天津
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纳维–斯托克斯方程诞生于 19 世纪，用来描述水、空气等流体如何运动。飞机周围的气流、海水的运动、血液流动以及湍流，都可以在不同条件下用它描述。
但对于三维不可压缩流体，一个看起来非常基础的问题始终没有答案：如果流体一开始运动得很平滑，那么这种平滑性是否能够永远保持？还是说，经过有限时间之后，某个区域会突然变得无限剧烈，使方程本身失去正常的数学解？
图示：飞机尾流中的混沌涡旋可能增加空气动力学阻力。
这就是 Clay Mathematics Institute 在 2000 年公布的七大「千禧年大奖难题」之一，奖金为 100 万美元。官方问题要求证明三维纳维–斯托克斯方程始终保持光滑，或者构造出会发生有限时间破裂的解。
9 月 8 日，OpenAI 公布了一套由内部 AI 系统产生的解析证明和 Lean 形式化证明，给出了一个有限时间形成奇点的构造。9 月 11 日，Clay 表示这项工作「看起来已经解决」了该问题，但按照大奖规则，论文仍需经过评审和长期检验，目前并没有宣布奖金归属。
有限的范围
纳维-斯托克斯方程已知在某些情况下无法模拟现实。千禧年问题聚焦于不可压缩流体，这很好地描述了水等液体了，对于那些可压缩流体，研究者早已知道了与之奇点对应版本的方程。
在 OpenAI 的构造中，一个旋涡不断向内旋转，同时被拉得越来越细长。核心区域持续收缩，流体速度不断增加，最终在有限时间内形成奇点。整个过程中，流体能量仍然保持有限。
图 2：局部不可压缩流体的一个瞬时状态。
据此构造，应用数学家 George Karniadakis 估算，对于空气而言，奇点出现时旋涡核心的宽度大约只有 70 纳米，已经接近空气分子之间典型的平均自由程。
纳维–斯托克斯方程本身把流体当成连续介质。也就是说，它并不逐个追踪空气分子，而是把大量分子的整体行为压缩成速度、压力、密度等连续场。当一个结构小到只有少量分子尺度时，这种近似自然会变得不再可靠。
因此，数学上的「奇点」与现实中的「无限速度」并不是同一件事。更准确地说，这个结果揭示了一个连续介质理论在极端尺度下可能出现的数学破裂，而真实物理系统需要换一种描述方式。
一种候选方案是 Boltzmann 方程，它直接从分子统计行为出发；另一种方法则是分子动力学，但后者计算成本极高。Nature 提到，2024 年超级计算机曾模拟约 1550 亿个水分子，而这样的体系仍然只相当于微米尺度的一个小立方体。
物理学仍有发挥空间
事实上，大部分工程和自然尺度上的流体问题仍然不需要追踪单个分子。
传统计算方法因此经常需要在不同尺度之间做近似。研究人员可能在大尺度使用纳维–斯托克斯方程，在更小的尺度使用分子动力学，再用中间层模型连接两者。Nature 将这种思路称为「triple decker」。
而 AI 介入的，正是这个多尺度计算最困难的部分。
近年的流体研究已经开始使用神经算子学习流体方程的长期演化，用机器学习建立湍流闭合模型，甚至把神经网络直接嵌入传统 CFD 求解器中。这样做的目的并非取代物理方程，而是让模型学习那些传统方程难以直接解析的复杂尺度信息，同时减少一部分昂贵的数值计算。
这种复杂情况能很好地体现混沌动力学上。DeepMind 及其他地方的研究人员利用它基于观测数据建模天气系统的行为，而无需明确解解任何支配物理的方程。
https://deepmind.google/science/weathernext/
这说明 AI 对于复杂数学和物理问题的参与方式正在发生变化。它越来越能够承担大量搜索、试算和方案比较工作，而人类研究者需要进一步判断哪些结构具有物理意义、哪些结果能够被严格证明，以及这些数学结论如何与真实世界对应。
https://www.nature.com/articles/d41586-026-02922-6
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