王的猜想，刚刚扩展到四维

听雨 发自 凹非寺
量子位 | 公众号QbitAI

今年7月，王虹、邓煜在费城国际数学家大会上拿下菲尔兹奖。

消息刷屏那几天，Anthropic员工Alek Dimitriev在X上发了一句：

这届菲尔兹奖，将是人类最后一次拿到这个奖。

往届得主Timothy Gowers跟帖，说自己也有过类似的想法。

不过这个过程有滞后，所以我想他们大概能撑到2030年。

谁能想到…Gowers你可能还是乐观了。

10月7日，OpenAI一口气放出了722篇数学手稿，论文和部分Lean证明全部上传Github。

其中编号074的一组只有两篇，正是王虹拿奖的那个方向：挂谷猜想。

一篇声称证明了三维挂谷极大函数猜想，比王虹和Zahl证明的版本更强。

另一篇声称证明了四维挂谷猜想。

两篇手稿加起来272页，作者栏只有一个词：OpenAI。

王虹与Joshua Zahl刚解决三维挂谷集维数猜想，AI便把相关结果推到了四维。

难道…今年这届菲尔兹奖，真的是人类数学的最后一届么？

OpenAI的两篇挂谷论文，具体做了什么？

1917年，日本数学家挂谷宗一提了个问题：在平面上让一根长度为1的针掉头转一圈，最少需要多大的面积？

△挂谷问题的示意图

Besicovitch给出了一个反直觉的答案：面积可以任意小。更离谱的是，一个集合可以在每个方向上都装下一根单位长的针，面积却是零。

面积靠不住，数学家就换了把尺子，用「维数」来量。

这里的「维数」不只是长、宽、高的日常概念。对于这种形状极不规则的集合，数学家会用Hausdorff维数、Minkowski维数等工具，衡量它在不同尺度下到底有多复杂。

一个集合的体积可以是0，但它仍可能拥有完整的空间维数。

挂谷猜想指的是：在n维空间里，只要一个集合在每个方向上都装得下一根单位线段，它的维数就必须是满的n维。

难点在于，这些看起来很细的线段如何交错、重叠，以及重叠之后还能不能把集合压得更小。

△挂谷问题的示意图

平面情形1971年就被Davies证完了；三维卡了半个世纪，直到2025年2月被王虹和Joshua Zahl拿下。

四维及以上，至今没人证出来。

OpenAI这次公开的两篇手稿，分别处理了挂谷问题的两个版本。

第一篇：三维挂谷极大函数猜想

依然是三维，但题目换成了更难的版本。

可以先把它想成一个「管子重叠控制」问题：把许多根细长的管子放进三维空间，每根管子代表针的一个方向。

△OpenAI公开的三维挂谷极大函数猜想论文首页

数学家要研究的是，当这些管子朝向各不相同的方向时，它们能重叠到什么程度，又能否用一个统一的估计控制这种重叠。

王虹和Zahl证明的是「集合版」，研究的是这些针堆在一起至少占多大地方。

而OpenAI证明的「极大函数版」则研究得更加细致：

把每根针加粗成一根细管子，假设每根管子里只有一部分是「实心」的，比例记作λ。所有实心部分并在一起，体积能不能保证不小于λ³这个量级？

λ越小，管子越空，越难控制。集合版只需要一个比较宽松的λ的幂次就够了，极大函数版则要求这个幂次恰好是3。

这一点在OpenAI论文的引言里也明确写出：王虹和Zahl的定理给出的是λ的K(ε)次方，「换成λ³的需要」在他们定理之后就已经被明确提出。

也就是说，这是王虹和Zahl留下的下一步。而OpenAI这篇97页的论文，声称把这一步解决了。

这为什么重要？因为挂谷极大函数把「各种方向的细管如何挤在一起」变成了可计算的分析问题。

它与傅里叶分析中的一些核心猜想相连，也长期被认为是理解波、频率和空间集中现象的重要工具。

1971年，Fefferman就是用挂谷集合构造反例，证明了高维的球乘子除L²外都不有界。此后挂谷问题就和傅里叶限制猜想、Bochner-Riesz猜想紧紧联系在了一起。

