遍地开花的拼豆店，卖的竟是“诺奖物理”？（内附物理所拼豆图纸）

最近，拼豆火遍大江南北。一到休息日，大家手不酸了，腰不疼了，把拼豆店当“网吧”，狠狠的坐上个一天半载。

然后在手抖翻盘中或痛哭流涕，或仰天长啸（接拼豆不翻，谢谢）

小编拼豆手抖实录

拼豆界也逐渐卷了起来，从超大拼豆

5米清明上河图拼豆 来源：兰州书展

到立体拼豆

来源博主：大眼东

小编很沉迷通过拼豆的方式创造自推，也喜欢用拼豆的方式进入心流，让脑子在简单且重复的工作中获得休憩。

一套标准的拼豆流程通常是这样的：对照图纸，用镊子或是豆笔把豆子一颗颗放到豆板上；等图案全部完成，再盖上助烫纸，用熨斗来回加热。几分钟后，原本松散的圆柱形豆子组合便连接成了一整块作品。

但在这“放豆—铺满—熨烫”的过程中，其实隐藏着三个不同的科学问题：一幅豆子组成的图案能承载多少信息？一颗颗豆子落到规则基底并铺展成层，与芯片制造中的薄膜生长有何相似之处？熨斗熨烫以后，两颗塑料豆之间的边界又是怎样消失的？

拼豆如何传递信息？

假如我们把一千颗拼豆随机撒在桌面上，它们大概率只是一片花花绿绿的噪声（就像拼豆店处理的混豆那样）；但如果按照图纸，把同样的豆子放到正确的位置上，人眼就能从中辨认出拼出的形状和角色。

可被辨认的人和难以辨认的呕吐物 来源：小红书

在这两个过程中，豆子的材料和数量并没有变，改变的是它们的排列方式——或者说，是信息被编码的方式。

当我们将照片转换为拼豆图纸时，看起来连续的颜色和轮廓在拼豆图里变成了分立的像素风格子。首先需要把连续画面切分成有限的方格，这个过程叫作”空间采样”，是将连续信号离散化的过程；随后，还要从有限的豆子色号中，为每个格子选择一个最接近的颜色，这个过程叫作”颜色量化”，通过合并相似颜色并生成有限调色板，在有限色号里尽量还原原图。

这也解释了为什么拼豆天然带着像素风。毕竟拼豆是一个一个分立豆子像素化组成的图案，一条平滑的斜线只能用若干横向和纵向的小段近似。豆子越小、格点越密，图像的空间分辨率就越高；可选色号越多，颜色的还原通常也越细腻。

24色、96色和221色还原耄耋

那么，一块豆板最多可以记录多少信息？

假设钉板上共有N个位置，每个位置可以从K种颜色中任选一种。在每个格子都必须填满的情况下，整块板共有

种可能状态。若用二进制给这些状态编号，所需的最大信息量为

假设一块10×10的豆板有100个位置，每格有8种颜色可选。由于8是2的三次方，记录一格颜色最多需要3比特，记录整块板则最多需要300比特。

不过，这个300比特只描述了所有格子和颜色组合起来一共有多少种可能，还没有考虑这些可能出现得是否同样频繁。真正的拼豆往往是52×52的豆板和221色的豆子，可能性远超上面的预测。

若在一幅拼豆作品中随机遮住一个格子，让你猜它是什么颜色。如果8种颜色出现的机会完全相同，那几乎没有线索；如果整幅作品九成都是白色，那么即使格子尚未揭开，你也会优先猜白色。揭开格子之前，我们究竟有多“拿不准”，取决于各种颜色出现的概率。

香农把这种结果出现前的平均不确定程度称为信息熵：

其中，pi表示第i种颜色出现的概率。当各种颜色等概率出现时，结果最难预测，信息熵达到最大值log2K；如果一种颜色占据绝大多数，结果更容易预测，信息熵也会降低。

不过，上面的公式只统计各种颜色出现的概率，把每个格子看成彼此独立。真实的拼豆往往具有明显的色彩连续性：背景往往是一大片相同H2（白色）或者H7（黑色），头发、衣服和边框也会形成连续色块。一旦知道某个位置属于纯色背景或头发区域，相邻格子的颜色通常就更容易猜中。这些重复、对称和连续色块构成了图像中的冗余，也是一幅图能够被进一步压缩的原因。

完全随机的彩色噪声，可能比一幅角色头像拥有更高的信息熵，因为它更难预测；但噪声在我们眼中肯定不如哈基米有意义。这是因为香农熵关心的是信息有多难预测、传输和压缩，而不是我们能不能认得出图像乃是何物。

