理解多体系统纠缠增长的两种机制：构建和移动

|作者：张春悦1,2 李自翔1,2,† 张士欣1,††

(1 中国科学院物理研究所 北京凝聚态物理国家研究中心）

(2 中国科学院大学物理学院)

本文选自《物理》2026年第9期

量子纠缠不仅是量子物理区别于经典物理的核心特征，也是量子信息与量子计算领域的基石[1，2]，在非平衡量子多体动力学的研究中，它也是一个关键“探针”[3]。理论上，物理学家通常利用“纠缠熵”来精确度量纯态复合系统中两个子系统之间的纠缠强度[4，5]。

探索纠缠在非平衡动力学中的时间演化，是近年来量子多体物理领域的一大热点。长期以来，该领域形成了一个标准的研究范式：将系统初始化为毫无纠缠的“直积态”，进而观察纠缠熵如何随时间“从零开始”增长。这一传统范式硕果累累，帮助人们清晰地界定了不同量子系统的动力学特征。在热化系统和通用的随机量子线路(random quantum circuit，RQC)中，纠缠会随时间呈现迅速的线性增长，并在接近最大值处饱和。而在多体局域化(many-body localized，MBL)系统中，纠缠的增长则慢得多，大致上只随时间呈对数增长，并且在较低的值就饱和了。在其他诸如可积系统或安德森局域化 (Anderson localized，AL)系统中，纠缠动力学也呈现出各自的特点，前者的纠缠不会饱和到热化时那么高的值，而后者的纠缠压根不怎么增长。

然而，这种依赖直积态的传统范式不可避免地掩盖了一个深刻的问题：一旦系统中已经存在了纠缠，动力学过程将如何继续处理这些纠缠资源？以一维系统中最常用的纠缠度量——半链纠缠熵(half-chain entanglement entropy，HCEE)为例，其定义为
，其中是半条链的约化密度矩阵。抛开复杂的数学运算，结合图1(a)和(b)中的简化图像，直观的物理感知就是：每有一个贝尔对横跨划分边界，相应的纠缠熵便增加1(对HCEE而言，划分边界就是链的正中心)；反之，若无贝尔对跨越该边界，则相应划分下的纠缠熵为0。我们不禁要问：观测到的HCEE的增长，真的仅仅是因为系统无中生有地产生了新纠缠吗？由于量子多体系统内部的纠缠结构极其复杂，除了新纠缠的建立，原有纠缠在空间分布上的重新排列会不会也是导致HCEE增加的重要推手？

图1 “构建—移动”框架及不同动力学下的HCEE增长分类[6] (a)—(c)分别为“构建”机制、“移动”机制以及RQC的示意图 (图中蓝色圆圈代表自旋，由红色双箭头连接的自旋对代表贝尔对)；(d)，(e)展示了基于HCEE增长特征对量子动力学进行的分类，图中纠缠增量ΔS=Ssat-Sinitial，Sinitial为初始纠缠，大小通过调节初态制备时间τ 来控制，(d)为基于哈密顿量的动力学演化结果，(e)为RQC动力学的演化结果。值得注意的是，(d)中MBL的曲线与(e)中的随机SWAP线路曲线展现出了惊人的吻合

为了厘清这一问题，并重点考察不同量子系统处理已有纠缠的能力，我们决定打破常规，将研究范式从“直积态演化”转向“纠缠态演化”。具体而言，我们以一维无序量子自旋链为模型，制备了一类被称为“部分热化态”的纠缠初态。这种初态的制备过程可以表示为|ψ(τ)>=
。也就是说，让一个简单的直积态在一个处于热化相(无序强度W=0.5)的哈密顿量下演化一段时间τ。由于热化动力学具有强大的纠缠生成能力，我们只需调节准备时间τ，就能让初态的纠缠程度在零到接近理论最大值的广阔区间内连续变化。这为系统性地研究“初始纠缠程度如何影响后续动力学演化”提供了一个绝佳的测试平台。

