一张单位圆，推完40个三角函数公式，不用死背

我是老周，教了十几年高中数学。

先讲个事。

去年开学第一周，一个学生找我，说三角函数公式背到崩溃。

我问他：你背了多少条？

他说：诱导公式二十多条，和差角六条，倍角半角一堆，积化和差和差化积又八条。加起来四十多条。

我问：正负号记得住吗？

他说：记不住。每次用都靠猜。

我说：你别背了。你画一个单位圆。

他愣了：一个圆？

我说：一个圆，推完所有公式。

今天我把这四十条公式的推导过程，一次讲清楚。不是让你背，是让你画。

先说明：以下为高中数学知识整理，纯知识科普。

一、单位圆是什么

单位圆，就是半径为1的圆。

圆心在原点，半径等于1。

圆上任意一点P，坐标是(x，y)。

那么，cos等于x，sin等于y。

这就是三角函数的定义。

不是背出来的，是从单位圆上“看”出来的。

你看到单位圆上的点，横坐标就是cos，纵坐标就是sin。

比如30度角的点，坐标是(√3/2，1/2)。所以cos30°=√3/2，sin30°=1/2。

数据：单位圆定义法最早由欧拉在《无穷分析引论》中系统提出。它把三角函数从直角三角形推广到任意角，是现代三角函数的基石。

二、第一组：同角关系

从单位圆上，直接得到。

点P在单位圆上，坐标(x，y)。x²+y²=1。

所以sin²α+cos²α=1。

这是第一条。

tanα=sinα/cosα。因为tan是对边比邻边，在单位圆上就是y/x。

所以tanα=sinα/cosα。

数据：同角三角函数基本关系式共三条。sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα，1+tan²α=1/cos²α。

三、第二组：诱导公式

诱导公式二十多条，不用背。画单位圆。

核心口诀：奇变偶不变，符号看象限。

怎么从单位圆看？

你把角α的终边，旋转180度，得到α+180°。坐标从(x，y)变成(-x，-y)。所以sin(α+180°)=-sinα，cos(α+180°)=-cosα。

旋转90度，得到α+90°。坐标从(x，y)变成(-y，x)。所以sin(α+90°)=cosα，cos(α+90°)=-sinα。

旋转-α，得到关于x轴对称的点。坐标从(x，y)变成(x，-y)。所以sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα。

旋转180°-α，坐标变成(-x，y)。所以sin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosα。

所有诱导公式，都是旋转单位圆上的点。

案例：我有个学生，诱导公式总错。我让他每道题先画单位圆，标出旋转后的点。画了十道题，不错了。

数据：诱导公式共20多条。用单位圆理解，可以在一节课内全部推导出来，不用背。

四、第三组：和差角公式

和差角公式，是三角函数的重头戏。

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

怎么推？

在单位圆上画两个角，α和β。

用两点间距离公式，或者向量点积，可以推出来。

推导过程只用单位圆和坐标，不用背公式。

cos(α+β)推导：设α和β的终边与单位圆交于A、B两点。A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)。将B旋转-α，得到B'(cos(β-α)，sin(β-α))。计算AB和A'B'的距离，相等，展开得到cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。

sin(α+β)用诱导公式：sin(α+β)=cos(90°-α-β)=cos[(90°-α)-β]，然后套cos差角公式。

数据：和差角公式共6条。sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)。全部可从单位圆和诱导公式推出。

五、第四组：倍角公式

倍角公式，就是和差角公式里，令β=α。

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α

tan2α=2tanα/(1-tan²α)

不用背。你把和差角公式里的β换成α，就出来了。

案例：我有个学生，倍角公式总记混。我让他先写和差角，再把β换成α。写了三遍，记住了。

数据：倍角公式共3条。全部由和差角公式推导而来。

六、第五组：半角公式

半角公式，由倍角公式反推。

cos2α=1-2sin²α，所以sin²α=(1-cos2α)/2。

cos2α=2cos²α-1，所以cos²α=(1+cos2α)/2。

把α换成α/2，得到半角公式。

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]

正负号看α/2在哪个象限。

数据：半角公式共3条。正负号由半角所在象限决定。

七、第六组：积化和差

积化和差，由和差角公式加减得到。

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ

sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ

cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ

cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ

把上面四个式子，反过来写，就是积化和差。

数据：积化和差公式共4条。由和差角公式加减得到。

八、第七组：和差化积

和差化积，由积化和差反推。

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

把积化和差里的α+β和α-β，换成新的变量，就得到和差化积。

数据：和差化积公式共4条。由积化和差公式换元得到。

九、第八组：万能公式

万能公式，用tan(α/2)表示所有三角函数。

sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]

cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]

由半角公式和同角关系推导。

数据：万能公式共3条。由半角公式推导。

十、独立风险分析：单位圆不是万能，乱用会错

现在你知道单位圆推公式了。

但我要说一个别人不敢说的观点：单位圆不是万能，乱用会错。

市面上讲三角函数，十个有九个在说“画单位圆就行”。

这是最大的误导。

单位圆是基础。但有些公式，单位圆推起来很麻烦。比如积化和差，用和差角公式加减更直接。

风险一：象限判断错，正负号全错。

单位圆上的点，在第几象限，坐标正负不同。你象限搞错，符号就错。

风险二：角度制和弧度制混用。

单位圆上，角度和弧度要统一。你写sin(π/6)和sin(30°)，数值一样，但公式推导时不能混。

风险三：只画圆不练代数变形。

单位圆帮你理解，但考试要写过程。你只会画圆，不会写推导步骤，大题照样丢分。

我的观点：单位圆是地图，代数变形是走路。

你先用单位圆理解公式来源。再用代数变形练熟推导过程。

数据：三角函数学习中，单位圆理解和代数推导缺一不可。只画圆不练推导，考试大题容易丢分。

十一、案例：用单位圆推公式，三个月从60到90

我有个学生，三角函数58分。

我让他别背公式了。先画单位圆。

每天画十个角，标坐标，推诱导公式。推了一周，诱导公式全通了。

再推和差角。用两点间距离公式推。推了三天，和差角通了。

倍角、半角、积化和差、和差化积，全部从和差角推。

三个月后，他考了90分。

不是他变聪明了。是他有了源头。

十二、案例：只背公式，考试翻车

另一个学生，公式背得滚瓜烂熟。

但考试题目变了一下，他就懵了。比如sin(α+β)推cos(α+β)，他记混了。

我让他画单位圆。他画了，发现cos(α+β)和sin(α+β)就差一个符号。他理解了。

不是公式难。是他没搞懂源头。

十三、40个公式速查表

同角关系： sin²+cos²=1，tan=sin/cos，1+tan²=1/cos²。

诱导公式： 奇变偶不变，符号看象限。

和差角： sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)。

倍角： sin2α，cos2α，tan2α。

半角： sin(α/2)，cos(α/2)，tan(α/2)。

积化和差： 4条。

和差化积： 4条。

万能公式： 3条。

数据：以上公式共40条左右。全部从单位圆和和差角公式推导而来。

十四、结尾：一张单位圆，推完40个公式

三角函数公式，不是40个互不相干的知识点。

它们都从单位圆来。

单位圆上，横坐标是cos，纵坐标是sin。

诱导公式是旋转。和差角是两点距离。倍角是令β=α。半角是反推。积化和差是和差角加减。和差化积是换元。

一张单位圆，推完40个公式。

但记住：单位圆是地图，代数变形是走路。两个一起练，三角函数才真通。

你学三角函数的时候，是死背公式还是画单位圆？评论区聊聊。