抽屉原理（鸽巢原理）小升初奥数高频考点，一次讲透

教小学数学这些年，抽屉原理，也叫鸽巢原理，一直是小升初、奥数拓展、思维训练里面非常经典的一类题型。很多孩子第一次接触的时候，觉得文字描述很绕，读不懂题，一碰到“至少保证”这种字眼就发懵，要么不会构造抽屉，要么忘记最不利原则，考试白白丢分。

很多家长也跟我说，孩子平时计算题没问题，但是这种逻辑类的组合数学题，思路转不过弯。今天这篇，我就把抽屉原理的两条核心定理、解题思路、经典例题完整拆解，适合小学五六年级预习，小升初总复习，也适合初中拓展思维训练，建议家长收藏打印给孩子。

我们先从最经典的例子入手，就像图里面：10个红苹果放进9个抽屉，不管怎么放，至少有一个抽屉里面，会有2个或者更多苹果。这个例子非常直观，也是抽屉原理最原始的模型。很多孩子看到这个例子能明白，但是换成球、卡片、袜子、生日这类题目，就不会迁移，本质就是没有真正理解原理，只会背文字。

我们来看抽屉原理第一条：如果把N+k（k≥1）个物体放进N个抽屉，那么至少有一个抽屉里面，要放进两个或者更多物体。通俗理解就是，物体数量比抽屉数量多，就一定无法做到每个抽屉只放1个，必然有抽屉至少装2个。比如5本书放进4个书架，书比书架多一本，就一定至少有一个书架上有至少2本书，这就是原理一，属于最基础版本。

然后是抽屉原理第二条，也是考试考得更多的进阶版本：如果把m×N+k（k≥1）个物体放进N个抽屉，那么至少有一个抽屉里面，要放进m+1个或者更多物体。这个版本是解决“保证有n个同色、同类”这类题目的核心。这里一定要跟孩子讲清楚，做这类题，核心思维叫做最不利原则，也叫最坏情况思想。

什么叫最不利？就是想要达成目标，我们先假设运气最差，每一种类型，都尽量取不到我们想要的数量，每种都差一点点，全部拿完之后，再多拿1个，就一定能满足题目要求。这个思想，是抽屉原理大题的灵魂，很多学生不会做，就是想不到从最坏情况去思考。

我们就拿图上这道经典例题来演示：盒子里面有红色、蓝色、黄色、白色四种颜色球若干，要保证取出的球里面，有5个球颜色相同，最少要取出多少个球？

首先第一步，先确定抽屉，四种颜色，就相当于4个抽屉。我们的目标，是至少有一种颜色达到5个。按照最不利原则，运气最差的时候，每种颜色我们都只拿到4个，还没有任何一种颜色凑够5个，也就是4×4=16个球。这个时候，再随便多取出1个球，不管这个球是哪一种颜色，那一种颜色就会变成5个，满足题目条件。所以答案就是4×4+1=17个。

这里一定要提醒孩子易错点：很多孩子直接写5，或者直接用4+5，完全错了。题目关键词是保证，不是“有可能拿到”。有可能你运气很好，连续拿5个都是红球，但是题目要求是不管怎么取，都一定能出现5个同色，所以必须考虑最坏情况，这就是“保证”两个字的含义，也是这类题最容易理解错的地方。

接下来我再补充几道常见变式，帮孩子巩固模型。比如经典袜子题：抽屉里面黑、白、灰三种颜色袜子，要保证拿到一双同色袜子，按照原理一，3种颜色就是3个抽屉，最不利每种拿1只，一共3只，再多拿1只，也就是4只，就一定能凑成一双。如果题目升级，要保证拿到3只同色袜子，就用原理二，每种先拿2只，2×3+1=7只。还有生日问题：一年365天，至少多少人，才能保证至少两个人同一天生日，这个也是抽屉原理，365天相当于365个抽屉，366个人就一定至少有两人同一天生日，这类生活场景题型，小升初非常爱考。

这里还要讲一个非常关键的做题步骤，以后孩子碰到抽屉原理题目，固定三步走：

第一步，识别题目，看到关键词“至少、保证、一定有”，优先想到抽屉原理；

第二步，构造抽屉，也就是把分类标准找出来，颜色、类别、日期、余数，都可以当成抽屉；

第三步，运用最不利原则，每种抽屉先放m个，再加1，算出最终结果。

很多拓展题还会有变形，比如按照除以某个数的余数来构造抽屉，比如自然数除以3，余数只有0、1、2三种，也就是3个抽屉，任取4个自然数，就一定至少有两个数除以3余数相同，两数之差就能被3整除，这类余数抽屉，是小升初压轴思维题，难度会比单纯颜色取球高一点。

最后跟家长和孩子说，抽屉原理属于组合数学入门，它不考复杂计算，重点是逻辑思维。很多孩子觉得奥数难，其实就是这类逻辑模型见得少，不知道固定思考方式。平时可以多拿生活例子做练习，比如扑克牌抽牌、拿书、拿糖果，让孩子自己体会最不利思想，不要死背公式。

这个模型虽然篇幅不大，但是思维价值很高，它训练的是极端情况分析，这种思维，到初中高中排列组合、概率板块还会继续用到。这份知识点建议收藏，小升初刷题的时候，专门找同类型题目巩固，把构造抽屉、最不利原则练熟，这类题型就可以稳定拿分。