黎曼猜想-精确公式

黎曼猜想-精确公式

黎曼猜想的思想复杂而深奥，分为3篇短文介绍：1， 黎曼猜想-解析延拓 ；2，黎曼猜想-精确公式；3，黎曼猜想-世纪难题。此篇为2。

黎曼将ζ函数解析延拓到整个复平面后，接着便考虑素数分布问题。素数是如何分布的？自从欧几里得证明了素数有无穷多之后，这个问题困扰数学家们几千年，却仍然一筹莫展。到了高斯的年代，也仅有欧拉乘积公式等少量进展。16岁的高斯，闲暇时用手工计算給定范围内素数的数目：前10个自然数中有4个素数，出现的概率（或频率）40%；第一个100中有25个素数，概率是25%；前1000个中有 168 个素数，概率降到16.8%，随着数目增大，出现的概率越来越小（图1a）。

高斯一定很兴奋，因为他发现素数的出现是有规律的！越来越少是定性规律，定量呢？高斯手工写出了近百万个自然数中的素数，得到（猜出）了一个素数密度（概率）下降的趋势：1/(ln N)，见图1a。后来，高斯定义了一个素数计数函数π (x)。函数π (x)直接表示小于或等于x的素数的个数，注意：这儿的π与圆周率无关。例如，π (1) = 0、π (2) = 1、π(3) = π (4) = 2……π (7) = π (8) = π (9) = π (10) = 4……。图1b画出了 p (x)的点表示的直观图形。由图可见， p (x)的点并不构成一条平滑的曲线，而是代表手工计数结果的阶梯状增长折线。不过，曲线增长之宏观趋势也显而易见。高斯根据他对素数密度总结的1/(ln N)规律，得到π (x)的增长趋势是x/ln(x)，这个规律便是素数定理：当 x 趋近无限，π(x) 和 x/ln(x) 的比值趋近 1。之后，高斯又用了一个更为准确的积分函数Li(x)来逼近π (x)，因此，素数定理可用下面的（1）式描述（参考图1b）：

高斯的计数函数π (x)，毕竟只是手工计数的结果，当年的素数定理，也只是少年高斯的猜想。也就是说，函数Li(x)趋近π(x)，是猜想，并不是任何数学逻辑推导的结果，高斯没有证明它，也没有发表它。

因此，黎曼回到欧拉的乘积公式。但这时候他已经鸟枪换炮，有了复变函数这个强有力的武器，可以用解析的方法来研究欧拉乘积公式了。这一研究就不得了，打开了数论史上的一扇大门！

我们先讲结果。最后，黎曼得到了计数函数π(x) 的如下一个素数分布“显式”表达式（2）：

黎曼显式公式（2）中的π (x)，与高斯的π (x)之最大不同是导出它们的方式。高斯的π (x)只是计算素数数目的经验结果，而公式（2）却是黎曼从欧拉乘积公式出发推导出来的！

再将（2）和（1）比较一下：两个公式中都包括了Li(x)这一近似主项。此外，黎曼的表达式中还有另外三个额外项。后面两项与x无关，且随x增大而减小可以忽略不计。公式（2）中的第二项很重要，是Li函数对黎曼ζ函数的所有非平凡零点求和。因此，如果要计算黎曼显式公式，必须知道这些非平凡零点的位置。黎曼研究了这些零点，发现零点的实部都是1/2。于是，黎曼猜测所有非平凡零点都在实部1/2的那条竖直线上。这便是著名的黎曼猜想。

神奇的是，假设黎曼猜想成立的话，黎曼显式公式精准地重构了高斯的素数计数函数π (x)。图2的模拟动画直观地实现了这点。

红色阶梯函数是高斯计数函数π (x)，平滑蓝线代表黎曼显式公式。当非平凡零点为0时，初始值为一条平滑的类对数曲线。当越来越多的非平凡零点被计算后，平滑蓝线开始出现起伏与振荡，逐渐与红色的阶梯函数相吻合。

黎曼显式公式的推导过程很复杂。我们将简略化之后的基本步骤总结在图3中，有兴趣的读者，可以根据其中的专业词汇查询更详细的资料。

欧拉乘积公式，等号右边是与素数相关的乘积（图3，公式1）。乘积形式难以直接分析，在进行微积分运算、导数分析或级数展开时非常不便。因此，黎曼将欧拉乘积公式两边取对数，将乘积转化为求和，从而可以引入复变函数和微积分工具来研究素数。

取对数后（图3，公式2），再利用对数的泰勒展开式，忽略高阶项再求导，得到公式5。然后，黎曼利用复变分析中的梅林变换、围道积分、留数定理等，引入黎曼计数函数J(x)，最后导出了他的显式公式（图3，公式9）。

如上所述，黎曼ζ函数的非平凡零点，隐藏了质数分布的密码。换言之，黎曼猜想隐藏了质数分布规律。然而，黎曼猜想虽有进展但至今未被破解。这是我们下一篇文章的内容。