第二篇：四维挂谷集的Hausdorff维数

四维这边，人类此前的进度是这样的：

1995年，Wolff用「发刷」方法证到维数至少3；

后来Guth和Zahl用多项式方法推到3+1/40，大约3.025；

2019年，Katz和Zahl用「平面刷」推到3.059；

之后的进展，基本都在小数点后第二三位上挪动。

而OpenAI这篇175页的论文，声称直接证到4。

△OpenAI公开的四维挂谷集Hausdorff维数猜想论文首页

四维难在哪？Guth在综述里指出，王虹和Zahl三维证明里的关键定理，搬到四维就不成立了。

因为高维空间里，管子可以扎堆聚在低次代数曲面附近，形成三维里没有的反例结构。

而OpenAI四维论文的核心工具瞄准了这个问题：用二次多项式在不同尺度上做局部拟合，追踪那些跨尺度持续聚集的线。

全文中，「polynomial」一词出现了213次。

还有一个细节，四维论文的关键输入之一，引用的正是三维那篇OpenAI论文里的一个引理。相当于两篇论文是一条链路，三维的更强版本给四维铺了路。

因此也可以说，它把王虹的成果往前推了一大步。三维上把她的定理加强到了极大函数版本，四维上把一个卡在3点几的问题直接推到了4。

但这篇论文依然有边界，四维只证了Hausdorff维数版本，没有解决四维的极大函数猜想；五维及以上也没有证完，论文只用投影给出了一个下界。

而且值得注意的是，074号这组成果没有Lean形式化，也没有经过同行评审。

OpenAI在README里写道：一些未经形式化的结果「可能有问题」。

王虹做了什么？

有人说，王虹赶在AI之前拿下菲尔兹奖，算是幸运。

真的是这样吗？

翻开OpenAI这两篇论文的全文，出现最多的名字之一就是王虹。

仅三维那篇，「Wang」就出现了23次。

三维挂谷这座山峰，人类数学家已经爬了很多年。

Katz、Łaba和Tao很早就发现，近乎极端的管子构型会呈现三种结构：粘性、平面性、颗粒性。

但几十年里，没人能把它们做成一个完整的证明。

王虹和Zahl分了三步走：

2022年，先证了「粘性」挂谷集合的情形，后来发表在《美国数学会杂志》上。

2024年，拿下Assouad维数版本。

2025年2月，放出127页的完整证明，三维挂谷集合猜想的Hausdorff维数和Minkowski维数版本一起解决。

△王虹与Joshua Zahl关于三维挂谷集猜想的论文

Nets Katz评价，这是「百年一遇的结果」。

同一时期，王虹还和任康解决了平面上的Furstenberg集合猜想，这也是调和分析里的一个老问题。

这些工作，现在都成了OpenAI论文的地基。

三维论文直接调用了Guth、王虹、Zahl三人的简化证明，Guth正是王虹在MIT读博时的导师；它还用到了任康和王虹的平面Furstenberg估计。

四维论文则用到了王虹和Zahl的一个点积定理。

如果两篇论文最终被确认成立，它们也是在王虹搭好的框架上，往上加盖了两层。

而且，王虹对AI的态度也并非排斥。

获奖后接受采访时，她把AI形容为数学研究的「主动性助推器」，认为提出问题、创造概念、构建理论这些事，仍然是数学家的核心工作。

人类数学界，已经炸了。。。

现在，大概就是人类数学的「危急存亡之秋」了。

过去一个重要数学结果的生命周期大概是：一个人或一个小团队花好几年做出来，挂到arXiv，同行花一两年审稿，学界慢慢消化。

等结论水落石出，再过几年，奖项才最终敲定。

王虹和Zahl走完这条路，从2022年的粘性情形到2026年的菲尔兹奖，用了将近四年。

而OpenAI这次则一夜之间放出722篇数学手稿，平均每个结果大约用了三个小时的ChatGPT Pro思考算力，只有约42%的结果做了Lean形式化。

简直跟挑衅一样……

陶哲轩已经牵头人类数学协会（AHM）发布重磅联合声声明，全面抵制OpenAI。

其中措辞相当严重：

数学家们并没有要求做这些工作。一次性发布700多个文件，展示的不是学术，而是权力。

声明最后强烈敦促所有数学家停止与OpenAI合作，回到以人类理解为核心的科学愿景。

陶哲轩本人一直是AI辅助研究的积极使用者，他反对的是把批量攻克著名难题当成产品展示。

在他看来，一道题被AI解掉，就没法再变回未解决的状态，人类数学家原本可能在这道题上发展出的新方法和新理解，也就跟着断掉了。

而且现在，审稿成了最大的瓶颈。

一篇175页的四维挂谷证明，全世界能认真读懂的人屈指可数，谁来读，花多久，算谁的工作量，这些答案统统都未可知。

署名和归属也开始变得混乱。研究同一问题的学者，可能一觉醒来，就发现自己做了几年的题目已经被一个模型「声称」解决了。

这些AI生成的证明，对不对还没人知道，但选题已经很难再做下去。

当然，也有人感到兴奋。

比如多伦多大学的数学助理教授Daniel Litt，认为数学家接下来有大量激动人心的工作要做。

Yann LeCun也认为，恰恰相反，数学正在迎来新时代。

形式证明将大幅自动化，重点将转向发展新概念、新抽象、新定义和新猜想。

船的发明降低了游泳的重要性，却让我们发现新大陆。

数学界正处在新旧秩序剧烈碰撞的关口，旧的研究方式受到冲击，新的轨道还没有成形。

未来会走向哪里，眼下还没有答案。但我们更愿意相信：沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春。

Gowers说，人类大概能撑到2030年，而下一届菲尔兹奖，恰好就在2030年颁发。

到那时候，还会有人类站上领奖台吗？

参考链接：
[1]https://x.com/Xudong07452910/status/2108004449482572022
[2]https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/The-Kakeya-maximal-conjecture-in-three-dimensions-September-23-2026/paper.pdf
[3]https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Every-four-dimensional-Kakeya-set-has-full-Hausdorff-dimension-September-24-2026/paper.pdf