祖冲之推算圆周率时还在南朝观测天象

公元462年，南朝宋都城建康的朝堂之上，一场关于历法的辩论正在进行。

三十三岁的南徐州从事史祖冲之呈上自己编撰的新历法，请求朝廷颁布施行。

宋孝武帝将此表交有司审议，让内外官员展开讨论。

多数人不懂历数，无人提出异议，唯有太子旅贲中郎将戴法兴站出来，表示反对。

戴法兴以“三精数微，五纬会始，自非深推测，穷识晷变，岂能刊古革今”为理由，认为祖冲之擅自改变古历是离经叛道。

这场辩论的胜负，不仅关乎一部历法的命运，也关乎一个科学家在南朝朝堂上能否用数据和观测对抗因循守旧的势力。

祖冲之的名字，此后一千五百多年间，将因为圆周率和《大明历》而为后世所知，但很少有人追问：他在推算圆周率的同时，为何还要去看星星？

祖冲之，字文远，生于公元429年，卒于公元500年。

据《南齐书·祖冲之传》记载，他“少稽古，有机思”。

其祖籍为范阳郡遒县，即今河北省保定市涞水县，但出生于丹阳郡建康县，即今江苏南京。

祖家历代对天文历法素有研究，曾祖父祖台之在晋朝官至侍中，祖父祖昌任刘宋朝大匠卿，掌管土木工程，父亲祖朔之做“奉朝请”，学识渊博。

家庭环境中充盈着关于星象、历算与工程营造的知识，使得祖冲之自幼便对自然科学产生了浓厚兴趣。

他曾在著作中自述，从很小的时候起便“专功数术，搜烁古今”，将上古以来各种文献记录几乎全部搜集考察，并且“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”。

这种不盲从古人、亲力亲为的治学态度，贯穿了他的一生。

青年时代，祖冲之已获得博学多才的名声，被宋孝武帝召入华林学省从事研究工作。

华林学省是刘宋朝廷设立的学术研究机构，后来他又进入总明观任职。

总明观是全国最高科研学术机构，集藏书、研究与教学功能于一体，旧址位于今南京朝天宫。

在这里，祖冲之接触到大量国家藏书，特别是天文、历法、术算方面的典籍，为日后的科学研究打下了坚实基础。

公元461年，祖冲之调任南徐州刺史府，先后任从事史、公府参军。

正是在这一时期，他完成了两项影响深远的科学工作——圆周率的精确计算与《大明历》的编制。

南徐州即今江苏镇江一带，祖冲之在这里度过了他学术生涯中最具创造力的几年。

先说圆周率。

在祖冲之之前，中国数学家对圆周率的探索已有数百年历史。

三国时期，曹魏数学家刘徽提出了“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周的长度。

刘徽从正六边形出发，令边数一倍一倍地增加，逐步计算出正十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形的周长，求得π的近似值为3.14。

