何光滑结构。结合弗里德曼的工作和唐纳森解析结果带来更加令人称奇的结果：四维流形上可以存在不同的微分结构。尤其在四维欧氏空间中存在无穷多种不等价的微分结构。这和其他维数的欧氏空间形成了鲜明对比：

在欧氏空间 上仅存在有一种微分结构，即进行微积分计算的方法！

拓扑学的重要性，亦体现在它与其他数学领域的相互作用中。为了研究黎曼流形上的测地线，莫尔斯（Marston Morse，1892-1977）在20世纪20年代建立了非退化临界点理论——莫尔斯理论，将流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系在一起，促进了大范围分析学的发展。著名的阿蒂亚-辛格指标定理可谓是分析学与拓扑学结合的经典范例。在多复变函数论方面，来自代数拓扑学的层论已经成为基本工具。20世纪40年代，陈省身引进了“陈示性类”，建立了代数拓扑和微分几何的联系，极大地推动了整体微分几何学的发展。等等。因此20世纪法国著名数学家、布尔巴基学派的主将迪厄多内（Jean Dieudonné，1906-1992）曾如是说：

代数拓扑学与微分拓扑学通过它们对于所有其他数学分支的影响，才真正应该名副其实地称为20世纪数学的女王。

—THE END—

编辑：fanye

作者：刘攀