数学家借助随机性破解了一个55年前的猜想

已故的Ronald Graham有两重身份。他是一位著名数学家，曾担任美国数学学会主席。他也是一位认真的杂耍爱好者，还当过国际杂耍者协会的主席。他的妻子、加州大学圣地亚哥分校的数学家Fan Chung说：“他喜欢各种花招，转球、转衣架、同时转好几个球、把笔往墙上扔。”

有时Graham会同时戴上这两顶帽子。他在1980年接受电视采访时说：“事实上很有意思，很多数学家和计算机科学家都对杂耍感兴趣。我觉得这源于对模式和结构的追寻。”

他后来写了许多论文，其中一些与Chung合作，主题是杂耍的数学。但早在1971年，也就是在他明确建立这种联系几十年前，他提出了一个问题。一些数学家现在说，这个问题可能也受到了杂耍的启发。

一个关于排列的问题

先取一组随机的、互不相同的整数，不包括零。你能不能总是重新排列它们，使得如果你把前两个数相加，再把前三个数相加，再把前四个数相加，依此类推，每一个“部分和”都不相同？用杂耍的语言说就是：如果每个球在空中停留的时间都不一样，你总能找到一种抛接顺序，让两个球不会在同一拍同时落下——那样表演就砸了。

如果所有数字都是正数，那么Graham问题的答案显然是可以的：加的数越多，和就越大。同样，如果这些数字中正负数都有，答案也是已知的可以。但如果这些数字生活在一个有限的世界里呢？比如像钟表上的数字那样，数到某个数就绕回来重新开始。

这正是Graham想知道的。他猜想答案仍然是肯定的。他认为，即使面对严格的约束，通常也能找到足够的灵活性来构造特殊的模式或结构——就像尽管数独或拉丁方阵规则繁多，通常还是能找到一个合法的解。普林斯顿大学的数学家Noga Alon说：“这很契合那些关于设计和高度对称结构的问题。”但几十年来，没有人能证明Graham的直觉是对的。

直到最近，几个年轻数学家接过了这些球。在一项横跨四篇论文、涉及多个数学领域的证明中，他们终于解决了Graham的重新排列猜想。最后一篇论文由波恩大学的Lisa Sauermann和芝加哥大学的Huy Tuan Pham完成，于2026年2月发表，正式为这个问题画上句号。

贯穿这些论文的一个主题是：随机性的力量能够引出模式。正如Alon所说，解决问题靠的是“合作的力量、年轻一代的力量、概率方法的力量”。

从钟表算术开始

牛津大学的数学家Alp Müyesser常常被那些需要两种要素的问题吸引：一个随机过程，外加一些别的东西。2022年他还是研究生时解决了一个这类问题，之后他遇到了Graham的猜想，意识到自己刚完成的证明或许也能派上用场。

这个猜想设定在钟表算术的世界里。你把整数放在数轴上，然后把数轴绕到一个钟面上，使得数字在某个质数p之后重复。比如p是7，那么0、7、14以及所有7的倍数都是等价的——这意味着你可以把两个正数（比如3和4）相加得到零。

Graham问的是：如果你从这条数轴上取任意一组非零数字（对任意p），你总能重新排列它们，使得得到的所有部分和都不相同吗？

这个挑战的难度取决于你选的集合相对于p有多大。你选的数字越多，需要处理的和就越多。但如果你选的数字较少，重新排列的方式也就更少。不同的情况需要不同的方法。

大海捞针

Müyesser和他以前的导师、伦敦大学学院的Alexey Pokrovskiy处理的是这样一种情况：你的集合几乎包含了p以内的所有可能数字。对于这么大的集合，构造一个有效的排列可能极其困难。但事实证明，从一个随机排列出发，能让你走完大部分路程。

Müyesser说：“计算机科学家常把这叫做‘大海捞针’问题。”你可能知道有很多好的排列存在，但真正找到一个却很难。“如果你随机来做，很可能行得通，但很难明确描述解应该长什么样。”

Müyesser和Pokrovskiy需要确保排列中任何位置的任何数字序列加起来都不等于零。否则，把这些数字加到之前的部分和上，就会重复那个和。

一个完全随机的排列可能会有几个这样麻烦的序列。所以Müyesser和Pokrovskiy先从集合中挑出几个特别选定的数字放在一边，然后随机打乱剩下的。他们扫描随机排列中是否有问题；如果遇到一个加起来等于零的区间，就可以插入一个备用数字来改变它。2022年，他们公布了他们的解法，尽管它隐藏在一篇聚焦于把同一技术应用于更一般问题的论文中。

几年后，牛津大学的Noah Kravitz并不知道Müyesser和Pokrovskiy的解法，在一个未解问题的在线档案中偶然发现了Graham的猜想。Kravitz说：“我看到有一个未解问题，我当时想，人类竟然不知道这个，这太丢人了。”