刘徽指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确。

这是一种可以无限逼近圆周率的方法。

祖冲之继承了刘徽的思路，但他没有止步于3.14。

据史料记载，祖冲之设置了一个直径为一丈的圆，用算筹进行推算，一直切割到圆内接正二万四千五百七十六边形。

在当时的计算条件下，这意味着需要对每个多边形依次求出边长，反复进行开方运算，工作量极为庞大。

后人经过测算认为，要得到精确到小数点后七位的结果，祖冲之需要算出正12288边形和正24576边形的面积。

而当时算盘尚未发明，所有计算都靠一根根算筹来完成。

祖冲之得出的结论是：圆周率介于3.1415926与3.1415927之间。

这一结果精确到了小数点后第七位，是当时世界上最精确的圆周率数值，保持了近千年的领先纪录，直到15世纪才由阿拉伯数学家阿尔·卡西打破。

他还给出了两个分数形式的近似值：约率22/7和密率355/113。

密率355/113是分母小于16604的分数中最接近π真值的近似值，后世称之为“祖率”。

日本数学史家三上义夫将这一分数命名为“祖率”，以纪念祖冲之的贡献。

祖冲之将圆周率精确到小数点后七位的方法，学术界至今仍有不同说法。

有学者认为他是在计算24576边形过程中得到了3.1416，再化为分数，也有学者推测他使用了“调日法”来处理分数近似值。

这些推测都有各自的依据，但祖冲之究竟如何完成这一计算的具体过程，因其著作《缀术》的失传而无法确知。

《缀术》五卷曾被唐初列入《算经十书》之一，唐代国子监将《缀术》列为必读算经，学习年限为四年，在十部算经中耗时最长。

然而“学官莫能究其深奥，故废而不理”，这部著作在十世纪以后逐渐失传。

值得注意的是，祖冲之计算圆周率并非纯粹的数学兴趣。

圆周率的精算直接服务于天文观测中的数据校验，天文测量中涉及圆形轨道、角度换算、天体视运动计算，都离不开精确的圆周率。

这一数学工具的应用，在他随后编撰《大明历》的过程中发挥了关键作用。

公元462年，祖冲之完成了他一生中最重要的天文历法著作《大明历》。

这一年是宋孝武帝大明六年，故新历以“大明”为名，又称“甲子元历”。

《大明历》最重要的创新，是首次将“岁差”引入历法计算。

岁差的概念并非祖冲之首先发现。

东晋天文学家虞喜在公元330年前后，通过比较历史上冬至点的观测记录，发现太阳从第一年冬至环行一周天到第二年冬至时，并没有回到原来的位置。

虞喜认识到太阳在天球上运动一周天并不等于冬至到冬至的一周岁，首次发现了岁差的存在。

然而在虞喜之后的一百多年里，岁差始终停留在天文学理论层面，没有人将其纳入历法计算的实践。

祖冲之做到了。

他在上表中指出，旧历法“并令冬至日有定处，天数既差，则七曜宿度，渐与历舛”，认为冬至点不应固定不变，而应“岁岁微差”。

他根据自己长期的天文观测，将岁差引入《大明历》，使冬至太阳所在的位置逐年变动，从而将恒星年与回归年区别开来。

祖冲之测定岁差为每四十五年十一个月差一度，虽然这个数值不够精确（按现代测定，约七十余年差一度），但他最早将岁差引进历法，这是中国历法史上一次重大进步，对后世提高历法准确性有重要意义。

《大明历》的另一项革新是改进闰法。

传统历法采用“十九年七闰”的置闰方式，即每十九年安排七个闰月。

祖冲之经过推算发现，这种置闰方式“闰数为多，经二百年辄差一日”，于是将置闰周期改为“三百九十一年一百四十四闰”。

这个新闰周较旧法更为精密，能使历法更贴近天象的实际运行。

在具体数据方面，《大明历》测算回归年为365.2428日，与现代测定值仅相差约五十秒；朔望月长度为29.5309日；交点月为27.21223日，与现代测定值27.21222日相比只差十万分之一日。

这些数据在当时都达到了极高的精度。

祖冲之还重新测定了木星的公转周期。

他通过观测发现木星每八十四年超辰一次，据此定木星公转周期为11.858年，与现代测定值11.862年相当接近。

他还测定了五大行星的会合周期，其中木星398.903日（误差0.019日），火星780.031日（误差0.094日），土星378.070日（误差0.022日），金星583.931日（误差0.009日），水星115.880日（误差0.002日）。

这些数据的精确程度，反映了祖冲之天文观测的细致和计算能力的扎实。

在天文观测方法上，祖冲之也有创新。

公元461年，他发明了由晷影观测计算冬至时刻的新方法：首先测量冬至前二十二日和冬至后二十二、二十三日的晷影长度，通过三个数据点来推算冬至的精确时刻。

这种方法比前人的做法更为精密，为《大明历》的编制提供了可靠的实测基础。

然而，《大明历》编成之后，并未能立即颁行。

朝堂上的反对声来自戴法兴。

据《南齐书》记载，戴法兴认为祖冲之“诬天背经”，指责他擅自改变古历。

祖冲之并未退缩，他针对戴法兴的论点逐一反驳，“历数古六历为黄帝、颛顼等圣贤所作的观念是缺乏依据的，一口气提出其‘可疑之据’有六”。

他以古六历中的周历和鲁历推算《春秋》日食，用具体的数据来证明旧历的疏漏。

面对戴法兴“历法是古人制定的，后代的人不应该改动”的蛮横态度，祖冲之回答：如果有事实依据，就拿出来辩论，不要拿空话来吓唬人。

宋孝武帝令朝士中懂历法的人与祖冲之辩论，但“不能屈”。

然而，孝武帝虽然认可祖冲之的论证，却仍然不肯颁布新历。

宋孝武帝曾决定在大明九年改行新历，但他在这一年驾崩，改历之事随之搁置。

此后，祖冲之被调至娄县任县令，又回到建康担任谒者仆射等职。

入齐后，他转任长水校尉。

齐文惠太子萧长懋在东宫时见到祖冲之的历法，曾启奏齐武帝施行，但文惠太子不久去世，此事再次搁置。

在等待历法被采纳的漫长岁月里，祖冲之并没有停止工作。

他撰写了《安边论》，主张开垦荒地、发展农业，以巩固边防。

齐明帝曾打算派他巡行四方，兴造利民大业，但因连年军事行动而未能成行。

祖冲之的才华远不止于数学和天文。

据《南史》记载，他“解钟律，博塞当时独绝，莫能对者”，精通音律，擅长博塞之戏，在当时无人能与之匹敌。

他还著《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》《孝经注》等哲学著作，撰有小说《述异记》十卷。

