在AI时代，如何追求数学理解

本文是Jeremy Avigad的客座文章。本博客文章最初以不同文件格式撰写，并使用AI进行了转换。——T.

“数学在十九世纪经历了一场如此深刻的变革，以至于将其称为这门学科的第二次诞生也不为过——它的第一次诞生发生在古希腊人中间……”
——Howard Stein，《Logos, Logic, and Logistiké: Some Philosophical Remarks on Nineteenth-Century Transformation of Mathematics》

“我死亡的报道是夸大其词。”
——马克·吐温

“愿你生活在有趣的时代。”
（传统说法）

我最近参加了一场由Convergent Research支持的创新科技初创企业会议，该组织负责监管Lean FRO，这是一个开发Lean定理证明器的非营利组织。这次会议旨在促进讨论，当我自我介绍为数学家时，许多参与者都急于谈论近期AI事件对数学的影响以及数学界的反应。他们惊讶地得知，我发现像本博客和Proofs and Prompts这样的博客上，社区反应的基调总体上是积极和鼓励的，尽管我们都认识到，我们日常职业生活的基本方面注定会改变。这些讨论帮助我形成了一些我想在这里分享的想法。

对数学家所做之事有一种狭隘的看法，概括在我们的日常工作流程中：我们试图解决问题，当难题太难解决时，我们就编造更容易的近似，解决它们，然后改变参数。这种做法已被过去几个月的事件所打乱，因为一年前还能成为相当体面出版成果的那类结果，现在借助AI就能轻松生成。这让我们担忧，今后做数学意味着什么，以及如何培训和支持下一代数学家去做无论那是什么的事情。

数学的历史为我们提供了更广阔的视角。尽管经历了几个世纪的变化，始终不变的是，数学是一种严格推理和交流的文化，为我们提供语言和抽象，让我们更可靠、更高效地思考和交流。即使在AI时代，这样的推理无疑仍然重要。我们许多人觉得数学具有美感，这一事实并不削弱它的实用价值，反而由其实用价值来解释：我预计，做数学之所以感觉那么好，是因为它锻炼的是对我们作为一个物种的生存如此根本、以至于被写入我们DNA的能力。如果这是对的，数学思维不会很快消失。

挑战在于，当我们让AI做这项工作时，解决我们几十年来一直在解决的那类问题，就与增强我们数学理解的目标脱钩了。因此，问题不是我们是否仍然需要数学，而是如何在AI时代追求数学理解。我将提供三个一般性的答案。

解决更难的问题

当今基础模型有两个显著特征：第一，它们已经看完了整个数学文献；第二，它们不知疲倦；一群智能体可以通过尝试无数种变体，最终找到解法。这解释了为什么我们看到的AI对未解决问题的生成解法都有相似的特点：它们是AI可以通过拼凑现有技术来解决的问题。（我感谢Matthew Ballard对这一特征的描述，以及随后的分析。）

是否每个有趣的数学问题都能以这种方式被回答？大概不能，而且即使有些问题能，也可能存在更有趣、更令人满意的解法，需要新的想法和洞察。也许在不久的将来，AI系统能够产生这样的洞察，但至少，让我们认识到我们还没到那一步。强化学习训练机制让系统把常规步骤串联起来，并从失败和成功的历史中学习哪些步骤在特定状态下最有希望。一个动作的价值仅仅根据最终轨迹的成功来评分，这能培养出超人的聪明，却可能错过创造力和更高层次的策略。无论如何，仍然有难题待解，有雄心勃勃的研究计划待推进，在AI帮助下取得进展的可能性令人兴奋。

想更大的问题

如果数学只是完成外星人强加给我们的一连串习题和考试，那我们目前的处境会令人沮丧得多。好消息是：当我们做数学时，我们可以选择问题、评判解法、偏爱最喜欢的那些。我们决定什么对自己有趣、追求什么问题、以及为什么。命运掌握在自己手中。

数学中最令人钦佩的东西，往往像是凭空出现的。1853年，年轻的波恩哈德·黎曼向导师卡尔·弗里德里希·高斯提交了三个可能的题目，供其选择作为他的就职演讲（Habilitationsvortrag）的主题，这是他获得哥廷根大学教职所必须做的一场演讲。据说高斯选了黎曼准备最不充分的那一个，想看看他能做出什么。结果那场演讲——《论几何学基础的假设》——于1868年黎曼去世后发表，彻底改变了这个领域。演讲区分了空间的度量性质和拓扑性质，引入了流形的一般概念，尽管后者直到二十世纪才得到完全严格的处理。对空间内禀性质的关注——在黎曼几何中，那些由度量决定、独立于嵌入更大空间的性质——是几十年后爱因斯坦广义相对论的关键。