电视噪音哔哔嘟

到目前为止，我们讨论的仍是“每颗豆子应该被放在哪里”。如果没有图纸和豆笔，也没有我们控制落点的手，仅仅让大量豆子落到一个表面上，它们还能自己形成规则结构吗？

这就要把尺度从毫米缩小到原子，进入真正的材料生长过程了。

拼豆？薄膜生长！

拼豆时，一颗颗豆子被送到豆板表面，在豆钉的限制下占据固定位置，最后铺展成一片近似二维的图案；生长材料薄膜时，一个个原子或分子到达衬底表面，在表面相互作用和热运动的控制下吸附、移动、聚集，最终形成一层厚度远小于长和宽的材料。这两者何其相似！

拼豆vs薄膜生长

不过两者亦有不同，生长时的原子很难拿镊子一个一个的夹放。制造晶体薄膜时，以气相沉积为例，原子或分子先被输送到一块固体表面，这块承接薄膜的材料称为衬底。到达衬底后，粒子可能被吸附，也可能在表面移动、相互聚集，甚至重新离开，经历到达表面→吸附→表面扩散→成核→逐渐形成薄膜的过程。

如果长出的薄膜也是晶体，并且下方衬底的晶体结构规定了上方薄膜的排列方向，这种生长叫作外延。薄膜与衬底材料相同称为同质外延，材料不同则称为异质外延。

硅气相外延

对于拼豆而言，豆板上每个凸点都对应一个格点，豆子只能按照钉板给出的间距和方向排列。晶体中也存在类似的周期结构，构成晶体的原子并不是随意堆在一起，而是按照一定规律重复排列；描述这种重复单元尺寸的参数，叫作晶格常数。

市面上能购买到的绝大多数豆子都是2.6 mm，和常规豆板相互适配；也有个别5 mm的大豆子，则需要用间隔更大的豆板。在材料生长中，不同衬底和晶体都有自己最自然的原子间距，如果薄膜与衬底的晶格常数不同，两套周期结构便无法严丝合缝地对齐，类似把5 mm大豆子放到2.6 mm豆板上，这就是晶格失配。

如果晶格常数的差别较小，刚生长的薄层可能暂时迁就衬底，被拉伸或压缩。晶格产生的相对形变叫作应变，为维持这种形变而产生的内部作用则叫作应力。但随着薄膜越来越厚，强行迁就所积累的弹性能也会不断增加。超过一定厚度后，材料可能通过形成失配位错、表面起伏或三维小岛等方式释放能量。

不同规格的豆子与豆板装不上，可以帮助我们直观理解晶格失配。不过，散装豆子之间尚未彼此连接，产生的只是毫米尺度的机械不匹配，不能直接称作晶格失配。若是一张已经彼此连接、拥有固定自然间距的豆子网，被强行套在另一块间距略有不同的钉板上。开始时它或许还能靠拉伸勉强对齐，范围越大，变形积累得越严重，最后只能通过错位、翘起甚至断裂来释放压力。

我们拼豆的时候，一般会一排一排的让豆子排列下去，也有人尝试过用“邪修撒豆法”，在大块同色区域中把豆子一股脑倒下去。

来源：博主芒果不忙

那么对于材料生长而言，缺少了人手的操控，当原子到达衬底表面时，它们更愿意铺在衬底上，还是更愿意彼此抱团？

在接近平衡的简化条件下，可以用衬底表面能γS、薄膜表面能γF和薄膜—衬底界面能γI定义：

这一能量关系与晶格应变等因素共同决定了三种经典生长模式。

1

Frank–van der Merwe模式（FM，层状生长）

如果薄膜覆盖衬底能够让体系的能量降低，原子便倾向于贴着衬底向四周铺开。原子倾向先铺满一层，再生长下一层。在忽略应变等因素的简化情况下，常对应Δγ<0。这种模式容易得到较为平整、厚度可控的薄膜，因此又被称为逐层生长。

2

Volmer–Weber模式（VW，岛状生长）

如果薄膜原子与同类聚集更为有利，那么它们便不会急着铺满整个表面，原子会先在少数位置聚集成小团。即使衬底上还有大片空白，这些小团也可能继续向上生长，形成一个个三维“小岛”。随着沉积继续，小岛不断长大、合并。在简化情况下，常对应Δγ>0。

3

Stranski–Krastanov模式（SK，层—岛生长）

第三种情况介于以上两者之间。最初原子会先铺成一层或几层平整的薄膜，但随着厚度增加，从平面生长转向三维聚集，在原有薄层上形成一个个小岛。

(a)岛状生长(b)层状生长 (c)层-岛生长

回到拼豆，我们可以发现，铺满背景的平整图案在形态上有点像层状覆盖，零散色块则有点像岛状；但我们逐行摆放还是邪修撒豆，取决于我们灵机一动而不是表面自由能。因此，拼豆并不属于FM、VW或SK中的任何一种，只是帮助我们理解薄膜生长的模型。