我们将上述制备的“部分热化态”|ψ(τ)>置于多种量子动力学下进行演化，涵盖了热化系统、MBL系统、可积的自由费米子模型、AL模型，以及一种RQC。其中，RQC在我们的研究中扮演着提取普适规律的关键角色：一方面，特定参数下的RQC提供了一个纯粹的“重新分配”系统原有纠缠的理想基准，这成为理解MBL纠缠动力学行为的关键参照；另一方面，通过调节参数，RQC也能完整地实现同基于哈密顿量的动力学相仿的不同类型的纠缠增长模式。RQC的具体设置是：在每一个时间步，我们会随机选取一对相邻 的自旋，并施加特定参数下的双量子比特幺正门
，如图1(c)所示。

通过计算演化过程中的HCEE，我们发现这些量子系统展现出了截然不同的行为。其中，最令人惊奇且反直觉的现象出现在MBL动力学中：整个演化过程中HCEE的增量ΔS=Ssat-Sinitial(即饱和值与初始值之差)，在初态纠缠程度较低时，竟然呈现出一段随Sinitial增加而反常递增的区间。

通常的直觉认为，Sinitial越大，留给后续演化中纠缠增长的空间就越小，因此ΔS理应随Sinitial单调递减——这正是热化系统、自由费米子模型以及大部分RQC所呈现出的常规行为。然而，MBL系统的ΔS却表现出一条先增后减的非单调曲线，只有中等纠缠程度的初态，才能在后续演化中激发出最大的纠缠增量。

为了解开MBL系统中纠缠动力学的非单调之谜，我们深入剖析了初态|ψ(τ)>的纠缠结构特征。由于制备初态的热化哈密顿量仅包含最近邻的短程相互作用，在系统尚未完全热化时，|ψ(τ)>内部必然潜藏着大量未跨越中心边界的短程纠缠。换言之，即便此时的HCEE看似不高，但系统左右两半链内部已经“储藏”了丰富的纠缠资源。只要后续的动力学能让这些纠缠重新分布，HCEE同样能够实现显著增长。

受此启发，我们引入了一个全新的概念框架，将HCEE的增长机制分为“构建”与“移动”两种(图1(a)和(b))。“构建”机制直接创造新的纠缠，例如作用在自旋链正中间的双比特门能够将直积态转化为贝尔对，使HCEE从0增至1；而“移动”机制则负责重新分配已有纠缠，例如当左半链内部存在一个贝尔对时，中心位置的交换(SWAP)门能将其“移动”成跨越正中间边界的状态，同样可以使HCEE从0增至1。在常规的量子动力学中，这两种机制通常协同作用，但它们在不同系统中的主导地位却大相径庭。

为了剥离并量化纯粹的“移动”机制，我们在RQC模型中设置α=β=π，构造了一种理想的随机SWAP线路。这种线路只交换自旋的量子态而不产生新纠缠，为我们提供了一个绝佳的基准。在纯交换动力学下，HCEE的演化等价于在初态各种不同的子系统划分方式(二分法)之间进行随机跃迁。当演化达到饱和时，各种二分方式出现的概率趋于均等。因此，随机交换线路的饱和HCEE，恰好等于初态在所有可能二分方式下纠缠熵的平均值。我们将其定义为二分平均纠缠熵(bipartition-averaged entanglement entropy，BAEE，记为)。BAEE能够更全面地度量系统的整体纠缠，它在纯“移动”机制下保持守恒，而它与HCEE的差值，正是“移动”机制促使HCEE增长的潜在“原料”。

如图1(d)，(e)所示，我们将各种基于哈密顿量的动力学与不同参数下的RQC动力学进行了系统对比。基于ΔS 随Sinitial的变化规律，可以将纷繁复杂的量子动力学统一划分为三大类，这直接反映了系统生成与搬运纠缠的内在能力。