《述异记》中记载有“驾鹤之宾”的传说，后代学者认为这是关于黄鹤楼神仙传说的最早记载。

在机械制造方面，祖冲之同样展现了惊人的才能。

他改造了指南车。

宋武帝平定关中时，从后秦姚兴处获得一辆指南车，但只有外壳，内部机械已损坏，行走时需人在车内转动木人指示方向。

宋升明年间，萧道成辅政，让祖冲之“追修古法”。

祖冲之“改造铜机，圆转不穷而司方如一”，时人誉为“马钧以来未有也”。

他还制造了千里船，在新亭江试航，“日行百余里”。

在乐游苑中，他制造了水碓磨，将水碓和水磨结合起来，能同时舂米和磨粉，生产效率大为提高。

齐武帝曾亲自前往观看。

他还曾制造欹器献于竟陵王萧子良，这种器具用来盛水“中则正，满则覆”，古人常置于身边以自警。

公元500年，祖冲之在长水校尉任上去世，享年七十二岁。

他至死未能看到《大明历》的颁行。

祖冲之去世后，他的儿子祖暅之继承了父亲的事业。

祖暅之，字景烁，约生于公元456年，卒于536年。

据《南史》记载，他“少传家业，究极精微，亦有巧思入神之妙”，当他思考问题入神时，“雷霆不能入”。

有一次他走路时思考数学问题，一头撞到了仆射徐勉身上，徐勉喊他，他才回过神来。

祖暅之在数学上的重要贡献是提出了“祖暅原理”：两个高相等的立体，如果在任意等高处截面的面积相等，它们的体积也相等。

这一原理比意大利数学家卡瓦列利至少早一千一百年。

他运用这一原理求出了刘徽设计的“牟合方盖”的体积，彻底解决了球体积计算问题。

在天文观测方面，祖暅之也做出了重要贡献。

约公元502年至504年间，他在嵩山立八尺铜表，圭面置水取平，观测北极星的位置。

经过约两年的观测，他得出结论：北极星并不正好在北天极处，两者之间有一度多的度距。

这是中国天文学史上第一次以实测数据证明北极星偏离北天极。

此前，从东汉贾逵、张衡到东吴王蕃、陆绩，都以为北极星就是北天极所在的位置。

祖暅之的发现不仅具有理论意义，在天文仪器的极轴安置上也具有重要的实际价值，可以大大减小因将北极星误当作北天极而造成的浑仪极轴安置误差。

祖暅之还修订了《大明历》。

他重新实测了《大明历》中的各项数据，先后三次上书朝廷，建议颁布实施。

距祖冲之最初上表四十八年之后，梁武帝天监九年，即公元510年，《大明历》终于得以正式颁行，一直施行至陈朝灭亡，共八十年。

祖暅之的儿子祖皓，同样继承了家学，“少传家业，善算历”，曾任广陵太守，有惠政。

侯景之乱时，祖皓起兵讨伐侯景，兵败被俘。

据《南史》记载，祖皓“被缚射之，箭遍体，然后车裂以徇”，兄弟子侄遇害者十六人。

一个以数学和天文闻名的家族，最终在南朝末年的战乱中付出了惨烈的代价。

回到祖冲之本人。

他的科学成就，体现了数学与天文学之间的深刻互动。

圆周率的精算为天文数据的校验提供了数学基础，而天文观测中遇到的复杂问题又推动着数学理论的创新。

《大明历》中岁差的引入、闰周的改进、五星会合周期的测算，无一不依赖精确的计算；而圆周率计算中“割圆术”的极限思想，又与天文学中对天体运动规律的研究一脉相承。

这种数学与天文的相互促进，使祖冲之的研究超越了单一学科的局限，达到了跨领域融合的高度。

祖冲之的科学成就得到了后世的广泛认可。

华罗庚在《从祖冲之的圆周率谈起》中评价：“祖冲之不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐，并且还是一位文学家”。

李约瑟在《中国科学技术史》中指出：“在这个时期，中国人不仅赶上了希腊人，并且在公元五世纪祖冲之和他的儿子祖暅的计算中又出现了跃进，从而使他们领先了一千年”。

为了纪念这位伟大的科学家，1964年，紫金山天文台将发现的国际永久编号为1888号的小行星命名为“祖冲之星”；1967年，国际天文学联合会将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之环形山”。

在法国巴黎“发现宫”科学博物馆的墙上，祖冲之的名字与世界著名科学家的名字并排列在一起；在俄罗斯莫斯科大学礼堂前的走廊上，祖冲之的彩色塑像与其他科学巨匠并列。

建康城的宫阙早已湮没于现代南京的城市之下，华林学省和总明观的旧址上也建起了新的建筑。

但祖冲之当年用算筹推演出的那组数字——3.1415926与3.1415927——仍然在数学课本上被一代又一代的学生读到。

他将圆周率精确到小数点后七位，测定回归年为365.2428日，将岁差引入历法，重新测算木星公转周期，这些成就中的每一项都足以在科学史上留下名字。

而他同时完成了所有这些工作，还在音律、文学、机械制造领域都有建树。

在南北朝那个战乱频仍的时代，一个出身官宦世家的读书人，没有选择追求清谈虚名，而是“亲量圭尺，躬察仪漏”，用算筹和窥管丈量天地。

一千五百多年后，月球上的一座环形山和太空中一颗编号1888的小行星，仍在替他注视着这片他曾经仰望过的星空。