若是一个手抖，几个小时的劳动就瞬间回归高熵状态一地散豆。

要产出真正的拼豆成品，还得用美纹纸把豆子排列转印下来，在烫布上烫成完整的图案才行。

用熨斗连接高分子

拼豆的最后一步，烫豆，让一个个零散的豆子融化、拼接形成了我们需要的图案。

市面上常见的拼豆豆子主要是低密度聚乙烯（LDPE），也有一些商家会使用乙烯-醋酸乙烯共聚物（EVA）。

LDPE的组成

这两者都属于高分子材料。高分子材料由大量高分子链组成。这些链通常包含许多重复结构单元，分子量远高于普通小分子。大量分子链彼此缠绕、穿插，它们并不完全静止，而会随温度的提高而获得能量，进而产生热运动。

理解高分子的受热状态，需要考虑以下两个温度：

玻璃化转变温度Tg

当温度低于Tg时，无定形区域中的分子链段运动受到很大限制，材料表现得很坚硬，这种状态一般被称为玻璃态。当温度升到Tg以上后，局部链段变得更加活跃，材料变得柔软，并表现出弹性和粘弹性。

熔融温度Tm

如果材料内部存在晶区，则需要考虑熔融温度。Tm与材料内部排列有序的晶区有关，当温度接近Tm时，有序结构开始瓦解，原本被晶区固定的分子链获得更大的运动空间，材料变得熔融且流动。

按照分子链在内部分子链聚集形态的不同，我们可以把高分子材料分为无定形和半结晶两类。对于无定形的热塑性聚合物，可以用“玻璃态-高弹态-粘流态”描述它随温度升高而发发生的状态转变。低温时链段被冻结；跨过Tg后材料进入柔软而富有弹性的状态；温度继续升高，整条分子链能够发生更大尺度的移动，材料最终表现出黏性流动。

但拼豆的豆子LDPE，属于半结晶聚合物。它的内部分成两个部分，一部分分子链排列的比较有序，形成晶区；而另一部分分子链相互缠绕，形成无定形区。

LDPE的Tg远低于室温，因此常温下，无定形区的链段并不是完全冻结的，那为什么豆子还是固体状呢？是因为晶区仍然存在，像大量微小的物理交联点一样限制着分子链。

半结晶聚合物里的无定形区和晶区

当我们用熨斗加热豆子，使其温度接近或超过LDPE的Tm时，晶区逐渐融化，原本受到束缚的分子链获得更大运动能力；同时，我们按压熨斗让相邻豆子的表面靠近、变形，两颗豆子之间的接触面积增加，形成连接区域。

但简单的物理连接是很脆弱的，最好让彼此的分子链进入另一端，两豆缠缠绵绵。

聚乙烯的分子链很长，这些分子链的周围都挤满了其他分子链，就像被猫猫玩坏的毛线团一样，存在大量的缠结。所以分子链很难直接横穿周围的障碍。

为了描述分子链在这种环境中的运动，1991年诺贝尔物理学奖得主德热纳提出了著名的“蛇行理论”。这是他在高分子物理领域最具代表性的成果之一。

蛇行理论中，周围分子链的约束使得目标分子链被限制在一条看不见的狭长的“管道”中，目标分子链很难横穿管道，只能主要沿着自身的管道向前或者向后一维蠕动，就像是蛇在一条狭窄的管道中爬行一样。

所以，在融化过程中，分子链沿着自身所在“管道”的方向运动，原有管道逐渐被更新，链的一部分由原来的一侧进入另一侧。随着跨界深度增加，两侧的链形成新的缠结，界面强度也随之提高。

不过，蛇行理论只是一个理想模型，真正烫豆的时间很短，温度和压力也很难做到均匀，界面融合也受诸多因素影响。

等到我们拿着烫豆布、对光确认已经烫到无孔了，就可以开始降温了。当温度下降，聚乙烯重新形成晶区，已经越过界面的分子链和缠结被保留下来，豆子们就结合到了一起。

这解释了烫豆最容易出现的翻车现象：温度太低或时间太短，表面接触和分子链扩散不充分，豆子会有孔或连接不上；温度太高或时间太长，流动太多，边缘容易变形等等。

来源：博主Xue

希望大家都能烫豆不翻车！

现在再回头看桌面上的拼豆，它已经不只是我放松身心，顺便给我推制作伟大周边的简单小手工了，还蕴含着信息熵、薄膜生长乃至高分子热运动的诸多原理。

写至此已手痒，不如尝试拼下这巨大的物理所Logo拼豆试一试？

也欢迎各位同好把你们的拼豆作品或翻车实录，在评论区分享给大家！

编辑：花卷