(1)移动主导型：以MBL系统和随机SWAP线路为代表。它们的主要行为是重新分配现有纠缠，表现出标志性的非单调依赖关系。当初始纠缠极低时，由于缺乏可供搬运的“原料”，ΔS微乎其微；随着初始纠缠增加，子系统内部积累的纠缠原料增多，ΔS达到峰值。令人瞩目的是，MBL与随机SWAP线路的ΔS随Sinitial变化的曲线在定量上也高度吻合，这意味着尽管MBL的哈密顿量极其复杂，但在HCEE的增量方面却表现得很像一个搬运工。

(2)构建—移动混合型：以热化系统、自由费米子模型及常规参数的RQC为代表。这类系统具备强大的“无中生有”生成纠缠的能力，因此即使从直积态出发也能产生巨大的ΔS。随着初始纠缠的增加，ΔS呈现单调递减的趋势，此时“移动”机制也逐渐成为纠缠增长的重要推手。

(3)纠缠惰性型：以AL和特定平庸参数的RQC为代表。这类系统既没有从直积态显著构建纠缠的能力，也没有从子系统内部搬运纠缠的能力，因此无论初始纠缠多大，其ΔS始终微乎其微。

图2 热化动力学下纠缠演化与“隐藏纠缠蓄水池”的建立[6]。图中展示了在热化哈密顿量下，系统从直积态|ψ0>出发，其BAEE 、HCEES 以及二者差值
随时间的演化过程。其中，代表“隐藏纠缠蓄水池”的差值在τ=3.0 左右达到最大，此时对应的HCEE S≈1.34。这一数值与图1(d)和(e)中“移动主导型”动力学ΔS达到峰值时对应的初始纠缠大小高度一致

这项研究提供了一个关键的物理洞见，即必须区分单一固定的子系统划分方式下的纠缠(比如HCEE)与量子态整体固有的纠缠(可以用BAEE量化)。如图2所示，即使在常规的热化系统中，演化初期的BAEE增长速度也远远超过了HCEE。这种早期的分化直观地量化了系统内部局部纠缠的快速积累，实际上是在系统中建立了一个不断蓄水的“子系统内部纠缠蓄水池”(即ΔS)。这个蓄水池对于理解移动主导型动力学中ΔS随Sinitial的初始增长至关重要：蓄水池越大，就有越多的纠缠潜力可以被“搬运”过中心边界。我们的结果证明，MBL动力学能够有效地释放这种潜力，通过“移动”机制将隐藏在蓄水池中的纠缠转化为被观测到的HCEE。这一物理图像得到了定量的支持：在MBL动力学中，ΔS达到峰值时对应的初始纠缠大小，恰好与
最大的时刻相仿。这从根本上再次揭示了MBL的表现像是“隐藏纠缠蓄水池”的全局重新分配器。

本工作系统地研究了多体量子系统中的纠缠动力学，成功将研究视角从传统的直积初态拓展至具有预存纠缠的初始态。不仅揭示了MBL系统中纠缠增长反直觉的非单调行为，还提出了普适的“构建—移动”理论框架，实现了对各类量子动力学的三大普适分类。相关成果近期发表于Physical Review Letters[6]。展望未来，这一“隐藏蓄水池”的视角深刻凸显了仅用单一的子系统划分方式来刻画量子多体系统复杂纠缠结构的局限性，突出了使用各种不同的划分方式描述纠缠的重要性，我们团队近期沿着这一方向取得了新的进展[7]。这些系列工作不仅为理解量子多体系统中的信息传播提供了新视角，也为未来的量子模拟实验指明了新的探索方向。

参考文献

[1] Nielsen M A，Chuang I L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge：Cambridge University Press，2010

[2] Horodecki R，Horodecki P，Horodecki M et al. Rev. Mod. Phys.，2009，81：865

[3] Fisher M P，Khemani V，Nahum A et al. Annu. Rev. Condens.Matter Phys.，2023，14：335

[4] Eisert J，Cramer M，Plenio M B. Rev. Mod. Phys.，2010，82：277

[5] Nishioka T. Rev. Mod. Phys.，2018，90：035007

[6] Zhang C Y，Li Z X，Zhang S X. Phys. Rev. Lett.，2026，137：020404

[7] Zhang C Y，Zhang S X，Li Z X. 2026， arXiv：2601.01327

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