一道题，8种解法！高中求函数最值，原来思路可以这么开阔

教高中数学这么多年，我发现一个很有意思的现象：

很多同学做最值题，手上永远只有两把“刀”——要么配方，要么求导。遇到复杂一点的题目就卡壳，总感叹想不到、不会做。

其实不是孩子不够努力，是平时缺少「一题多解」的训练，不知道同样一道题，可以从完全不同的角度去攻破。

今天我们就拿一道非常经典的例题：求f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\;(0

这8种方法几乎覆盖了高中求最值最核心的工具，每一种我都会讲清楚：怎么做、好在哪、什么时候用。建议收藏，以后遇到最值题，就知道手里还有哪些武器。

方法一：平方法+二次函数配方

这个方法门槛最低，基础好的高一学生就能掌握。

因为f(x)是两个根号相加，而且函数值大于0，我们可以先两边平方：

f^2(x)=1+2\sqrt{-x^2+x}

里面-x^2+x配方之后等于-(x-\dfrac12)^2+\dfrac14，它的最大值就是\dfrac14。

代入就能得到f^2(x)\le2，所以f(x)\le\sqrt2，等号在x=\dfrac12取到。

优点很明显：不需要记高级公式，普适性很强。

但大家也要知道它的局限：不是所有带根号的式子平方之后都能凑出漂亮二次函数，只适合两根式平方之后可以消项、出现常数的题型。

方法二：基本不等式（AM‑GM均值）

基本不等式应该是高中生的老朋友了：2\sqrt{ab}\le a+b。

这里取a=x，b=1-x，马上得到2\sqrt{x(1-x)}\le1。

再代回平方后的表达式f^2=1+2\sqrt{x(1-x)}\le2，直接得到结果。

这一步放缩非常干净利落，如果能观察出乘积有定值，基本不等式往往是最快的。

⚠️注意：用均值不等式一定要检查「一正二定三相等」，很多同学只顾套公式，忘了验证等号能不能取到，考试会扣分。

方法三：三角换元

看到x+(1-x)=1，也就是平方和可以凑成1的时候，老考生第一反应就是三角换元。

令x=\sin^2\theta，\theta\in(0,\dfrac\pi2)，那么\sqrt{1-x}=\cos\theta，原式就变成\sin\theta+\cos\theta。

再用辅助角公式：\sqrt2\sin(\theta+\dfrac\pi4)\le\sqrt2，当\theta=\dfrac\pi4也就是x=\dfrac12取到最大值。

三角换元的精髓，就是利用三角函数天然的有界性去锁死范围。以后看到\sqrt t+\sqrt{1-t}或者a^2+b^2=定值，都可以往这个方向想一想。

方法四：导数法

导数可以说是求最值的“兜底大法”。

对函数求导：f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}，令导数等于0，解出来x=\dfrac12。

再判断单调性：x\in(0,\dfrac12)时导数大于0，函数递增；x\in(\dfrac12,1)导数小于0，函数递减。

所以x=\dfrac12就是极大值点，也是最大值点，f(\dfrac12)=\sqrt2。

我经常跟学生说：哪怕你看不出任何巧妙结构，只要函数可导，导数法几乎都能算出来。但缺点也很明显——计算量大，如果有更快的路，没必要每次都“硬刚”导数。

方法五：柯西不等式

很多同学只在选修听说过柯西，却不知道它对付这种根号相加有多香。

柯西：(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2)^2。

取a_1=\sqrt x,\ a_2=\sqrt{1-x},\ b_1=b_2=1，

直接得到：(\sqrt x+\sqrt{1-x})^2\le(x+1-x)(1+1)=2，一步到位。

这种「点积型结构」就是柯西的主场，熟练之后简直是秒杀，不需要中间复杂展开。

方法六：向量数量积法

这个方法本质和柯西相通，但思考角度不一样，适合喜欢几何感的同学。

我们构造向量\vec u=(\sqrt x,\sqrt{1-x})，\vec v=(1,1)。

根据向量不等式：\vec u\cdot\vec v\le|\vec u|\cdot|\vec v|。

左边就是\sqrt x+\sqrt{1-x}，右边是\sqrt{x+(1-x)}\times\sqrt{1+1}=\sqrt2。

你看！代数问题瞬间转化成向量投影，非常直观。当然，这个方法不是万能，只有能方便构造向量的时候才好用。

方法七：Jensen（琴生）不等式

琴生不等式很多同学觉得超纲，但在选填里面偷偷用，效率极高。

我们观察g(t)=\sqrt t，它的二阶导数小于0，是凹函数。

凹函数有个性质：中点的函数值大于等于函数值的平均。

于是：\dfrac{g(x)+g(1-x)}{2}\le g(\dfrac{x+1-x}{2})，

也就是g(x)+g(1-x)\le\sqrt2。

它特别适合对称型、单变量凹函数，但一定要分清凸函数和凹函数，方向搞反就全错了！

方法八：几何意义（线性规划+截距）

还有一个思路：把代数翻译成图形。

设u=\sqrt x>0,\ v=\sqrt{1-x}>0，那么约束条件就是u^2+v^2=1，目标是求z=u+v的最大值。

u+v=z就是一条直线，z就是截距。当这条直线和四分之一单位圆相切的时候，截距达到最大，z_{max}=\sqrt2。

不用算复杂代数，画图就能看懂，非常适合空间感强的孩子。

讲完这8种方法，我想和同学们说几句心里话。

我们做「一题多解」，绝对不是炫技！

现实考试里，没有人会要求你一道题写8种方法。真正的好处是：通过一道题，把散落在课本不同章节的工具串起来。

我给大家一个很实在的参考：速度上，均值≈柯西≈平方法＞三角换元；稳妥度上，导数永远兜底。

平时练习，可以多想几条路；正式考试，挑最快那条走。

很多学生学数学有一个误区：只求答案对，不问思路从哪来。但真正拉开差距的，恰恰就是你脑子里工具箱里，到底装了多少把钥匙。

同样一道题，学霸能一眼看出3条路，而有的人只会一条路，还经常走不通。

把每一道经典题吃透，胜过盲目刷几十道新题。